蒙日?qǐng)A 蒙日?qǐng)A定理的內(nèi)容： 橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根。 如圖，設(shè)橢圓的方程是。兩切線PM和PN互相垂直，交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P在圓上。 證明：若兩條切線中有一條平行于x軸時(shí)，則另一條必定平行于y軸，顯然前者通過(guò)短軸端點(diǎn)，而后者通過(guò)長(zhǎng)軸端點(diǎn)，其交點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是： 它必定在圓上。 現(xiàn)考察一般情況，兩條切線均不和坐標(biāo)軸平行?？稍O(shè)兩條切線方程如下： 聯(lián)立兩切線方程 GOTOBUTTON ZEqnNum930645 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum930645 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (2)和 GOTOBUTTON ZEqnNum962611 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum962611 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (3)可求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)為： 從而P點(diǎn)距離橢圓中心O的距離的平方為： 現(xiàn)將PM的方程代入橢圓方程，消去y，化簡(jiǎn)整理得： 由于PM是橢圓的切線，故以上關(guān)于x的一元二次方程，其判別式應(yīng)等于0，化簡(jiǎn)后可得： 對(duì)于切線PN，代入橢圓方程后，消去y，令判別式等于0，同理可得： 為方便起見，令： 這樣 GOTOBUTTON ZEqnNum676965 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum676965 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (7)和 GOTOBUTTON ZEqnNum280871 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum280871 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (8)就分別化為了關(guān)于M和N的一元一次方程，不難解出： ， 將 GOTOBUTTON ZEqnNum411096 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum411096 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (10)和 GOTOBUTTON ZEqnNum524275 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum524275 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (11)代入 GOTOBUTTON ZEqnNum757290 \* MERGEFORMAT  REF ZEqnNum757290 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (5)，就得到： 證畢。 例1.(2014廣東)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為， （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。 例2.給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為 (1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;? (2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線,交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.? (ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線,的方程并證明;? (ⅱ)求證:線段MN的長(zhǎng)為定值并求該定值. 解：（1）∵c＝，a＝，∴b＝＝1，∴橢圓方程為+y2＝1，準(zhǔn)圓方程為x2+y2＝4； （2）（?。┮?yàn)闇?zhǔn)圓x2+y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2）， 設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相切的直線為y＝kx+2，所以由得（1+3k2）x2+12kx+9＝0． 因?yàn)橹本€y＝kx+2與橢圓相切，所以△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1， 所以直線l1、l2的方程為y＝x+2和y＝﹣x+2；且k1?k2＝﹣1，∴l(xiāng)1⊥l2． （ⅱ）①當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線l1斜率不存在， 則l1：x＝±，當(dāng)l1：x＝時(shí)，l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)（，1）和（，﹣1）， 此時(shí)l2為y＝1（或y＝﹣1），顯然直線l1，l2垂直； 同理可證當(dāng)l1：x＝﹣時(shí)，直線l1，l2垂直； ②當(dāng)l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中+＝4； 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）與橢圓相切的直線為y＝t（x﹣x0）+y0，所以由， 得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3﹣3＝0； 由△＝0化簡(jiǎn)整理得（3﹣）t2+2x0y0t+1﹣＝0， 因?yàn)?＝4，所以有（3﹣）t2+2x0y0t+（﹣3）＝0； 設(shè)l1，l2的斜率分別為t1和t2，因?yàn)閘1，l2與橢圓相切， 所以t1，t2滿足上述方程（3﹣）t2+2x0y0t+（﹣3）＝0，所以t1?t2＝﹣1，即l1，l2垂直； 綜合①②知：因?yàn)閘1，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M、N，且l1，l2 垂直； 所以線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2＝4的直徑，|MN|＝4，所以線段MN的長(zhǎng)為定值． 例3.（2015秋?宜昌月考）給定橢圓C：+＝1（a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為． （1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程； （2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作一條傾斜角為30°的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．若在橢圓上存在一點(diǎn)C滿足＝λ（+），試求λ的值； （3）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直，并說(shuō)明理由． 【分析】（1）欲求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程，只要求出半徑即可，即分別求出橢圓方程中的a，b即得，這由題意不難求得； （2）確定直線l的方程，代入橢圓方程并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合＝λ（+），求出C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求λ的值． （3）先分兩種情況討論：①當(dāng)l1，l2中有一條無(wú)斜率時(shí)；②．②當(dāng)l1，l2都有斜率時(shí)，第一種情形比較簡(jiǎn)單，對(duì)于第二種情形，將與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y＝t（x﹣x0）+y0，代入橢圓方程，消去去y得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，根據(jù)根的判別式等于0得到一個(gè)方程：（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，而直線l1，l2的斜率正好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，從而證得l1⊥l2． 