1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟
的方法是各不相同的.(
(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其
中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(
2.(教材改編題)現(xiàn)有 5 種不同顏色要對如圖 9-1-1 所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一
種顏色，則不同的著色方法共有(圖 9-1-1
B.180 種 　　　C.60 種 　　　D.48 種
A.120 種答案：B
3.(教材改編題)書架的第一層放有 4 本不同的科技書，第二層放有 3 本不同的漫畫書，第三層放有 2 本不同的文學(xué)書，從書架的第一、二、三層各取 1 本書，有________種不同的取法.
4.(2020 年上海)已知 A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，a，b∈A，則|a|＜|b|的情況有______種.答案：18
分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用
1.滿足 a，b∈{－1,0,1,2}，則關(guān)于 x 的方程 ax2＋2x＋
b＝0 有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(
解析：方程 ax2＋2x＋b＝0 有實數(shù)解的情況應(yīng)分類討論.①當 a＝0 時，方程為一元一次方程 2x＋b＝0，不論 b取何值，方程一定有解.此時 b 的取值有 4 個，故此時有 4個有序數(shù)對.
②當 a≠0 時，需要Δ＝4－4ab≥0，即 ab≤1.顯然有 3個有序數(shù)對不滿足題意，分別為(1,2)，(2,1)，(2,2).a≠0 時，(a，b)共有 3×4＝12(個)有序數(shù)對，故 a≠0 時滿足條件的有序數(shù)對有 12－3＝9(個)，所以答案應(yīng)為 4＋9＝13.故選 B.
2.如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為“凸數(shù)”(如 120,343,275 等)，那么所
有“凸數(shù)”的個數(shù)為(A.240C.729
解析：若 a2＝2，則百位數(shù)字只能選 1，個位數(shù)字可
選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個).所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).故選A.
3.如果把個位數(shù)是 1，且恰有 3 個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由 1,2,3,4 四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個.
解析：當組成的數(shù)字有三個 1，三個 2，三個 3，三個4 時共有四種情況. 當有三個 1 時有 2 111,3 111, 4 111，1211,1 311,1 411,1 121,1 131,1 141 九種情況，當有三個 2,3,4時有 2 221,3 331,4 441 三種情況，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有 12 種情況.
分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用
[例 1](1)用 0,1,2,3,4,5 六個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是________；可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________.(2)五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為_______.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_______種.
解析：(1)根據(jù)題意，若組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其百位數(shù)字可以為 1,2,3,4,5，有 5 種情況，在剩下的 5 個數(shù)字中任選 2 個，作為十位和個位，有　 ＝20 種情況，則有 5×20＝100 種情況，即可以組成 100 個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；
用 0,1,2,3,4,5 六個數(shù)字組成三位數(shù)，其百位數(shù)字可以為 1,2,3,4,5，有 5 種情況，其十位、個位數(shù)字可以為 6 個數(shù)字中任意一個，有 6 種情況，即有 5×6×6＝180 種情況，即可以組成 180 個三位數(shù)，其中有 100 個是沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是 180－100＝80.
(2)五名學(xué)生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學(xué)生落實，每個學(xué)生有 4 種報名方法，共有 45 種不同的報名方法.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對 4 個冠軍逐一落實，每個冠軍有 5 種獲得的可能性，共有 54 種獲得冠軍的可能性.
【題后反思】(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按
事件發(fā)生的過程合理分步.
(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不
干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.
