類型二 比(差)值換元
要證x1+x2>2,只需證x2>2-x1,因為x11,下面證明g(x1)=g(x2)>g(2-x1).即證g(x1)>g(2-x1),設t(x)=g(2-x)-g(x),x∈(0,1),則t′(x)=-g′(2-x)-g′(x),t′(x)=-2ln(2-x)-2ln x=-2ln[(2-x)x]>0,故t(x)在(0,1)上單調遞增,故t(x)2,且h(x)在(2,+∞)上單調遞增,所以只需證h(x2)>h(4-x1).因為h(x1)=h(x2),所以即證h(x1)>h(4-x1).令F(x)=h(x)-h(huán)(4-x)=x-ln(x-1)-(4-x)+ln(3-x)=2x-4-ln(x-1)+ln(3-x),x∈(1,2),
所以F(x)在(1,2)上單調遞減,則F(x)>F(2)=0,所以h(x1)>h(4-x1),即h(x2)>h(4-x1),故x1+x2>4.
因為x>0,ex>0,所以k′(x)>0,故函數(shù)k(x)在(0,+∞)上單調遞增,故k(x)>1+(0-1)×e0=0,所以m′(x)>0,故函數(shù)m(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以m(x)>0+2+(0-2)×e0=0,即當x>0時,x+2+(x-2)ex>0.原不等式得證.
1.已知函數(shù)f(x)=xln x-x,兩相異正實數(shù)x1,x2滿足f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2.
f′(x)=ln x,當x∈(0,1)時,f(x)單調遞減;當x>1時,f(x)單調遞增,且f(1)=-1,如圖所示,不妨設x12-x1,只需要證f(2-x1)

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