【教學目標】
1.學會用加減消元法解二元一次方程組.
2.靈活地對方程進行恒等變形使之便于加減消元.
3.能根據(jù)方程組的特點,靈活選擇解方程組的方法.
4.通過經(jīng)歷二元一次方程組解法的探究過程,進一步體會化“未知”為“已知”、化復雜問題為簡單問題的化歸思想方法.
5.經(jīng)歷二元一次方程組一般解法的探究過程,理解加減消元法在解方程組中的作用,學會通過觀察,結(jié)合方程特點選擇合理思考方向進行新知識探索.
【重點難點】
1.重點:把方程組變形后用加減法消元.
2.難點:靈活運用加減消元法的技巧,把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.
【教學過程】
一、創(chuàng)設情境
1.復習:用代入消元法解二元一次方程組的方法是什么?
2.如何用代入法解二元一次方程組:7x+3y=1,①2x-3y=8.②
學生獨立做,做完后交流方法.
方法1:由①式得x=1-3y7③,然后把③式代入②式消去x得到關(guān)于y的方程,求出y,再求x.
方法2:整體代入法:由①式得3y=1-7x③,然后把③式代入②式得到關(guān)于x的方程,求出x,再求y.
3.新課導入:有沒有更好的方法來達到消元的目的,本節(jié)課我們就來研究這個問題.
二、探究歸納
探究點1:用加減消元法解某一未知數(shù)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的方程組
1.【觀察】上面方程組中未知數(shù)y的系數(shù)有什么特點?這對解方程組有什么啟發(fā)?
2.【想一想】根據(jù)等式的性質(zhì),由①+②會得到什么?
引導學生發(fā)現(xiàn)將方程①和②的左右兩邊相加,然后根據(jù)等式的基本性質(zhì)消去了未知數(shù)y,得到了一個關(guān)于x的一元一次方程,從而實現(xiàn)了化“二元”為“一元”的目的.
3.學以致用:【典例示范】出示教材P122例3
教師規(guī)范表達解答過程,為學生作出示范.
解:①-②,得:8y=-8,
解得y=-1,
把y=-1代入①,得:2x+3×(-1)=-1,
解得x=1,
所以方程組的解為x=1y=-1.
解答完本題后,口算檢驗,讓學生養(yǎng)成進行檢驗的習慣.
【解題反思】強調(diào)以下兩點:
(1)注意解此題的易錯點是①-②時是(2x+3y)-(2x-5y)=-1-7,方程左邊去括號時注意符號.另外解題時,①-②或②-①都可以消去未知數(shù)x,不過在②-①得到的方程中,y的系數(shù)是負數(shù),所以在上面的解法中選擇①-②;
(2)把y=-1代入①或②,最后結(jié)果是一樣的,但我們通常的做法是將所求出的一個未知數(shù)的值代入系數(shù)較簡單的方程中求出另一個未知數(shù)的值.
【針對性訓練】教材P124練習T1(1)、(2)
探究點2:用加減消元法解兩個未知數(shù)系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)的二元一次方程組.
1.【思考】方程組2x+3y=-11①6x-5y=9②.
(1)上面的方程組是否符合用加減法消元的條件?
(2)如何轉(zhuǎn)化可使某個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等?
先留一定的時間讓學生觀察此方程組,讓學生說明自己觀察到方程有什么特點,能不能自己解決此方程組,用什么方法解決?如學生提出用代入消元法,可以讓學生先按此法完成,然后再問能不能用剛學過的加減消元法解決?讓學生討論嘗試.學生可能會得到以下結(jié)論:
想法一:對于用加減消元法解,x,y的系數(shù)既不相同也不是相反數(shù),沒有辦法用加減消元法.
想法二:是不是可以這樣想,將方程組中的方程用等式的基本性質(zhì)將這個方程組中的x或y的系數(shù)化成相等(或互為相反數(shù))的情形,再用加減消元法,達到消元的目的.
想法三:只要在方程①和方程②的兩邊分別除以2和6,x的系數(shù)不就變成“1”了嗎?這樣就可以用加減消元法了.