【變式訓(xùn)練】已知 a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，則方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 可表示不同的圓的個數(shù)是(
解析：根據(jù)題意，方程(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2 ，而 a∈{3,4,6} ，b∈{1,2,7,8} ，r∈{8,9} ，則 a 的取法有 3 種，b的取法有 4 種，r 的取法有 2 種，則方程可以表示 3×4×2＝24(個)不同的圓.故選 C.答案：C
兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
[例 2](1)現(xiàn)有 5 種不同顏色的染料，要對如圖 9-1-2 所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不
能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是(圖 9-1-2
解析：由題意，先涂 A 處共有 5 種涂法，再涂 B 處有4 種涂法，然后涂 C 處，若 C 處與 A 處所涂顏色相同，則C 處共有 1 種涂法，D 處有 4 種涂法；若 C 處與 A 處所涂顏色不同，到 C 處有 3 種涂法，D 處有 3 種涂法，由此可得不同的涂色方法有 5×4×(1×4＋3×3)＝260(種).故選 D.
(2)用 0,1,2,3,4,5,6 這 7 個數(shù)字可以組成__________個
無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).(用數(shù)字作答)
解析：要完成的“一件事”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為 0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步.
①第 1 類，當千位數(shù)字為奇數(shù)，即取 1,3,5 中的任意一個時，個位數(shù)字可取 0,2,4,6 中的任意一個，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有 3×4×5×4＝240(種)取法；
②第 2 類，當千位數(shù)字為偶數(shù)，即取 2,4,6 中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×3×5×4＝180(種)取法.
所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可以組成 240＋180＝
420(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).
【題后反思】利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般
(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標準是什么.(4)利用兩個計數(shù)原理求解.
【變式訓(xùn)練】1.將數(shù)字“124 467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個
解析：將數(shù)字“124 467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，(1)若末位數(shù)字為 2，因為含有 2 個 4，
＝120(種)情況；(2)若末位數(shù)字為 4，
因為有兩個相同數(shù)字 4，所以共有 5×4×3×2×1＝120(種)情況.綜上，共有 120＋120＝240(種)情況.故選 D.
2.(2021 年廣東二模)從正方體的 6 個面的對角線中，任取 2 條組成 1 對，則所成角是 60°的有________對.解析：根據(jù)題意，如圖 D74，在正方體ABCD-A1B1C1D1
又由正方體 6 個面，每個面有 2 條對角線，共有 12條對角線，則共有 12×8＝96(對)面對角線所成角為 60°，而其中有一半是重復(fù)的.
則從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其
中所成的角為 60°的共有 48 對.
與平面A1B1C1D1中一條對角線A1C1成60°的直線有A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A，共8條直線，則包含A1C1在內(nèi)的符合題意的對角線有8對.
⊙兩個計數(shù)原理的創(chuàng)新應(yīng)用
[例 3]若 m，n 均為非負整數(shù)，在做 m＋n 的加法時各位均不進位(例如：134＋3 802＝3 936)，則稱(m，n)為“簡單的有序?qū)Α?，則 m＋n 稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為 1 942 的“簡單的有序?qū)Α钡膫€數(shù)是________.
解析：第 1 步，1＝1＋0,1＝0＋1，共 2 種組合方式；第 2 步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝
9＋0，共 10 種組合方式；
第 3 步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，
第 4 步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共 3 種組合方式.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，值為 1 942 的“簡單的有序
對”的個數(shù)為 2×10×5×3＝300.
【反思感悟】解決兩個計數(shù)原理的創(chuàng)新應(yīng)用問題的關(guān)鍵是要抓住題中給的新定義信息分步或分類進行推理.
【高分訓(xùn)練】1.定義集合 A 與 B 的運算 A*B 為 A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若 A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合 A*B
的元素個數(shù)為(A.4C.12
解析：根據(jù)新定義，從集合 A 中，任選一個數(shù)，再從集合 B 中任選一個數(shù)，組成一個有序?qū)崝?shù)對，即由 3×4＝12 個，故集合 A*B 的元素個數(shù)為 12 個.故選 C.
2.埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠遠超過了人類的想象.在埃及金字塔內(nèi)有組神秘的數(shù)字142 857，因為142 857×2＝285 714,142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn)：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x，剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y，若x＋y＝999，將所有可能的三位數(shù)x按從小到大依次排序，則第12個三位數(shù)x為(　　)

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