在近幾年全國(guó)各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到隱圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形，這些問(wèn)題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積等解析幾何的核心問(wèn)題，難度為中高檔.
　　(多選)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“若A，B為平面上相異的兩點(diǎn)，則所有滿足： ＝λ(λ>0，且λ≠1)的點(diǎn)P的軌跡是圓，后來(lái)人們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，A(－2,0)，B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，則下列關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的結(jié)論正確的是A.點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＋8x＝0B.△APB面積的最大值為6C.在x軸上必存在異于A，B的兩定點(diǎn)M，N，使得＝
對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)P(x，y)，
化簡(jiǎn)得x2＋y2＋8x＝0，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可知，點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，所以點(diǎn)P的軌跡是以(－4,0)為圓心，4為半徑的圓，
又|AB|＝6，且點(diǎn)A，B在直徑所在直線上，故當(dāng)點(diǎn)P到圓的直徑所在直線的距離最大時(shí)，△APB的面積取得最大值，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直徑的最大距離為半徑，即△APB的高的最大值為4，
又點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＋8x＝0，
故存在異于A，B的兩定點(diǎn)M(－6,0)，N(－12,0)，
所以2|PA|＋|PQ|＝|PB|＋|PQ|，又點(diǎn)P在圓x2＋y2＋8x＝0上，如圖所示，所以當(dāng)P，Q，B三點(diǎn)共線時(shí)，2|PA|＋|PQ|取得最小值，此時(shí)(2|PA|＋|PQ|)min＝|BQ|
對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，一是利用曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義識(shí)別動(dòng)點(diǎn)的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過(guò)方程識(shí)別軌跡.
對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)C(x，y).
所以x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以N(－2,0)為圓心，2為半徑的圓，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)M(－1,1)，而點(diǎn)M(－1,1)在圓N內(nèi)，所以直線l與圓N相交，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線l與NM垂直時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C到直線l的距離最大，且最大值為r＋|NM|＝2＋ ，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，記圓心N到直線l的距離為d，
因?yàn)閨PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
在橢圓 ＝1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.設(shè)P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn).性質(zhì)1　PA⊥PB.
性質(zhì)4　PO平分橢圓的切點(diǎn)弦AB.性質(zhì)5　延長(zhǎng)PA，PB交蒙日?qǐng)AO于兩點(diǎn)C，D，則CD∥AB.
　　(2023·合肥模擬)已知A是圓x2＋y2＝4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線l1，l2，它們與橢圓 ＋y2＝1都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N.(1)若A(－2,0)，求直線l1，l2的方程；
設(shè)直線的方程為y＝k(x＋2)，
可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0，由Δ＝0，可得k2－1＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1＝－1，k2＝1，∴直線l1，l2的方程分別為y＝－x－2，y＝x＋2.
(2)①求證：對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立；
當(dāng)直線l1，l2的斜率有一條不存在時(shí)，不妨設(shè)l1的斜率不存在，
∴l(xiāng)2的方程為y＝1(或y＝－1)，l1⊥l2成立，
當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(m，n)且m2＋n2＝4，設(shè)方程為y＝k(x－m)＋n，代入橢圓方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，
由Δ＝0化簡(jiǎn)整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2成立，綜上，對(duì)于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立.
記原點(diǎn)到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，∵M(jìn)A⊥NA，∴MN是圓的直徑，
②求△AMN面積的取值范圍.
蒙日?qǐng)A在雙曲線、拋物線中的推廣雙曲線 ＝1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日?qǐng)A：x2＋y2＝a2－b2(只有當(dāng)a>b時(shí)才有蒙日?qǐng)A).
拋物線y2＝2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x＝ (可以看作半徑無(wú)窮大的圓).
　　　定義橢圓C：　　 ＝1(a>b>0)的“蒙日?qǐng)A”的方程為x2＋y2＝a2＋b2，已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為e＝ .(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日?qǐng)A”E的方程；
∴c＝1，∴b2＝3，
∴“蒙日?qǐng)A”E的方程為x2＋y2＝4＋3＝7，即x2＋y2＝7.
(2)過(guò)“蒙日?qǐng)A”E上的任意一點(diǎn)M作橢圓C的一條切線MA，A為切點(diǎn)，延長(zhǎng)MA與“蒙日?qǐng)A”E交于點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設(shè)為k1，k2，證明：k1·k2為定值.
當(dāng)切線MA的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)切線MA的方程為y＝kx＋m，
消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，∴m2＝3＋4k2，
消去y得(1＋k2)x2＋2mkx＋m2－7＝0，
∴Δ＝4m2k2－4(1＋k2)(m2－7)＝16＋12k2>0，設(shè)M(x1，y1)，D(x2，y2)，
拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.性質(zhì)1　阿基米德三角形底邊上的中線MQ平行于拋物線的軸.
性質(zhì)2　若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線.性質(zhì)3　拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于Q點(diǎn)的軌跡.
性質(zhì)4　若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)(若直線l方程為：ax＋by＋c＝0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為C .性質(zhì)5　底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為 .
性質(zhì)6　若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為p2.
