1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意義的條件，會求二次根式的被開方數(shù)中所含字母的取值范圍；
2.掌握二次根式的性質(zhì)，能利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法則，能利用其進(jìn)行計算，并能逆用法則進(jìn)行化簡.
知識點(diǎn)01 二次根式的相關(guān)概念
1.二次根式的定義：我們把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被開方數(shù)；叫做二次根號；根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于0，根式為零被開方數(shù)為0；如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
知識點(diǎn)02 二次根式的性質(zhì)
二次根式的性質(zhì)： ① ， （雙重非負(fù)性）

知識點(diǎn)03 二次根式的乘除法
二次根式的乘法法則及逆用：；
二次根式的除法法則及逆用：；
二次根式的乘法法則的推廣：
，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進(jìn)行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).
題型01 二次根式有意義的條件
【典例1】（2023春·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】由在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，列不等式，再解不等式即可得到答案．
【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的有意義的條件，掌握“二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)”是解本題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023春·江蘇·八年級期末）使得有意義的x的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．
題型02 求二次根式的值
【典例1】（2023春·浙江溫州·八年級校考期中）當(dāng)時，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】直接把的值代入進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：當(dāng)時，二次根式．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時，二次根式的值為 ．
【答案】1
【分析】直接將代入進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：當(dāng)時，
，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的值，二次根式的計算，題目比較簡單．
【變式2】（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值為 ．
【答案】1
【分析】直接把代入中進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：把代入中得：，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，求算術(shù)平方根，正確計算是解題的關(guān)鍵．
題型03 求二次根式中的參數(shù)
【典例1】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）是一個正整數(shù)，則的最小正整數(shù)是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)二次根式的定義可得，解得，再根據(jù)是一個正整數(shù)，可得或4或9，即可得到答案．
【詳解】解：由二次根式的定義可得，
解得：，
是一個正整數(shù)，
或4或9，
解得：或8或3，
的最小正整數(shù)是3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，求得或4或9是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期中）若為整數(shù)，則x的最小正整數(shù)值為 ．
【答案】2
【分析】對被開方數(shù)進(jìn)行分解，得，要使為整，則最小要保證被開方式能開盡，得出答案．
【詳解】解：
的最小正整數(shù)值是2．
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的內(nèi)容，其中對被開方數(shù)的分解是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·八年級單元測試）是整數(shù)，則正數(shù)的最小值是
【答案】/0.05
【分析】根據(jù)是整數(shù)，n為正數(shù)，得出的最小值為1，得出的最小值為，即可求出答案．
【詳解】解：∵是整數(shù)，n為正數(shù)，
∴的最小值為1，
∴的最小值為，
∴正數(shù)的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行解答．
題型04 利用二次根式的性質(zhì)化簡
【典例1】（2023春·新疆塔城·八年級?？计谀? ； ．
【答案】 5 3
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：，．
故答案為：5，3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·江蘇·八年級期末）計算： ； ．
【答案】 2 2
【分析】利用二次根式的乘法的法則及化簡的法則進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：；
．
故答案為：2，2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法，二次根式的化簡，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
【變式2】（2023春·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）化簡： ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可化簡．
【詳解】解：由得：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)．掌握相關(guān)化簡法則是解題關(guān)鍵．
題型05 二次根式的乘法
【典例1】（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則化簡即可求解．
【詳解】，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是
【答案】/1.5
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
【變式2】（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考期中）計算 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法，熟練運(yùn)用二次根式的乘法法則解題是本題的關(guān)鍵．
題型06 二次根式的除法
【典例1】（2023春·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）計算： ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的除法計算即可．
【詳解】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法，熟練掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）計算： ．
【答案】/
【分析】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則即可求解．
【詳解】解：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的除法運(yùn)算．分母有理化是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（天津市河西區(qū)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計算的結(jié)果是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則即可求出答案．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
題型07 二次根式的乘除混合運(yùn)算
【典例1】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期末）計算：．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則即可得．
【詳解】原式
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法法則是解題關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）計算：．
【答案】
【分析】把除法化為乘法運(yùn)算，再化簡即可．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023春·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）計算：
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算計算即可．
【詳解】．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）計算：．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計算即可．
【詳解】．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
題型08 復(fù)合二次根式的化簡
【典例1】（2022秋·八年級單元測試）觀察下面的運(yùn)算，完成計算：

