數(shù)學(xué)九年級上冊7 相似三角形的性質(zhì)精品課后復(fù)習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc9888" 【題型1 A字型】 PAGEREF _Tc9888 \h 2
\l "_Tc3275" 【題型2 “8”字形】 PAGEREF _Tc3275 \h 3
\l "_Tc31175" 【題型3 AX字型】 PAGEREF _Tc31175 \h 4
\l "_Tc12815" 【題型4 子母型】 PAGEREF _Tc12815 \h 6
\l "_Tc12912" 【題型5 雙垂直型】 PAGEREF _Tc12912 \h 8
\l "_Tc210" 【題型6 一線三等角型】 PAGEREF _Tc210 \h 10
\l "_Tc1422" 【題型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc1422 \h 13
\l "_Tc19558" 【題型8 三角形內(nèi)接矩形型】 PAGEREF _Tc19558 \h 16
【基本模型1-A字型】
①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．
②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；

③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．
【題型1 A字型】
【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點O，作OM⊥BC于點M，點E是BD的中點，EF⊥BC于點G，交AC于點F，若AB=4，CD=6，則OM?EF值為（）

A．75B．125C．35D．25
【變式1-1】（2023春·四川成都·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面積為9，則陰影部分的面積為．

【變式1-2】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┰诘冗吶切蜛BC中，AB=6，D、E是BC上的動點，F(xiàn)是AB上的動點，且BF=BD=EC=2，連接FE，S△DEFS△ABC= ；
【變式1-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的頂點D在AB上，頂點F、G都在AC上，射線AF交BC邊于點H，則CH長為．

【基本模型2-“8”字形】
①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；
②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．

③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．
【題型2 “8”字形】
【例2】（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，AE=2ED，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則BGGF的值為（）
A．23B．12C．13D．34
【變式2-1】（2023春·廣東深圳·九年級校考開學(xué)考試）如圖，已知BD與CE相交于點A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，則AE= ．

【變式2-2】（2023春·陜西寶雞·九年級?？计谀┤鐖D，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上，AE=3，連接BE交AC于點F，過點F作FG∥BC，交CD于點G．求FG的長．

【變式2-3】（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)為矩形ABCD內(nèi)兩點，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分別為E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，則BD=（）
A．103B．5C．53D．6
【基本模型3-AX字型】
A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.
【題型3 AX字型】
【例3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線AC上的一點，射線BM與AD交于點F，與CD的延長線交于點H．

(1)圖中相似三角形有______對；
(2)若AD2=AC?CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度數(shù)．
【變式3-1】（2023春·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE=2:3，則S△DOE:S△AOC= ．

【變式3-2】（2023春·重慶巴南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，過C作CE⊥BD于E點，交AB于F點，連接AE.若F是AB中點，且BC=8，則AE的長為．

【變式3-3】（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，點E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于點F，過點F作FG∥AB，交AD于點G．

(1)求FG:AE的值．
(2)若AB:AC=3:2，
①求證：∠AEF=∠ACB．
②求證：DF2=DG?DA．
【基本模型4-子母型】
如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．
如圖所示，當(dāng)E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．
當(dāng)時，，則有．
【題型4 子母型】
【例4】（2023春·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且ABAC=ADCE，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：AC2＝BC?CD；
（2）若AD是△ABC的中線，求CEAC的值．
【變式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．
【變式4-2】（2023春·安徽合肥·九年級?？计谥校鰽BC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點E為BD的中點，連接AE并延長交BC于點F，且有AF=CF，過F點作FH⊥AC于點H．
（1）求證：△ADE∽△CDB；
（2）求證：AE=2EF；
（3）若FH=3，求BC的長．
【變式4-3】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1，AB=AC=2CD，DC∥AB，將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△FCE，使點D落在AC的點E處，AB與CF相交于點O，AB與EF相交于點G，連接BF．
(1)求證：△ABE≌△CAD；
(2)求證：AC∥FB；
(3)若點D，E，F(xiàn)在同一條直線上，如圖2，求ABBC的值．（溫馨提示：請用簡潔的方式表示角）
【基本模型5-雙垂直型】
①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．
（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．

【題型5 雙垂直型】
【例5】（2023春·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E在邊BC上，CE=2，若點P、Q分別為邊CD與AB上兩個動點，線段PQ始終滿足與AE垂直且垂足為F，則AP+QE的最小值為．
【變式5-1】（2023春·福建莆田·九年級?？计谀締栴}情境】
（1）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：（1）AC2=AB·AD；(2)BC2=AB·BD；(3)CD2 = AD·BD；請你證明定理中的結(jié)論（1）AC2 = AB·AD．
【結(jié)論運用】
（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為3，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，
①求證：△BOF∽△BED；
②若BE=10，求OF的長．
【變式5-2】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將
兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【變式5-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
(1)操作判斷
如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中線段AE與線段BF的關(guān)系．

(2)遷移探究
小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB:AD=m:n，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F，請求出線段AE與BF的關(guān)系，并說明理由．

(3)拓展應(yīng)用
如圖3，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，動點E由點A向終點D做勻速運動，動點F由點D向終點C做勻速運動，動點E、F同時開始運動，且速度相同，連接AF、BE，交于點G，連接GD，則線段GD長度的最小值為______，點G的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

【基本模型6一線三等角型】
(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.
(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.
特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.

補充：其他常見的一線三等角圖形

【題型6 一線三等角型】
【例6】（2023春·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的頂點分別在△BCD，△ACD的三邊上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求兩矩形的相似比的是（）

A．ABACB．BDCDC．CDCHD．CEEH
【變式6-1】（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┮阎冗吶切蜛BC的邊長為4．
(1)如圖，在邊BC上有一個動點P，在邊AC上有一個動點D，滿足∠APD=60°，求證：△ABP∽△PCD；

(2)如圖，若點P在射線BC上運動，點D在直線AC上，滿足∠APD=120°，當(dāng)PC=2時，求AD的長；

(3)在（2）的條件下，將點D繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°到點D′，求△D′AP的面積．
【變式6-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，點P是線段AB上與點A，點B不重合的任意一點，在AB的同側(cè)分別以A，P，B為頂點作∠1=∠2=∠3，其中∠1與∠3的一邊分別是射線AB和射線BA，∠2的兩邊不在直線AB上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點P為等聯(lián)點，線段AB為等聯(lián)線．

(1)如圖2，在5×3個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，AB為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段AB為等聯(lián)線、某格點P為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；
(2)如圖3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延長AP至點B，使AB=AC，作∠A的等聯(lián)角∠CPD和∠PBD．將△APC沿PC折疊，使點A落在點M處，得到△MPC，再延長PM交BD的延長線于E，連接CE并延長交PD的延長線于F，連接BF．
①確定△PCF的形狀，并說明理由；
②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等聯(lián)線AB和線段PE的長（用含k的式子表示）．
【變式6-3】（2023春·重慶萬州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上一點，BF

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