北師大版（2024）九年級上冊5 相似三角形判定定理的證明優(yōu)秀同步練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc18312" 【題型1 杠桿問題】 PAGEREF _Tc18312 \h 1
\l "_Tc4501" 【題型2 建筑物問題】 PAGEREF _Tc4501 \h 3
\l "_Tc20285" 【題型3 樹高問題】 PAGEREF _Tc20285 \h 4
\l "_Tc14088" 【題型4 河寬問題】 PAGEREF _Tc14088 \h 5
\l "_Tc209" 【題型5 影長問題】 PAGEREF _Tc209 \h 6
\l "_Tc13738" 【題型6 實驗問題】 PAGEREF _Tc13738 \h 8
\l "_Tc24437" 【題型7 九章算術(shù)】 PAGEREF _Tc24437 \h 10
\l "_Tc19518" 【題型8 實際生活抽象出相似】 PAGEREF _Tc19518 \h 11
\l "_Tc15828" 【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】 PAGEREF _Tc15828 \h 13
【題型1 杠桿問題】
【例1】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉(zhuǎn)動，另一端會向上翹起，石頭就被翹動了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點向下壓 cm．

【變式1-1】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點C是支點，當(dāng)用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓 cm．
【變式1-2】（2023春·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，以點O為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時，拉力為F1，過點B1作B1C⊥OA，過點A1作A1D⊥OA，垂足分別為點C、D．①△OB1C∽△OA1D； ②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1．
其中正確的說法有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·九年級階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點，E是AG的中點，CE的延長線交AB于D，求AD：BD
（1）解：過G作GF∥AB，交CD于F．
請繼續(xù)完成解答過程：
（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”
解答本題：（如圖2）設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點為杠桿AG的支點，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg；
再以D為杠桿AB的支點時，AD：BD=1kg：2kg=1：2應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點，E是AG上一點，CE的延長線交AB于D，且=，=2，求AD：BD
解：設(shè)G點為杠桿BC的支點，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為 kg，G點承受質(zhì)量為 kg；當(dāng)E點為杠桿AG的支點，則A端所掛物體質(zhì)量為 kg；再以D為杠桿AB的支點時，AD：BD= ．
【題型2 建筑物問題】
【例2】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，建筑物BC上有一個旗桿AB，小芳計劃用學(xué)過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，F(xiàn)D=4米，DE=5米，EG=1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．
【變式2-1】（2023春·山東濟南·九年級期末）小軍想出了一個測量建筑物高度的方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，然后向后退去，直至站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．
【變式2-3】（2023春·四川達州·九年級?？计谀┤鐖D所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．
①計算小亮在路燈D下的影長；
②計算建筑物AD的高．
【題型3 樹高問題】
【例3】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進行兩次測量，如圖，第一次他把鏡子放在點C處，他在點F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點C′處，他在點F′處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF′，EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=E′F′=1.7m），量得CC′=12m，CF=1.8m，C′F′=4.2m．求這棵古松樹的高度AB．（鏡子大小忽略不計）

【變式3-1】（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期末）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測量數(shù)學(xué)著作《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何？
譯文：今要測量海島上一座山峰AH的高度，在B處和D處樹立標桿BC和DE，標桿的高都是3丈，B和D兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面內(nèi)．從標桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標桿頂端C在同一直線上；從標桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標桿頂端E在同一直線上．則山峰AH的高度是．
【變式3-2】（2023春·九年級單元測試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時刻，1.2m長的竹竿垂直地面，影長為2m，此時，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為2m，則這棵樹高約有多少米( )

A．6.4米B．5.4米C．4.4米D．3.4米
【題型4 河寬問題】
【例4】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點P處，正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是米．
【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學(xué)校?？计谀┤鐖D，小斌想用學(xué)過的知識測算河的寬度EF．在河對岸有一棵高4米的樹GF，樹GF在河里的倒影為HF，GF=HF，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)恰好站在點B處時看到岸邊點C和倒影頂點H在一條直線上，點C到水面EF的距離CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，視線AH與水面EF的交點為D，請你根據(jù)以上測量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度EF．
【變式4-2】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過所學(xué)計算橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC=120米，DE=200米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．
【變式4-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠的B點，立一根長為1米的標桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？
【題型5 影長問題】
【例5】（2023春·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期中）在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（）
A．6.93米B．8米C．11.8米D．12米
【變式5-1】（2023春·安徽安慶·九年級安慶市第四中學(xué)?？计谥校榱藴y量學(xué)校旗桿的高度AB，數(shù)學(xué)興趣小組帶著標桿和皮尺來到操場進行測量，測量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點C沿BC后退，當(dāng)退行1.8米到D處時，恰好在鏡子中看到旗桿頂點A的像，此時測得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F 處豎立了一根高1.6米的標桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點H、標桿頂點G和旗桿頂點A在一條直線上，此時測得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點B、C、D、F、H在一條直線上．
（1）直接寫出ABBC= ；
（2）請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算學(xué)校旗桿AB的高度．
【變式5-2】（2023春·安徽亳州·九年級蒙城縣第六中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．
①計算小亮在路燈D下的影長；
②計算建筑物AD的高．
【變式5-3】（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀以下文字并解答問題：在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的三棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別做了以下工作：
小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如1圖）．
小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米．
小明：測得丙樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如3圖）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測得他的影長為2米．
（1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為______米，乙樹的高度為________米﹔
（2）請求出丙樹的高度．
【題型6 實驗問題】
【例6】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級統(tǒng)考期中）兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實驗．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點燃的蠟燭距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm處，小宇測得蠟燭的火焰高度為4cm，則光屏上火焰所成像的高度為（）