(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）被開方數(shù)，據(jù)此即可開方；
（2）首先化簡，然后代入原式利用相同的方法化簡即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）
則原式
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，把所求的式子的被開方數(shù)化成完全平方式是關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的非負(fù)數(shù)都可以看成是一個數(shù)的平方，如，，下面我們觀察： ；反之，∴．
(1)直接寫出答案：= ；= ．
(2)化簡：．
(3)若，則a與的關(guān)系是什么？b與的關(guān)系又是什么？
【答案】(1)；
(2)-
(3)a與的關(guān)系是： ，b與的關(guān)系是：．
【分析】（1）將3拆分為，再根據(jù)完全平方公式和二次根式化簡即可求解；將4拆分為，再根據(jù)完全平方公式和二次根式化簡即可求解；
（2）將5拆分為，再根據(jù)完全平方公式和二次根式化簡即可求解；
（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式直接化簡得出即可．
【詳解】（1）解：；
．
故答案為：；．
（2）．
（3）
兩邊平方得：
∴a與的關(guān)系是： ，
b與的關(guān)系是：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確理解二次根式化簡的意義是解題關(guān)鍵．
【變式2】（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，
如：；
再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：
(1)請你嘗試化簡：
①______；
②______．
(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡．
（2）變形已知等式，建立，，的方程組求解．
【詳解】（1）解：①；
②；
故答案為：①；②；
（2）解：
，
，
，，均為正整數(shù)．
或，
或．
或14．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2023秋·山西呂梁·九年級校考期末）計算的結(jié)果為（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘法法則計算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀┤粲幸饬x，則可以?。? ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)進(jìn)行求解即可得．
【詳解】解：由題意得：，
解得，
即可以取的值是0．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘除法法則進(jìn)行計算，判斷即可．
【詳解】A、，所以本項錯誤；
B、，所以本項正確；
C、，故錯誤；
D、，所以此項錯誤.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】將代入計算即可得．
【詳解】解：當(dāng)時，，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的值，熟練掌握二次根式的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
5．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知是正整數(shù)，則自然數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及結(jié)果為整數(shù)可確定的值．
【詳解】解：∵是正整數(shù)，是整數(shù)，
∴的最小值是．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而化簡求出即可．
【詳解】解：由數(shù)軸可得：
，，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出的符號是解題關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）計算：（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】（1）二次根式的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)二次根式的除法法則解答即可．
【詳解】解：（1）；
（2）．
【點(diǎn)睛】本題考考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的除法法則，掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·八年級單元測試）計算： ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)時，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】將已知條件代入所求的代數(shù)式，然后開平方求值．
【詳解】解：根據(jù)題意，得
當(dāng)時，．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，掌握定義是解題的關(guān)鍵．
10．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）對于，的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)被開方數(shù)非負(fù)及分母不為零的條件得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、分母不為零的條件，解不等式等知識，掌握二次根式非負(fù)、分母不為零是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·八年級單元測試）若是整數(shù)，則整數(shù)n的所有可能的值為 ．
【答案】1，4，9，36
【分析】是整數(shù)，則，且是完全平方數(shù)，即可求出n的值．
【詳解】解：∵是整數(shù)，
∴，且是完全平方數(shù)，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
綜上所述，整數(shù)n的所有可能的值為1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解是整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵．
12．（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級統(tǒng)考期末）若x，y滿足條件：，化簡代數(shù)式 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求得，，得到，再對原式化簡即可求解．
【詳解】解：在中，
∵，，
∴，則，
∴，
∴
，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，熟知二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
13．（2023春·上海·七年級統(tǒng)考期中）計算：
【答案】
【分析】利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計算即可．
【詳解】解：原式
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
14．（2023春·上海靜安·七年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┯嬎悖海?br>【答案】
【分析】利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計算即可．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
15．（2022春·八年級課時練習(xí)）當(dāng)x分別取下列值時，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，計算求值即可；
（2）把x的值代入，計算求值即可；
（3）把x的值代入，計算求值即可．
【詳解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝＝＝3；
（3）解：把x＝﹣，代入二次根式得：
＝＝2；
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．（2022秋·八年級單元測試）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則計算即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則及二次根式性質(zhì)計算即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，注意需要把結(jié)果化為最簡二次根式．
17．（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）（1）；
（2）；
（3）已知，求代數(shù)式的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除混合計算法則求解即可；
（2）根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可；
（3）直接把代入中，利用完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類二次根式即可得到答案．
【詳解】解：（1）原式；
（2）原式
（3）原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計算，二次根式的化簡求值，二次根式的乘除混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（2020秋·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）已知在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡：．

【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子的符號，進(jìn)而根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的意義化簡，最后合并同類項即可求解．
【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可得，且，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)判斷式子的符號，二次根式的性質(zhì)，絕對值的意義，整式的加減，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
19．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)x、y滿足．
(1)求x與y的值；
(2)符號表示一種新的運(yùn)算，規(guī)定，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式成立的條件，即可求得x、y的值；
（2）根據(jù)新的運(yùn)算及x、y的值，進(jìn)行運(yùn)算，即可求解．
【詳解】（1）解：實數(shù)x、y滿足，
，
；
（2）解：根據(jù)新的運(yùn)算，可得：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式成立的條件，利用二次根式的性質(zhì)化簡及運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用二次根式成立的條件是解決本題的關(guān)鍵．
20．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．
例如：化簡
解：∵
∴；
請你仿照上面的方法，化簡下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級上冊電子課本

7 二次根式

版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級上冊

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