2.5 角平分線的性質(zhì)
體會(huì)角的軸對(duì)稱性，認(rèn)識(shí)角的平分線
掌握角的平分線的性質(zhì)與判定并會(huì)應(yīng)用
會(huì)用尺規(guī)作圖作出一個(gè)角的平分線
1.在紙上任意畫一個(gè)∠BAC.2.把它沿經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的某條直線對(duì)折，使角的兩邊AB與AC重合.3.然后把紙展開后鋪平,記折痕為AD.你發(fā)現(xiàn)∠BAC是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？
角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸.
3.用圓規(guī)比較PM與PN的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？
1.如圖，在∠BAC的角平分線AD上，任意取一點(diǎn) P
2.過(guò)點(diǎn)P 作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別是點(diǎn) M，N；
4.你能說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn)是正確的嗎？
∵ AD平分∠BAC∴ ∠MAP=∠PAN
∵ PM⊥AB,PN⊥AC∴ ∠AMP=∠ANP=90°
∵AD是∠ BAC的平分線 PM⊥AB, PN⊥AC∴PM=PN
角平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
1.判斷正誤，并說(shuō)明理由：
（1）如圖,P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn),D、E分別在OA、OB上,則PD=PE . ( )
（2）如圖，P在射線OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE.( )
學(xué)習(xí)小心得運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)時(shí)，一定要滿足兩個(gè)條件：（1)OC是角平分線（2）PD⊥OA,PE⊥OF 二者缺一不可
2.如圖所示，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2，則PQ的最小值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4
3.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?A.PD＝PE　　 B.OD＝OE　 C.∠DPO＝∠EPO　　 D.PD＝OD
1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線L是一，三象限的夾角平分線，直線m是二，四象限的夾角平分線.（1）若點(diǎn)P在直線L上，且點(diǎn)P到x軸的距離為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（2）若點(diǎn)P在直線m上，且點(diǎn)P到x軸的距離為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)有（1），（2）你能總結(jié)出什么結(jié)論?
(3,3)或(-3,-3)
(-5,5)或(5,-5)
在直角坐標(biāo)系中，一，三象限的夾角平分線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，二，四象限的夾角平分線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相反.
如圖，已知∠BAC，經(jīng)過(guò)∠BAC內(nèi)部任意作直線L1∥AB，作直線L2∥AC，使L2與AC之間的距離等于L1與AB之間的距離.記L1 ，L2的交點(diǎn)為P.則P是∠BAC內(nèi)部一個(gè)到∠BAC的兩邊AB，AC距離相等的點(diǎn).作直線AP.如果將∠BAC沿AP對(duì)折.你發(fā)現(xiàn)∠BAP與∠CAP重合嗎?
∠BAP與∠CAP重合
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
∵ PM⊥AB，PN⊥AC， PM=PN，∴點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上.
1.如圖,∠AOB=60°，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，則∠DOC的度數(shù)是（ ）A. 30° B. 45° C.60° D.120°
2.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，試說(shuō)明：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．
思路點(diǎn)撥：只要說(shuō)明點(diǎn)F到邊AE,AD的距離相等即可.
學(xué)習(xí)小心得當(dāng)題目中有角平分線的條件時(shí)，我們通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)作到角兩邊的垂線段.
3.如圖, △ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P, 則點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上嗎？為什么？
證明：分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F∵BM平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC∴PE=PF∴PD=PE=PF即點(diǎn)P到三邊的距離相等.
三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的距離都相等
如圖，已知一個(gè)∠BAC，你能用直尺和圓規(guī)作出它的平分線嗎？
要作出∠BAC的平分線，只要設(shè)法確定角平分線上除點(diǎn)A外的一點(diǎn)P的位置，然后連接AP就可以了.
①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交這個(gè)角的兩邊于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；
射線AP就是所求作的∠BAC的平分線.
（1）為什么圖中所作出的射線AP是∠BAC的平分線呢?
連接PE，PF，因?yàn)锳E=AF，EP=FP，AP=AP由SSS得，△APE≌△APF.所以∠BAP=∠CAP.
①BE=BF②DE=DF③EB=EF④AD=DC⑤BD平分∠FDE⑥D(zhuǎn)點(diǎn)到邊AB，BC的距離相等.
2.如圖，在兩條鐵路之間有兩個(gè)村莊A,B，現(xiàn)欲建一個(gè)中轉(zhuǎn)站C，使得C到兩條鐵路的距離相等，且C到A,B兩個(gè)村莊的距離也相等，試確定點(diǎn)C的位置.
會(huì)用尺規(guī)作圖法作出一個(gè)已知角的平分線
角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
利用角的平分線的性質(zhì)與判定解決數(shù)學(xué)問(wèn)題
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

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