1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過(guò)“樣板”，學(xué)會(huì)通過(guò)邏輯思維，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，特別是要學(xué)習(xí)分析問(wèn)題的思路、解決問(wèn)題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。 3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。 4、重視錯(cuò)題?！板e(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
培優(yōu)點(diǎn)10　阿波羅尼斯圓與蒙日?qǐng)A
在近幾年全國(guó)各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日?qǐng)A，這些問(wèn)題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積等解析幾何的核心問(wèn)題，難度為中高檔.
例1　(1)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓T： ＝1(a>b>0)，A，B為橢圓T長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，C，D為橢圓T短軸的端點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為橢圓T的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足 ＝2，△MAB面積的最大值為 ，△MCD面積的最小值為 ，則橢圓T的離心率為
設(shè)M(x，y)，E(－c,0)，F(xiàn)(c,0)，
(2)已知點(diǎn)P是圓(x－4)2＋(y－4)2＝8上的動(dòng)點(diǎn)，A(6，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PO|＋2|PA|的最小值為_(kāi)_____.
假設(shè)A′(m，n)，使得|PO|＝2|PA′|，
從而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，
由題意得圓3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0與圓(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一個(gè)圓，
所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA′|＋|PA|)≥2|A′A|
即|PO|＋2|PA|的最小值為10.
阿波羅尼斯圓的逆用當(dāng)題目給了一個(gè)圓的方程和一個(gè)定點(diǎn)，我們可以假設(shè)另一個(gè)定點(diǎn)，構(gòu)造相同的阿氏圓，利用兩圓是同一個(gè)圓，便可以求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，則|PA|2＋|PB|2的最大值為
由題意，設(shè)A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
即(x－2)2＋y2＝3，
因?yàn)閨PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圓(x－2)2＋y2＝3上的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)的距離的平方，
(2)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，M，N是x軸上兩定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，且滿足|PM|＝2|PN|，則|MN|＝_____.
如圖所示，設(shè)M(m,0)，N(n,0)，P(x，y)，∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝4|PN|2，∴(x－m)2＋y2＝4[(x－n)2＋y2]，即x2－2mx＋m2＋y2＝4x2－8nx＋4n2＋4y2，即3x2＋(2m－8n)x＋3y2＋4n2－m2＝0，
在橢圓 ＝1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.設(shè)P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn).性質(zhì)1　PA⊥PB.
性質(zhì)4　PO平分橢圓的切點(diǎn)弦AB.性質(zhì)5　延長(zhǎng)PA，PB交蒙日?qǐng)AO于兩點(diǎn)C，D，則CD∥AB.
例2　(1)(2023·撫松模擬)蒙日?qǐng)A涉及的是幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A，若橢圓C： ＝1(a>0)的蒙日?qǐng)A的方程為x2＋y2＝4，則a等于A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
(2)(2023·合肥模擬)已知A是圓x2＋y2＝4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線l1，l2，它們與橢圓 ＋y2＝1都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N.①求證：對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立；
當(dāng)直線l1，l2有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)l1的斜率不存在，∵l1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴l(xiāng)2的方程為y＝1或y＝－1，故l1⊥l2成立，
當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(m，n)且m2＋n2＝4，
設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y＝k(x－m)＋n，代入橢圓方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化簡(jiǎn)整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2成立，綜上，對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立.
②求△AMN面積的取值范圍.
記原點(diǎn)到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，∵M(jìn)A⊥NA，∴MN是圓的直徑，
蒙日?qǐng)A在雙曲線、拋物線中的推廣雙曲線 ＝1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：x2＋y2＝a2－b2(只有當(dāng)a>b時(shí)才有蒙日?qǐng)A).