想法四:不同意三的做法.如果這樣做,是可以解決這一問題,但y的系數(shù)和常數(shù)項都變成了分數(shù),這樣解不是變麻煩了嗎?那還不如用代入消元法了.不如找x的系數(shù)2和6的最小公倍數(shù)6,在方程①兩邊同乘3,得③,然后③-②,就可以將x消去,得y=-3,把y=-3代入①得,x=-1.所以方程組的解為x=-1y=-3.
教師點評:其實在我們學習數(shù)學的過程中,二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)不一定剛好是1或-1,或同一個未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反.我們遇到的往往就是這樣的方程組,我們要想比較簡捷地把它解出來,就需要轉(zhuǎn)化為同一個未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形,從而用加減消元法,達到消元的目的.請大家把解答過程寫出來.
2.【歸納總結(jié)】加減消元法:對于二元一次方程組,把一個方程進行適當變形后,再加上(或減去)另一個方程,消去其中一個未知數(shù),得到只含有另一個未知數(shù)的一元一次方程,解這個一元一次方程求出另一個未知數(shù)的值,再把這個值代入原二元一次方程組的任意一個方程,就可以求出被消去的未知數(shù)的值,從而得到原二元一次方程組的解.
3.【針對性訓練】教材P124練習T1(3)、(4)
4.【議一議】用自己的語言總結(jié)解二元一次方程組的基本思路,然后與同學交流.
5.【歸納總結(jié)】解二元一次方程組的基本思路是:
消去一個未知數(shù)(簡稱消元),得到一個一元一次方程,然后解這個一元一次方程,求出另一個未知數(shù)的值,接著再去求另一個未知數(shù)的值.
代入消元法和加減消元法是兩種求解方程組的方法,應根據(jù)具體情況靈活選擇.
三、交流反思
1.關(guān)于二元一次方程組的兩種解法:代入消元法和加減消元法.比較這兩種解法我們發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)都是消元,即通過消去一個未知數(shù),化“二元”為“一元”.
2.用加減消元法解方程組的條件:某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等.
3.用加減法解二元一次方程組的步驟:
①變形,使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等;
②加減消元;
③解一元一次方程;
④求另一個未知數(shù)的值,得方程組的解.
四、檢測反饋
1.分別用加減法,代入法解方程組5x-3y=132x+4y=0
2.解方程組x-2=2(y-1),2(x-2)+(y-1)=5.
3.方程組x+y=25,2x-y=8,的解是否滿足2x-y=8?滿足2x-y=8的一對x,y的值是否是方程組x+y=252x-y=8的解?
學生獨立完成、檢測,老師做最后總結(jié).
4.解方程組2x-5y=245x+2y=31
5.解方程組23x+12y=5,x-3y=6.
五、布置作業(yè)
基礎(chǔ):教材P124練習T2,教材P125習題3.6T2,3
綜合:教材P125習題3.6T5
六、板書設計
七、教學反思
能夠設疑激趣,引入新型方程組,探究其解法,層層遞進.利用富有挑戰(zhàn)性的問題,激發(fā)學生的好奇心和求知欲,可引發(fā)學生對問題的思考,并促進學生運用已有的知識去發(fā)現(xiàn)和獲取新的知識.
優(yōu)點:在深究教材章節(jié)內(nèi)容后,圍繞著確定的教學目標,根據(jù)所要教的內(nèi)容和七年級學生的年齡特征和認知特點,在教學中主要采取“先學后教,問題教學,分層探究,當堂訓練”的教法掌握重點,突破難點.
缺點:組織學生觀察、思考、探究、小組合作交流,沒有較好的培養(yǎng)學生的綜合能力.教師在巡視幫助學生釋疑解難方面,做的還不夠.
3.6.2加減消元法
1.用加減法進行消元的條件:
2.主要步驟:
例題
當堂檢測
……
……
……
……
……

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3.6 二元一次方程組的解法

版本： 湘教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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