A．8cmB．6cmC．5cmD．4cm
【變式6-1】（2023春·陜西西安·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上．求燈泡到地面的高度AG．

【變式6-2】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律．
【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，D在同一條直線上，求燈泡到地面的高度AG．
【變式6-3】（2023春·河北唐山·九年級?？计谀┠承＞拍昙壱话嗟囊还?jié)數(shù)學(xué)活動課安排了測量操場上豎直的懸掛國旗的旗桿的高度．甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組設(shè)計的測量方案如圖所示：甲組測得圖中BO=60米，OD=3.4米，CD=1.7米；乙組測得圖中，CD=1.5米，同一時刻影長FD=0.9米，EB=18米；丙組測得圖中，CD∥EF∥AB，l∥AD，AD=90米，EF=0.2米，人的臂長l為0.6米，請你任選兩種方案，利用實驗數(shù)據(jù)求出該校旗桿的高度．
【題型7 九章算術(shù)】
【例7】（2023·河北·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點，南門B位于EH的中點．從北門出去正北方向20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（）
A．105步B．200步C．250步D．305步
【變式7-1】（2023春·福建泉州·九年級晉江市第一中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（）米．
A．5B．4C．3D．2
【變式7-2】（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：如圖，今有山AB位于樹的西面，山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山AB的高為（保留到整數(shù)，1丈=10尺）（）
A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈
【變式7-3】（2023春·九年級單元測試）《九章算術(shù)》中記載了一種測距的方法．如圖，有座塔在河流北岸的點E處，一棵樹位于河流南岸的點A處，從點A處開始，在河流南岸立4根標桿，以這4根標桿為頂點，組成邊長為10米的正方形ABCD，且A，D，E三點在一條直線上，在標桿B處觀察塔E，視線BE與邊DC相交于點F，如果測得FC=4米，那么塔與樹的距離AE為米．
【題型8 實際生活抽象出相似】
【例8】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）圖1是一種手機托架，使用該手機托架示意圖如圖3所示，底部放置手機處寬AB?1.2厘米，托架斜面長BD?6厘米，它有C到F共4個檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號手機置于托架上（圖2)，手機屏幕長AG是15厘米，O是支點且OB?OE?2.5厘米（支架的厚度忽略不計）．當(dāng)支架調(diào)到E檔時，點G離水平面的距離GH為 cm．
【變式8-1】（2023春·浙江溫州·九年級?？茧A段練習(xí)）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（）
A．25 mmB．20mmC．15 mmD．8mm
【變式8-2】（2023春·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1是一個家用折疊梯子，使用時四個踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板寬BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，將踏板往上收起時（如圖2），點A與點F重合，此時，踏板可以看作與支架AL重合，將梯子垂直擺放時，點A離地面的高度AL為 cm．圖3是圖1的簡略視圖，若點H恰好在點A的正下方，此時點A到地面LM的高度是．
【變式8-3】（2023·九年級單元測試）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時，測得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時將詞典無滑動向右倒，書角H的對應(yīng)點H′恰為CD中點．
（1）收納盒的長BC= ；
（2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有本書可與邊BC有公共點．
【題型9 三角形內(nèi)接矩形問題】
【例9】（2023春·河南平頂山·九年級?？计谥校┤鐖D，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面BE的距離為1.6米，車頭FACD近似看成一個矩形，且滿足3FD=2FA，若盲區(qū)EB的長度是6米，求車寬FA的長度．
【變式9-1】（2023春·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，課本中有一道例題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．設(shè)PN=xmm，用x的代數(shù)式表示AE= mm，由PN//BC，可得△APN∽△ABC，再利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可求得PN= mm．
拓展：原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖2，此時，PN= mm．
【變式9-2】（2023春·河北石家莊·九年級石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個鄰邊長分別為5cm和2cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計），使最底層的小方形的長為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有．
【變式9-3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀理解：
如圖1，AD是△ABC的高，點E、F分別在AB和AC邊上，且EF//BC，可以得到以下結(jié)論：AHAD=EFBC．
拓展應(yīng)用：
(1)如圖2，在△ABC中，BC＝3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長是多少？
(2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm，底邊長為160cm的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個無蓋正方體格子，要求每個正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是0排隔板的長度．
①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計時，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請完成下表：
若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長度，試求出y與n的關(guān)系式；
②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？排數(shù)/排
0
1
2
3
…
隔板長度/厘米
160
______
______
______
…

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