跟蹤訓(xùn)練2　(多選)(2023·泰州模擬)畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓C： ＝1(a>b>0)的離心率為 ，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線l的方程為bx＋ay－a2－b2＝0.下列說(shuō)法正確的是A.橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為x2＋y2＝3b2B.對(duì)直線l上任意一點(diǎn)P， >0C.記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則d－|AF2|的最小值為D.若矩形MNGH的四條邊均與橢圓C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b2
對(duì)于A，過(guò)點(diǎn)Q(a，b)可作橢圓的兩條互相垂直的切線x＝a，y＝b，∴點(diǎn)Q(a，b)在蒙日?qǐng)A上，∴蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝a2＋b2，
∴橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝3b2，A正確；對(duì)于B，由l方程知，l過(guò)點(diǎn)P(b，a)，
又點(diǎn)P滿足蒙日?qǐng)A方程，∴點(diǎn)P(b，a)在圓x2＋y2＝3b2上，
對(duì)于C，∵點(diǎn)A在橢圓上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a，當(dāng)F1A⊥l時(shí)，d＋|AF1|取得最小值，最小值為F1到直線l的距離，
由A知，a2＝2b2，則c2＝a2－b2＝b2，即c＝b，
對(duì)于D，當(dāng)矩形MNGH的四條邊均與橢圓C相切時(shí)，蒙日?qǐng)A為矩形MNGH的外接圓，
∴矩形MNGH的對(duì)角線為蒙日?qǐng)A的直徑，設(shè)矩形MNGH的長(zhǎng)和寬分別為x，y，則x2＋y2＝12b2，
即矩形MNGH面積的最大值為6b2，D正確.
A.x2＋y2＝9 B.x2＋y2＝7C.x2＋y2＝5 D.x2＋y2＝4
所以橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝7.
2.在圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P能作橢圓　　?。珁2＝1的兩條互相垂直的切線，則r的取值范圍是A.(3,7)　　　B.[3,7]　　　C.(1,9)　　　D.[1,9]
依題意，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，又點(diǎn)P在圓(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圓心為(3,4)，
即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7].
3.阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，|BC|等于
如圖所示，以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AC邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閨AC|＝6，所以A(－3,0)，C(3,0)，設(shè)B(x，y)，因?yàn)閟in C＝2sin A，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化簡(jiǎn)得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，圓的位置如圖所示，圓心為(5,0)，半徑r＝4，
觀察可得，在三角形底邊長(zhǎng)|AC|不變的情況下，當(dāng)B點(diǎn)位于圓心D的正上方或正下方時(shí)，高最大，此時(shí)△ABC的面積最大，B點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4)或(5，－4)，
同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得x2＋y2＝4，故點(diǎn)P的軌跡為圓心為(0,0)，半徑為2的圓，又點(diǎn)P在直線x－y＋m＝0上，
故圓x2＋y2＝4與直線x－y＋m＝0必須有公共點(diǎn)，
5.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓C： ＝1(a>b>0)的蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝a2＋b2，M為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△MPQ面積的最大值為4b2，則橢圓C的離心率為
由已知條件可得MP⊥MQ，則PQ為圓x2＋y2＝a2＋b2的一條直徑，則|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝4(a2＋b2)，
當(dāng)且僅當(dāng)|MP|＝|MQ|時(shí)，等號(hào)成立.所以a2＋b2＝4b2，所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，
設(shè)點(diǎn)M(x，y)，令2|MA|＝|MC|，
當(dāng)點(diǎn)M位于圖中M1的位置時(shí)，2|MA|－|MB|＝|M1C|－|M1B|，
對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)C(x，y).
整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以N(－2,0)為圓心，2為半徑的圓，軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)M(－1,1)，而點(diǎn)M(－1,1)在圓N內(nèi)，所以直線l與圓N相交，故B正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，記圓心N到直線l的距離為d，
因?yàn)閨PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
依題意，過(guò)橢圓Γ的上頂點(diǎn)作y軸的垂線，過(guò)橢圓Γ的右頂點(diǎn)作x軸的垂線(圖略)，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，
因?yàn)辄c(diǎn)M，P，Q都在圓C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ為圓C的直徑，
設(shè)M(x0，y0)，Γ的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，
由直線PQ經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，
9.(2023·贛州模擬)已知兩動(dòng)點(diǎn)A，B在橢圓C： ＋y2＝1(a>1)上，動(dòng)點(diǎn)P在直線3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍為_(kāi)________.
根據(jù)題意可得，圓x2＋y2＝a2＋1上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線 3x＋4y－10＝0與圓x2＋y2＝a2＋1相離時(shí)，∠APB恒為銳角，
10.希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ(λ>0，且λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(－2,1)，B(－2,4)，點(diǎn)P是滿足λ＝ 的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_(kāi)_______________；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在y軸上的射影為H，則|PA|＋|PQ|＋|QH|的最小值為_(kāi)________.
(x＋2)2＋y2＝4

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