解：（1）因?yàn)椋詁＝1所以橢圓的方程為，準(zhǔn)圓的方程為x2+y2＝4． （2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作一條傾斜角為30°的直線的方程為y＝tan30°（x﹣1）＝（x﹣1）， 代入橢圓方程，并整理得x2﹣x﹣1＝0． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝1， ∴y1+y2＝（x1﹣1）+（x2﹣1）＝（x1+x2﹣2）＝﹣． ∴＝λ（+）＝λ（x1+x2，y1+y2）＝λ（1，﹣），∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（λ，﹣λ）， 代入橢圓方程，可得+＝1，∴2λ2＝3，解得λ＝±． （3）①當(dāng)l1，l2中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)l1無(wú)斜率， 因?yàn)閘1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或， 當(dāng)l1方程為時(shí)，此時(shí)l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)， 此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y＝1（或y＝﹣1）， 即l2為y＝1（或y＝﹣1），顯然直線l1，l2垂直； 同理可證l1方程為時(shí)，直線l1，l2垂直． ②當(dāng)l1，l2都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中x02+y02＝4， 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y＝t（x﹣x0）+y0， 則，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3＝0， 即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0，△＝[6t（y0﹣tx0）]2﹣4?（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]＝0， 經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到： （3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，因?yàn)閤02+y02＝4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0， 設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，因?yàn)閘1，l2與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以t1，t2滿足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，所以t1?t2＝﹣1，即l1，l2垂直． 例4.已知橢圓?,該橢圓上、左、下頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)圍成的四邊形面積為,離心率為 (1)求橢圓的方程;? (2)如圖,若矩形ABCD的四條邊都與該橢圓相切,求矩形ABCD面積的最大值. 【分析】（1）由題意可得：＝3，＝，a2＝b2+c2，聯(lián)立解出即可得出． （2）令A(yù)（x0，y0），當(dāng)AB斜率為0或不存在時(shí)，可得SABCD＝8．當(dāng)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB方程：y＝kx+y0﹣kx0．代入橢圓方程可得：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12＝0，根據(jù)AB與橢圓相切，可得△＝0，化為：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2＝0，同理可得AD與橢圓相切，可得：+2kx0y0+﹣3k2﹣4＝0．進(jìn)而得出． 解：（1）由題意可得：＝3，＝，a2＝b2+c2，聯(lián)立解得a＝2，b＝，c＝1． ∴橢圓的方程為＝1． （2）令A(yù)（x0，y0），當(dāng)AB斜率為0或不存在時(shí)，可得SABCD＝8． 當(dāng)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB方程：y＝kx+y0﹣kx0．代入橢圓方程可得：3x2+4， 化為：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12＝0，∵AB與橢圓相切，可得△＝﹣4（3+4k2）＝0，化為：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2＝0，①． 同理可得AD與橢圓相切，可得﹣2x0y0+﹣3﹣4＝0，化為：+2kx0y0+﹣3k2﹣4＝0．② ①+②可得：＝7．即A點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上． ∴ABCD為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的內(nèi)接矩形，只有當(dāng)ABCD為正方形時(shí)面積最大．可得SABCD＝14． 例5.（2019南通二模） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：，橢圓C2：，C2與C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為∶1，離心率相同． （1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點(diǎn)為橢圓C2上一點(diǎn)． ① 射線與橢圓C1依次交于點(diǎn)，求證：為定值； ② 過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線，且直線與橢圓C1均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：為定值． 【分析】（1）根據(jù)題意求出a和b的值，即可寫出橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）①討論直線OP斜率不存在和直線OP斜率存在時(shí)，分別計(jì)算是值即可； ②設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出直線l1和l2的方程，分別與橢圓C1的方程聯(lián)立，消去y得關(guān)于x的方程， 利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合橢圓方程求出k1?k2的值． 解：（1）設(shè)橢圓C2的焦距為2c，由題意知，a＝2，，a2＝b2+c2， 解得b＝，因此橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1； （2）①1°當(dāng)直線OP斜率不存在時(shí)，PA＝﹣1，PB＝+1， 則； 2°當(dāng)直線OP斜率存在時(shí)，設(shè)直線OP的方程為y＝kx， 代入橢圓C1的方程，消去y，得（4k2+1）x2＝4， 所以xA2＝，同理xP2＝； 所以xP2＝2xA2，由題意，xP與xA同號(hào)，所以xP＝， 從而，所以為定值； ②設(shè)P（x0，y0），所以直線l1的方程為y﹣y0＝k1（x﹣x0），即y＝k1x+k1y0﹣x0， 記t＝k1y0﹣x0，則l1的方程為y＝k1x+t， 代入橢圓C1的方程，消去y，得（4k12+1）x2+8k1tx+4t2﹣4＝0， 因?yàn)橹本€l1與橢圓C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以△＝（8k1t）2﹣4（4k12+1）（4t2﹣4）＝0，即4k12﹣t2+1＝0， 將t＝k1y0﹣x0代入上式，整理得，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+y02﹣1＝0， 同理可得，（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+y02﹣1＝0， 所以k1，k2為關(guān)于k的方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+y02﹣1＝0的兩根，從而k1?k2＝； 又點(diǎn)在P（x0，y0）橢圓C2：＝1上，所以y02＝2﹣2， 所以k1?k2＝為定值．

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