第02講 坐標(biāo)與軸對稱(3類熱點(diǎn)題型講練) 1．探索圖形坐標(biāo)變化的過程；(重點(diǎn)) 2．了解掌握圖形坐標(biāo)變化與圖形軸對稱之間的關(guān)系．(難點(diǎn)) 知識點(diǎn)01 坐標(biāo)系中的平移 （1）將點(diǎn)向右（或向左）平移a個單位可得對應(yīng)點(diǎn)或． （2）將點(diǎn)向上（或向下）平移b個單位可得對應(yīng)點(diǎn)或． 總結(jié)：點(diǎn)的左右平移橫坐標(biāo)滿足左減右加，點(diǎn)的上下平移縱坐標(biāo)滿足上加下減． 知識點(diǎn)02 坐標(biāo)系中的對稱 （1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是，即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)． （2）點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)． 總結(jié)：點(diǎn)關(guān)于哪條坐標(biāo)軸對稱則哪個坐標(biāo)不變，另外一個坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)． （3）點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)． （4）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)是． （5）點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)是． （6）點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)是． （7）點(diǎn)關(guān)于一三象限的平分線的對稱點(diǎn)為． （8）點(diǎn)關(guān)于二四象限的平分線的對稱點(diǎn)為． 題型01 關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo) 【典例1】（2023·全國·八年級專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 【答案】 【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，即可解答． 【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是． 故答案為：，． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同． 【變式1】（2023·湖南湘西·模擬預(yù)測）點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 【答案】 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱時，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為相反數(shù)，關(guān)于軸對稱時，橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解． 【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱時，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為相反數(shù)， 點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是， 關(guān)于軸對稱時，橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變， 點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是， 故答案為，． 【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式2】（2023秋·河南漯河·八年級?？计谀┤酎c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則 ． 【答案】2 【分析】根據(jù)若兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解． 【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱， ∴， 解得， ∴． 故答案為：2． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的特征，熟練掌握若兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變是解題的關(guān)鍵． 題型02 作圖——軸對稱變換 【典例2】（2022秋·吉林·八年級?？计谥校┤鐖D，的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，． ?? (1)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，請標(biāo)出點(diǎn)P． 【答案】(1) (2)見解析， (3)見解析 【分析】（1）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得答案． （2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，再根據(jù)圖寫出點(diǎn)坐標(biāo)即可． （3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，連接，此時點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離和最?。?【詳解】（1）解：（1）與關(guān)于軸對稱，， 點(diǎn)． （2）解：如圖，即為所求，． ?? （3）解：如圖，點(diǎn)即為所標(biāo)． ?? 【點(diǎn)睛】本題考查作圖軸對稱變換，軸對稱最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 【變式1】（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、． ?? (1)在圖中畫出關(guān)于軸對稱的圖形； (2)在圖中，若與點(diǎn)關(guān)于一條直線成軸對稱，則這條對稱軸是__________，此時點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________； (3)的面積為__________；寫出計算過程． 【答案】(1)見解析 (2)y軸， (3) 【分析】（1）根據(jù)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，得到A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可； （2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得到點(diǎn)和點(diǎn)B的對稱軸為y軸，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)和割補(bǔ)法求解面積即可． 【詳解】（1）解：如圖，即為所求作： ?? （2）解：如圖，∵，， ∴點(diǎn)和點(diǎn)B的對稱軸為y軸， ∵， ∴點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為， 故答案為：y軸，； （3）解：的面積為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對稱，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵． 【變式2】（2022秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，借助于坐標(biāo)系我們可以研究特殊的對稱關(guān)系．已知，，、關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為、． ?? (1)寫出的坐標(biāo)___________，的坐標(biāo)___________； (2)寫出關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)___________； (3)寫出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)___________． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)求解； （2）利用軸對稱變換的性質(zhì)求解； （3）利用軸對稱變換的性質(zhì)求解． 【詳解】（1）如圖，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱， ∴， ∴點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于， ∴點(diǎn)， 同理：， ?? （2）∵關(guān)于直線對稱， ∴對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于， ∴點(diǎn)， （3）∵關(guān)于直線對稱， ∴對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于， ∴點(diǎn)， 【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形變化一對稱，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)． 題型03 平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究 【典例3】（2023春·河南安陽·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，．