第四章 圖形的相似
第一課時
第四章 圖形的相似
4.7 相似三角形的性質　
北師大版數(shù)學九年級上冊
問題1： △ABC 與 △A1B1C1 相似嗎？
相似三角形對應角相等、對應邊成比例.
△ABC ∽ △A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾 何元素？
高、角平分線、中線，周長、面積等
量一量猜一猜
△ABC ∽ △A1B1C1
CD 和 C1D1 分別是它們的高，你知道 等于多少嗎？
如圖，△ABC ∽△A′B′C′，相似比為 k，它們對應邊上的高的比各是多少？
合作探究
相似三角形對應高的比等于相似比
∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B =∠B' .
解：如圖，分別作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．
則∠ADB =∠A'D'B' = 90°.
∴△ABD ∽△A'B'D'.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到：相似三角形對應邊上的高的比等于相似比．
　　類似的，我們可以得到其余兩組對應邊上高的比也等于相似比．
1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它們的中線，已知 ，B1D1 = 4 cm，則 BD = cm.
6
2. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1邊上的高，已知 AB = 8 cm， A1B1 = 3 cm ，則 △ABC 與 △A1B1C1 的對應高之比為 .
8 : 3
3.如圖、電燈 P 在橫桿 AB 的正上方，AB 在燈光下的影子為 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，點 P 到 CD 的距離是 3 m，則 P 到 AB 的距離是 m.
1.5
例1 如圖，AD 是 △ABC 的高，點 P，Q 在 BC 邊上，點 R 在 AC 邊上，點 S 在 AB 邊上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四邊形 PQRS 是正方形.
(1) AE 是 △ASR 的高嗎？為什么？
(2) △ASR 與 △ABC 相似嗎？為什么？
(3) 求正方形 PQRS 的邊長.
解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°.∵四邊形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC.∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高.
(1) AE 是 △ASR 的高嗎？為什么？
是方程思想哦！
解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD分別是 △ASR 和 △ABC 對應邊上的高，∴ .設 PQ = x cm，則 SR = DE = PQ = x cm，AE = (40 - x) cm .∴ . 解得：x = 24.∴正方形 PQRS 的邊長為 24 cm.
(3) 求正方形 PQRS 的邊長.
BC = 60 cm，AD = 40 cm，四邊形 PQRS 是正方形.
變式：如圖，AD 是 △ABC 的高，點 P，Q 在 BC 邊上，點 R 在 AC 邊上，點 S 在 AB 邊上，BC = 5 cm，AD = 10 cm，若矩形 PQRS 的長是寬的 2 倍，你能求出這個矩形的面積嗎？
如圖，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
設 SP = x cm，則 SR = 2x cm. 得： . 所以 x = 2， 2x = 4 . S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 .
解：情況一：SR = 2SP
設 SR = x cm，則 SP = 2x cm. 得： . 所以 x = 2.5， 2x = 5.S矩形PQRS = 2.5×5 = 12.5 cm2 .
原來是分類思想呀！
情況二：SP = 2SR
如圖，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm.
相似三角形對應角平分線的比、對應中線的比都等于相似比
問題：把上圖中的高改為中線、角平分線，那么它們對應中線的比，對應角平分線的比等于多少？
圖中 △ABC 和 △A′B′C′ 相似，AD、A′D′ 分別為對應邊上的中線，BE、B′E′ 分別為對應角的角平分線，那么它們之間有什么關系呢？
驗證猜想1
已知 △ABC∽△A′B′C′，相似比為 k， 求證：
證明：∵ △ABC ∽ △A′B′C′，∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ．又 ∵AD，AD′ 分別為對應邊的中線，∴BC = 2BD . ∴ △ABD ∽ △A′B′D′.
由此得到： 相似三角形對應邊上的中線的比也等于相似比．
同學們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對應角的角平分線的比等于相似比．
證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC．又∵AD、AD′分別為對應角的角平方線，∴∠ABE =∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′.
驗證猜想2
已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為 k，即 求證：
相似三角形對應邊上的高的比、對應角的角平分線的比、對應邊上的中線的比都等于相似比．
例2 兩個相似三角形的兩條對應邊的長分別是 6 cm 和 8 cm，如果它們對應的兩條角平分線的和為 42 cm，那么這兩條角平分線的長分別是多少？
解：設較短的角平分線長為 x cm，則由相似性質有解得 x＝18.較長的角平分線長為 24 cm.故這兩條角平分線的長分別為 18 cm，24 cm.
3. 兩個相似三角形對應中線的比為 ，則對應高的比為______ .
2. 相似三角形對應邊的比為 2 : 3，那么對應角的角平分線的比為______.
2 : 3
1. 兩個相似三角形的相似比為 ，則對應高的比為________， 則對應中線的比為_________.
解：∵△ABC∽△DEF， 　
解得 EH ＝ 3.2 cm .
答：EH 的長為 3.2 cm.
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分別是∠ABC 和∠DEF 的角平分線，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG = 4.8 cm.求 EH 的長.
5.如圖，AD 是 △ABC 的高，AD = h，點 R 在 AC 邊上，點 S 在 AB 邊上，SR⊥AD，垂足為 E.當 時，求 DE 的長.如果 呢？ 　
∴△ASR∽△ABC.
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C.
當 時，即 解得：
當 時，
選做題：6. 一塊直角三角形木板的一條直角邊 AB 長為1.5 m，面積為 1.5 m2，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面，甲乙兩位同學的加工方法如圖(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好。（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數(shù)可保留）
相信自己是最棒的！
7. AD 是 △ABC 的高，BC = 60 cm，AD = 40 cm，求圖中小正方形的邊長.
相似三角形的性質
相似三角形對應邊上高的比等于相似比
相似三角形對應角的角平分線的比等于相似比
相似三角形對應邊上的中線的比等于相似比

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