　　(多選)(2023·南平模擬)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P.下面關(guān)于△PAB的描述正確的是A.點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上B.AP⊥PBC.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則△PAB的面積S的最小值為D.PF⊥AB
先證明出拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.證明如下：
可得2y0y＝y(tǒng)2＋2px0，
所以拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.如圖所示.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋ ，
消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，對(duì)于A，拋物線y2＝2px在點(diǎn)A處的切線方程為y1y＝px＋px1，
即點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，A正確；
所以AP⊥PB，B正確；對(duì)于D，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)PF⊥AB；
所以kAB·kPF＝－1，則PF⊥AB.綜上，PF⊥AB，D正確；
(1)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類(lèi)似性質(zhì)；(2)當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)A.
　　　已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上的點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；
(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
同理可知，直線PB的方程為x2x－2y2－2y＝0，由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程x0x－2y－2y0＝0，∴直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0，
可得x2－2x0x＋4y0＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
由已知可得－5≤y0≤－3，
A.1 　　　B.2 　　　 C.3 　　　 D.4
根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義，得a＋2＋a＝6，解得a＝2.
2.(2023·煙臺(tái)模擬)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P，△PAB的面積S的最小值為
由題知，弦AB過(guò)拋物線焦點(diǎn)，則由“阿基米德三角形”性質(zhì)知，點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，△PAB的面積的最小值為S＝p2＝4.
3.已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(－2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝ |MO|，得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是阿氏圓C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線l：y＝k(x－1)＋b與圓C恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是
直線l：y＝k(x－1)＋b恒過(guò)定點(diǎn)(1，b)，
要使對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線l：y＝k(x－1)＋b與圓C恒有公共點(diǎn)，
4.拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，稱△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PF⊥AB.若經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則直線AB的方程為A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，因?yàn)椤鱌AB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P(－1,4)，
5.(多選)(2023·廊坊模擬)如圖，△PAB為阿基米德三角形.拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線PA，PB相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其中正確的為A.若弦AB過(guò)焦點(diǎn)，則△ABP為直角三角形且∠APB＝90°
C.△PAB的邊AB所在的直線方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D.△PAB的邊AB上的中線與y軸平行(或重合)
化簡(jiǎn)得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正確.
對(duì)于A，過(guò)Q(a，b)可作橢圓的兩條互相垂直的切線x＝a，y＝b，∴Q(a，b)在蒙日?qǐng)A上，∴蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝a2＋b2，
∴C的蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝3b2，A正確；對(duì)于B，由l方程知l過(guò)P(b，a)，又P滿足蒙日?qǐng)A方程，
對(duì)于C，∵A在橢圓上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a；當(dāng)F1A⊥l時(shí)，d＋|AF1|取得最小值，最小值為F1到直線l的距離，
對(duì)于D，當(dāng)矩形MNGH的四條邊均與C相切時(shí)，蒙日?qǐng)A為矩形MNGH的外接圓，
∴矩形MNGH的對(duì)角線為蒙日?qǐng)A的直徑，設(shè)矩形MNGH的長(zhǎng)和寬分別為x，y，則x2＋y2＝12b2，
7.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的 .已知A(－2,1)，B(2,1)為拋物線C：x2＝4y上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為_(kāi)_____；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____.
所以在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為－1，切線方程為y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B點(diǎn)處拋物線C的切線方程為y＝x－1，
所以兩切線的交點(diǎn)為P(0，－1)，
8.(2023·贛州模擬)已知兩動(dòng)點(diǎn)A，B在橢圓C： ＋y2＝1(a>1)上，動(dòng)點(diǎn)P在直線3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍為_(kāi)_________.
根據(jù)題意可得，圓x2＋y2＝a2＋1上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線 3x＋4y－10＝0與圓x2＋y2＝a2＋1相離時(shí)，∠APB恒為銳角，
9.(2023·開(kāi)封模擬)如圖，過(guò)點(diǎn)P(m，n)作拋物線C：x2＝2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，動(dòng)點(diǎn)Q為拋物線C上在A，B之間的任意一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)Q處的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，N.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b，
消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，有x1x2＝－2pb，令拋物線C：x2＝2py在點(diǎn)A處切線方程為y－y1＝t(x－x1)，
消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，
(2)若分別記△PMN，△ABQ的面積為S1，S2，求 的值.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，P為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)P分別作橢圓兩條切線與橢圓相切于A，B兩點(diǎn).①若直線PA的斜率為2，求直線PB的斜率；
設(shè)P(x0，y0)，則過(guò)P的切線方程為y－y0＝k(x－x0)，
化簡(jiǎn)得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，
設(shè)切線PA，PB的斜率分別為k1，k2，
②作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，求證：|QF1|＋|QF2|是定值.
當(dāng)切線PA，PB的斜率都存在時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線PA，PB的方程為y－yi＝ki(x－xi)，i＝1,2并由①得
由PQ⊥AB得直線PQ方程為
當(dāng)切線PA，PB的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，如PB斜率不存在，則B(2,0)，P(2,1)，A(0,1)，直線AB的方程為y＝ x＋1，
若B(－2,0)，同理可得.

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