把一條長為2023個單位長度且沒有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的方向繞在四邊形的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． ?? 【答案】 【分析】根據(jù)題意可得繞四邊形一周的細(xì)線長度為，再由，可得細(xì)線另一端在繞四邊形第145圈的第7個單位長度的位置，即可求解． 【詳解】解：∵，，，， ∴， ∴繞四邊形一周的細(xì)線長度為， ∵， ∴細(xì)線另一端在繞四邊形第145圈的第7個單位長度的位置， 即從點(diǎn)B 向下沿移動5個單位所在的點(diǎn)的坐標(biāo)即為所求，也就是點(diǎn)． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探求，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出四邊形一周的長度，從而確定2023個單位長度的細(xì)線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關(guān)鍵． 【變式1】（2023春·遼寧鞍山·七年級校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，我們把叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，已知的伴隨點(diǎn)為，的伴隨點(diǎn)為，…，這樣依次下去得到，，……，．若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為 . 【答案】 【分析】根據(jù)伴隨點(diǎn)的定義依次求出各點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)的坐標(biāo)即可． 【詳解】解：的坐標(biāo)為， ，，，，， 依此類推，每4個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，為． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義，解題的關(guān)鍵是求出每個點(diǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)． 【變式2】（2023春·山東德州·七年級?？计谥校┤鐖D，一個動點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，第2次運(yùn)動到點(diǎn)，第3次運(yùn)動到點(diǎn)，第4次運(yùn)動到點(diǎn)，第5次運(yùn)動到點(diǎn)……按這樣的運(yùn)動規(guī)律，第2021次運(yùn)動到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ． ?? 【答案】 【分析】分析點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律，找到循環(huán)次數(shù)即可． 【詳解】解：分析圖象可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P的運(yùn)動每4次位置循環(huán)一次．每循環(huán)一次向右移動四個單位． ∴， 當(dāng)?shù)?05循環(huán)結(jié)束時，點(diǎn)P位置在，在此基礎(chǔ)之上運(yùn)動一次到， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律探究題，解題關(guān)鍵是找到動點(diǎn)運(yùn)動過程中，每運(yùn)動多少次形成一個循環(huán)． 一、單選題 1．（2023春·四川宜賓·八年級期末）點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（???） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】關(guān)于y軸對稱的兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案． 【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．關(guān)于x軸對稱的兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)． 2．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)所在的象限是（　?。?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得到點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征分析，即可得到答案． 【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)是， 點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是， 點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)所在的象限是第一象限， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵． 3．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的值為（????） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接利用關(guān)于軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而得出答案． 【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱， ∴，， 解得：，， 則的值為：． 故選：B． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵． 4．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于某直線對稱，則這條直線是（????） A．x軸 B．y軸 C．過點(diǎn)且垂直于x軸的直線 D．過點(diǎn)且垂直于軸的直線 【答案】C 【分析】由題意軸，所以過中點(diǎn)且垂直于x軸的直線即為所求的直線，然后根據(jù)選項內(nèi)容進(jìn)行判斷． 【詳解】解：∵點(diǎn)，點(diǎn)， ∴軸， 設(shè)的中點(diǎn)為M， 則M點(diǎn)坐標(biāo)為，即， ∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線對稱， 故選項A，B，D錯誤； 又∵在這條直線上， ∴選項C符合題意， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)及軸對稱，掌握軸對稱的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵． 5．（2023春·河南鄭州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，邊在軸正半軸上，，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)則第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為（????） ?? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】觀察圖象可知，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)8次一個循環(huán)，利用這個規(guī)律解決問題即可． 【詳解】解：∵為等腰直角三角形，， ∴， 觀察圖象可知，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)8次一個循環(huán)， 余數(shù)為7， 點(diǎn)的坐標(biāo)與相同， 點(diǎn)的坐標(biāo)為． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型． 二、填空題 6．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 【答案】 【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)． 【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是． 故答案為：； 【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律． 7．（2023秋·福建莆田·八年級校考開學(xué)考試）點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱， ． 【答案】3 【分析】由點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱，可得，計算求解即可． 【詳解】解：∵點(diǎn)與關(guān)于x軸對稱， ∴，解得， 故答案為：3． 【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，解一元一次方程．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)． 8．（2023秋·福建莆田·八年級?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的值為 ． 【答案】 【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的特征，“橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”，得到方程組，求解即可． 