平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l(l 不經(jīng)過點(diǎn) F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn) F 為拋物線的焦點(diǎn)，直線 l 為拋物線的準(zhǔn)線.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】(1)通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l 的距離相等的
點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.(
(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.(
(4)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一
(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線 x2 ＝
－2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為 2a.(
2.(教材改編題)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn) P(－2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.
3. (教材改編題)拋物線 y2＝8x 上到其焦點(diǎn) F 距離為 5的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.答案：2
4.(2020 年全國(guó)Ⅰ)已知 A 為拋物線 C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn) A 到 C 的焦點(diǎn)的距離為 12，到 y 軸的距離為 9，
[例 1] (1)設(shè) P 是拋物線 y2＝4x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 是拋物線 y2＝4x 的焦點(diǎn)，若 B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________.
解析：如圖 7-7-1，過點(diǎn) B 作 BQ 垂直準(zhǔn)線于點(diǎn) Q，交
則|P1Q|＝|P1F|.
則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為 4.
解析：由拋物線定義可知點(diǎn) P 到準(zhǔn)線 l 的距離等于點(diǎn)P 到焦點(diǎn) F 的距離，由拋物線 y2 ＝4x 及直線方程 3x＋4y＋7＝0 可得直線與拋物線相離，∴點(diǎn) P 到準(zhǔn)線 l 的距離與點(diǎn) P 到直線 3x＋4y＋7＝0 的距離之和的最小值為點(diǎn) F(1,0)
【題后反思】應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線
1.動(dòng)圓過點(diǎn)(1,0)，且與直線 x＝－1 相切，則動(dòng)圓的圓
心的軌跡方程為________.
解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線 x＝－1 的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為 y2＝4x.
2.設(shè) P 是拋物線 y2＝4x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到點(diǎn)
A(－1,1)的距離與點(diǎn) P 到直線 x＝－1 的距離之和的最小值為________.
解析：如圖 D69，易知拋物線的焦點(diǎn)為 F(1,0)，準(zhǔn)線
由拋物線的定義知點(diǎn) P 到直線 x＝－1 的距離等于點(diǎn) P到 F 的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn) P，使點(diǎn) P 到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn) P 到 F(1,0)的距離之和最小，顯然，連接 AF 與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值
1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)為直線 3x－
4y－12＝0 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(
A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x
解析：對(duì)于直線方程 3x－4y－12＝0，令 x＝0，得
y＝－3；令 y＝0，得 x＝4，
所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4,0).
當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，設(shè)拋物線方程為 y2＝2px(p>0)，
此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2＝16x.故所求拋物線的標(biāo)
準(zhǔn)方程為 x2＝－12y 或 y2＝16x.
2.設(shè)拋物線 C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程
)A.y2＝4x 或 y2＝8xB.y2＝2x 或 y2＝8xC.y2＝4x 或 y2＝16xD.y2＝2x 或 y2＝16x
【題后反思】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
(1)定義法：根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，從而
求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p 的值，這里要注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.若焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)為 y2＝2px(p≠0)；若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)為x2＝2py(p≠0).
(3)如圖 7-7-2，點(diǎn) F 是拋物線 y2＝8x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) A，B 分別在拋物線 y2＝8x 及圓(x－2)2＋y2＝16 的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且 AB 始終平行于 x 軸，則△ABF 的周長(zhǎng)的取值范圍是________.
解析：設(shè) A(xA，yA)，B(xB，yB).拋物線的準(zhǔn)線l：x＝
－2，焦點(diǎn) F(2,0)，
由拋物線定義可得|AF|＝xA＋2，圓(x－2)2＋y2＝16的圓心為點(diǎn)(2,0)，半徑為4，∴△ABF的周長(zhǎng)為|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由拋物線y2＝8x及圓(x－2)2＋y2＝16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12).∴△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是(8,12).
在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此.
【變式訓(xùn)練】1.(2021 年焦作期中)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y 軸為對(duì)稱軸的拋物線Ω 與正方形 ABCD 有公共點(diǎn)，其中 A(2,2) ，B(4,2) ，
C(4,4)，則拋物線Ω的焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的最大距離為(
解析：由題意可得 D(2,4)，設(shè)拋物線Ω：x2＝2py，p>0，要使得拋物線Ω與正方形 ABCD 有公共點(diǎn)，其臨界狀態(tài)應(yīng)該是過 B 或過 D，把 B，D 的坐標(biāo)分別代入拋物線方程，
線的焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的最大距離為 4.
解析：由拋物線的方程可得 F(0,1)，準(zhǔn)線方程為 y＝
－1，所以 A(0，－1)，
如圖 D70，過點(diǎn) P 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 N，則由拋
物線的定義可得|PN|＝|PF|，
⊙活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論
1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平表現(xiàn)為能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題，能夠針對(duì)具體的問題運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題.本課時(shí)拋物線的焦點(diǎn)弦問題的四個(gè)常用結(jié)論即為具體表現(xiàn)之一.
2.如圖 7-7-3，過拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn) F 的直線交拋物線于點(diǎn) A，B，交其準(zhǔn)線 l 于點(diǎn) C，若 F 是 AC 的中
點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段 AB 的長(zhǎng)為(圖 7-7-3
解析：如圖 D71，設(shè) l 與 x 軸交于點(diǎn) M，過點(diǎn) A 作 AD⊥l 交 l 于點(diǎn) D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由 F是 AC 的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以 2p＝4，解得 p＝2，所以拋物線的方程為 y2＝4x.

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