第1課時 相似三角形的性質(zhì)1
教學(xué)目標
1.了解相似三角形對應(yīng)線段的比與相似比的關(guān)系，能利用這一關(guān)系進行有關(guān)計算.
2.通過探索相似三角形的性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力.
3.在探索過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)度、價值觀，體現(xiàn)解決問題策略的多樣性.
教學(xué)重難點
重點：相似三角形對應(yīng)線段的比與相似比關(guān)系的推導(dǎo).
難點：利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題.
教學(xué)過程
知識回顧
師：什么叫相似三角形？什么是相似三角形的相似比？
生：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.
對應(yīng)邊的比等于相似比.
師：如何判定兩個三角形相似？
生：①兩個角對應(yīng)相等；②兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等；③三邊對應(yīng)成比例.
師：相似三角形有哪些性質(zhì)？
生：三對對應(yīng)角相等，三對對應(yīng)邊成比例.
師：在兩個相似三角形中是否只有對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例這些性質(zhì)呢？本節(jié)課我們將研究相似三角形的其他性質(zhì).
設(shè)計意圖：由問題來引入本節(jié)的課題，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
探究新知
一、預(yù)習(xí)新知
讓學(xué)生自主預(yù)習(xí)課本106~107頁.
多媒體展示
活動一：在生活中，我們經(jīng)常利用相似的知識解決建筑類問題.如圖，鉗工小王依據(jù)圖紙上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的立柱.
師：△ABC與△A′B′C′的對應(yīng)邊之間有什么樣的關(guān)系？對應(yīng)角之間呢？
生：===，
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′.
師：△ACD與△A′C′D′相似嗎？
生：相似.
師：你的依據(jù)是什么？
生：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°.
∵∠A＝∠A′，
∴△ACD∽△A′C′D′（兩角分別相等的兩個三角形相似）.
師：它們的相似比是多少？
生：===.
師：如果CD=1.5 cm，那么模型房梁的立柱有多高？
生：∵=，CD=1.5 cm，∴C′D′=3 cm.
師：由此我們能得到什么結(jié)論？
生：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.
設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的建筑模型房入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，層層設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思維層層遞進，從相似三角形最基本的性質(zhì)展開研究，使學(xué)生明確相似比與對應(yīng)高的比的關(guān)系.
鞏固練習(xí)
如果兩個相似三角形的相似比為8∶9，那么它們對應(yīng)高的比為( )
A．8∶9B．9∶8
C．64∶81D．∶3
答案：A
二、合作探究
活動二：已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC與△A′B′C′的相似比為k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E，E′分別為BC，B′C′的中點.試探究AD與 A′D′的比值與相似比的關(guān)系，AE與A′E′呢？
把學(xué)生分為八個小組，四個小組證明對應(yīng)角平分線的比，另外四個小組證明對應(yīng)中線的比，小組內(nèi)交流，然后找學(xué)生代表到黑板上板書本小組的證明過程，對比各個小組證明的結(jié)果是否一致，對做的好的小組進行鼓勵，做的有錯誤的小組及時給予糾正.
師：由此可知相似三角形還有以下性質(zhì)：
相似三角形對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比都等于相似比.
設(shè)計意圖：通過學(xué)生小組合作探究，類比前面的探究過程，引發(fā)學(xué)生主動探究意識、培養(yǎng)合作交流能力，發(fā)展學(xué)生類比的思維能力與歸納總結(jié)能力.
活動三：閱讀課本106~107頁中的議一議.
師：若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，則等于多少？
生：等于k.
師：若BE=BC，B′E′=B′C′，則等于多少？
生：等于k.
師：你還能提出哪些問題？由此得到什么結(jié)論？
生：相似三角形對應(yīng)角的n等分線的比、對應(yīng)邊的n等分線的比都等于相似比.
設(shè)計意圖：有了前面探索的基礎(chǔ)，學(xué)生完全有能力獨立完成“變式問題”的探索，在探索過程中發(fā)展學(xué)生類比探究的能力與獨立解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生全面思考的思維品質(zhì).
典型例題
【例】如圖，AD是△ABC的高，AD=h, 點R在AC邊上，點S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當SR=BC時，求DE的長.如果SR=BC呢？

【問題探索】要求DE的長，我們只需利用相似三角形的性質(zhì)找到DE和AD之間的關(guān)系即可.
解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，∴ SR∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴ △ASR∽△ABC (兩角分別相等的兩個三角形相似).
∴ (相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，
即.
當SR=BC時，得=，解得DE=h.
當SR=BC時，得=，解得DE=h.
【總結(jié)】先利用相似三角形的性質(zhì)找到AE和AD的比例關(guān)系，然后根據(jù)SR和BC之間的數(shù)量關(guān)系求出DE的長度.
課堂練習(xí)
1.如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分別是△ABC的高和中線，A′D′，B′E′分別是△A′B′C′的高和中線，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，則B′E′的長為( )
A. B.
C. D.
2.已知△ABC∽△A′B′C′且相似比為，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比為，則△ABC與△A″B″C″的相似比為( )
A. B.
C. D.或
3.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對應(yīng)角平分線，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，則△ABC與△A′B′C′的對應(yīng)高的比為________．
4.如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標注的尺寸，如果物體AB的高度為36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度應(yīng)為________ cm.
參考答案
1.D
2.C
3.8∶3
4.16
課堂小結(jié)
(學(xué)生總結(jié)，老師點評)
相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線的性質(zhì).
布置作業(yè)
習(xí)題4.11第3題、第4題.
板書設(shè)計
第四章 圖形的相似
7 相似三角形的性質(zhì)
第1課時 相似三角形的性質(zhì)1
相似三角形的性質(zhì)：
相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比；
相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比；
相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊電子課本

7 相似三角形的性質(zhì)

版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級上冊

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