【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱 則， 解得， ∴ 故答案為： 【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的特征，正確求得的值． 9．（2022秋·甘肅定西·八年級?？计谥校┮阎c(diǎn)的坐標(biāo)滿足等式，且點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． 【答案】 【分析】根據(jù)平方數(shù)，絕對值的非負(fù)性可求出的值，根據(jù)的符號與象限的特點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的特點(diǎn)即可求解． 【詳解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵點(diǎn)與關(guān)于軸對稱， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平方數(shù)、絕對值的非負(fù)性，象限中符號的特點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的特點(diǎn)等知識，掌握平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱是解題的關(guān)鍵． 10．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點(diǎn)；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ． ?? 【答案】 【分析】對奇數(shù)點(diǎn)，偶數(shù)點(diǎn)分開討論，找出點(diǎn)坐標(biāo)與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解． 【詳解】解：，； ，； ，； ，； …… 當(dāng)為奇數(shù)時，； 當(dāng)為偶數(shù)時，； ∴，即． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，由開始的幾個點(diǎn)坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開討論． 三、解答題 11．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)校考期末）在如圖的直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為． (1)請畫出關(guān)于x軸對稱的（不寫畫法，其中，，分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)）； (2)直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)：（______），（______），（______）； (3)在y軸上求作一點(diǎn)P，使的值最小并寫出最小值． 【答案】(1)見解析 (2)，，，，， (3)畫圖見解析，最小值為 【分析】（1）根據(jù)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案； （2）利用所畫圖形寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可； （3）利用軸對稱求出最短路徑，再利用勾股定理計算即可． 【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求； ?? （2）如圖所示：，，； （3）如圖所示：點(diǎn)即為所求， 找到點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)， 此時的值最小，且為． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱變換以及利用軸對稱求最短路徑，勾股定理，根據(jù)題意得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵． 12．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其行走路線如圖所示． ?? (1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：（　　　，　　?。?，（　　，　　?。?，（　　，　?。?(2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）； (3)指出螞蟻從點(diǎn)到點(diǎn)的移動方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0 (2) (3)向上 【分析】（1）觀察圖形可知，，，都在軸上，求出 ，，的長度，然后寫出坐標(biāo)即可； （2）根據(jù)（1）中規(guī)律寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可； （3）根據(jù)到點(diǎn)的移動方向與到的方向一致，即可得到答案． 【詳解】（1）解：由圖可知，，，都在軸上， 螞蟻每次移動1個單位， ，，， ，，， 故答案為：2，0；4，0；6，0； （2）解：根據(jù)（1）知：， ， ， …… ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為； （3）解：，， 螞蟻從點(diǎn)到點(diǎn)的移動方向與到的方向一致，移動方向為向上． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，仔細(xì)觀察圖形，確定出都在軸上是解題的關(guān)鍵． 13．（2023春·山東泰安·七年級校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)都在由邊長為1的小正方形組成網(wǎng)格的格點(diǎn)上，的位置如圖所示． ?? (1)在圖中畫出關(guān)于軸對稱的； (2)的頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：________；的頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：________； (3)求的面積． (4)在軸上求作一點(diǎn)，使的值最小，保留畫圖痕跡，并寫出最小值________． 【答案】(1)見解析 (2)， (3)12 (4)見解析， 【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出圖形； （2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得答案； （3）利用所在的長方形的面積減去周圍三個三角形面積即可； （4）連接，與y軸交于點(diǎn)P，則，可得，再利用勾股定理計算即可． 【詳解】（1）解：如圖，即為所求； ?? （2）由（1）知，，關(guān)于軸對稱點(diǎn)， 故答案為：，； （3）； （4）如圖，點(diǎn)P即為所求； 最小值為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖軸對稱變換，勾股定理，最短路徑問題，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形的面積等知識，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 14．（2023春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在下列帶有坐標(biāo)系的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在邊長為的小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為． ?? (1)作出關(guān)于軸對稱的（點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)）； (2)已知與關(guān)于直線對稱點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，試作出直線； (3)在（2）的條件下，觀察與各對對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，若是內(nèi)部任意一點(diǎn)，請直接寫出這點(diǎn)在內(nèi)部的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______． (4)在（2）的條件下，在直線上作出一點(diǎn)，使的值最小，并簡要描述作法． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3) (4)見解析 【分析】（1）先作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)，再依次連接即可； （2）作出的垂直平分線即可； （3）分別寫出A、B、C和的坐標(biāo)，得出坐標(biāo)變化規(guī)律，即可解答； （4）連接，交于點(diǎn)P． 【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求； （2）解：如圖所示，直線即為所求； （3）解：∵，，， ∴對應(yīng)點(diǎn)， 故答案為：； （4）解：如圖所示，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱作圖，作對稱軸，解題的關(guān)鍵是掌握作軸對稱圖形的方法和步驟，對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)連線．

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