
在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及蒙日圓與阿基米德三角形,這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題,難度為中高檔.
拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.
(1)過拋物線x2=2py(p>0)上一點M(x0,y0)的切線方程為 .?
x0x=p(y+y0)
(2)(多選)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,在兩點處的切線相交于點Q,則下列說法中正確的是A.當阿基米德三角形的頂角為直角時,阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙 日圓B.若M為弦AB的中點,則MQ與x軸平行(或重合)C.若弦AB過拋物線的焦點,則點Q在拋物線的準線上D.若阿基米德三角形的底邊AB過焦點,M為弦AB的中點,則該三角形的 面積最小值為2p
(2)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì).(3)當阿基米德三角形的頂角為直角時,阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓.
若直線l與拋物線沒有公共點,以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點,若直線l方程為ax+by+c=0,則定點的坐標為 .?
3.若經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點的一條弦為AB,“阿基米德三角形”為△PAB,且點P的縱坐標為4,則直線AB的方程為A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=0
8.過拋物線y2=8x(p>0)的焦點F作拋物線的弦,與拋物線交于A,B兩點,分別過A,B兩點作拋物線的切線l1,l2相交于點P,則△PAB的面積的最小值為 .?
(2)如圖,P為圓上任意一點,過P分別作橢圓的兩條切線與橢圓相切于A,B兩點.①若直線PA的斜率為2,求直線PB的斜率;
②作PQ⊥AB于點Q,求證:|QF1|+|QF2|是定值.
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