第八章　培優(yōu)點(diǎn)11　阿基米德三角形-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過“樣板”，學(xué)會(huì)通過邏輯思維，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題，特別是要學(xué)習(xí)分析問題的思路、解決問題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。 3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。 4、重視錯(cuò)題。“錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
培優(yōu)點(diǎn)11　阿基米德三角形
拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.性質(zhì)1　阿基米德三角形的底邊AB上的中線MQ平行于拋物線的軸.性質(zhì)2　若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定
點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線，該直線與以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.性質(zhì)3　若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過定點(diǎn)(若直線l方程為：ax＋by＋c＝0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為
性質(zhì)5　若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.
例　(多選)(2023·南平模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為弦AB的中點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，l1，l2相交于點(diǎn)P.下面關(guān)于△PAB的描述正確的是A.點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上B.AP⊥PBC.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則△PAB的面積S的最小值為D.PF⊥AB
先證明出拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.證明如下：
所以拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.
消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，對(duì)于A，拋物線y2＝2px在點(diǎn)A處的切線方程為y1y＝px＋px1，
即點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，A正確；
所以AP⊥PB，B正確；對(duì)于D，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)PF⊥AB；
所以kAB·kPF＝－1，則PF⊥AB.綜上，PF⊥AB，D正確；
(1)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì).(2)當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，則阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)A.
跟蹤訓(xùn)練　(2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；
(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.
由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，由題意可知直線AB的斜率存在，
則Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
即P(2k，－b).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
所以當(dāng)b＝5時(shí)，t取得最大值，tmax＝5，此時(shí)k＝0，
1.若拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)弦AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：①點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PF⊥AB.若經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則直線AB的方程為A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，因?yàn)椤鱌AB為“阿基米德三角形”，且弦AB經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P(－1,4)，
2.我們把拋物線的弦AB與過弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的△PAB(P為兩切線的交點(diǎn))叫做“阿基米德三角形”.當(dāng)弦AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直線l：y＝k(x－1)與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則拋物線的“阿基米德三角形”PAB的面積為
拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，直線l：y＝k(x－1)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，依題意，k≠0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得k2＝1，即k＝±1，當(dāng)k＝1時(shí)，因?yàn)椤鱌AB為“阿基米德三角形”，則直線PF的斜率kPF＝－1，直線PF的方程為y＝－x＋1，點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線x＝－1上，
3.已知拋物線C：x2＝4y，直線y＝kx＋b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8，且拋物線在A，B處的切線相交于點(diǎn)P，則△PAB的面積最大值為
方法一　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
當(dāng)k＝0時(shí)，(S△PAB)max＝32.
4.(多選)(2024·廊坊模擬)如圖，△PAB為阿基米德三角形.拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線PA，PB相交于點(diǎn)P.則下列結(jié)論正確的為A.若弦AB過焦點(diǎn)，則△PAB為直角三角形且∠APB ＝90°B.點(diǎn)P的坐標(biāo)是C.弦AB所在直線的方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D.△PAB的邊AB上的中線與y軸平行(或重合)
聯(lián)立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，
所以PA⊥PB，即∠APB＝90°，故A正確；
因此直線PN平行于y軸(或與y軸重合)，即平行于拋物線的對(duì)稱軸(或與對(duì)稱軸重合)，故D正確；
化簡(jiǎn)得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正確.
5.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于該弦所形成的阿基米德三角形面積的 .已知A(－2,1)，B(2,1)為拋物線C：x2＝4y上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為______；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_____.
所以在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為－1，切線方程為y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B點(diǎn)處拋物線C的切線方程為y＝x－1，
所以兩切線的交點(diǎn)為P(0，－1)，
6.如圖，過點(diǎn)P(m，n)作拋物線C：x2＝2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，動(dòng)點(diǎn)Q為拋物線C上在A，B之間上的任意一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)Q處的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，N.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝－2pb，設(shè)拋物線C：x2＝2py在點(diǎn)A處切線方程為y－y1＝t(x－x1)，
設(shè)點(diǎn)Q(x0，y0)，

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