1.體會角的軸對稱性，認(rèn)識角的平分線。2.掌握角的平分線的性質(zhì)并會應(yīng)用.3.知道到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。4.會用尺規(guī)作圖作出一個角的平分線。
一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.
∵射線OC是∠AOB的角平分線，
或∠AOB = 2∠1= 2∠2 .
從直線外一點(diǎn)到這條直線的______________,叫做這個點(diǎn)到直線的距離.
探究：角是軸對稱圖形嗎？
(1)∠BAC是軸對稱圖形嗎？
按照以下步驟做一做：①在紙上任意畫一個∠BAC；②把它沿經(jīng)過點(diǎn)A的某條直線對折，使角的兩邊AB與AC重合；③把紙展開后鋪平，記折痕為AD.
角的平分線所在的直線是它的對稱軸.
(2)它的對稱軸是什么？
按照以下步驟做一做：①在剛才折出的角平分線AD上，任意取一點(diǎn) P ；②過點(diǎn)P 作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別是點(diǎn) M，N；③用圓規(guī)比較PM與PN的大小.
你有什么發(fā)現(xiàn)？說明你的理由.
結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)，到這個角的兩邊的距離相等.
已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,證：PD=PE
驗證:角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等
解：∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∴ ∠PDO= ∠PEO
在△PDO和△PEO中
∠1= ∠2
OP=OP
∴ △PDO ≌ △PEO (AAS)
角平分線上的點(diǎn),到這個角的兩邊的距離相等.
∵AD平分∠BAC，P在AD上 PM⊥AB ，PN⊥AC∴PC=PD
(1)點(diǎn)P在角平分線上；
(2) PM⊥AB，PN⊥AC
為證明線段相等提供了新思路.
判斷正誤，并說明理由：
1.如圖,P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn),D、E分別在OA、OB上,則PD=PE . ( )
2.如圖，P在射線OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE.( )
3.如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離邊為3cm.( )
結(jié)論：點(diǎn)P在∠BAC 的平分線上
已知：∠BAC ，點(diǎn)P 在角的內(nèi)部，過點(diǎn)P 作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別是點(diǎn) M，N ，并且PM = PN.
射線AP是∠BAC 的平分線.
反過來，角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個角的平分線上呢？
作用：①判斷點(diǎn)是否在角平分線上； ②判斷一條射線是否是角的平分線.
∵ PM⊥AB，PN⊥AC， PM=PN，∴點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上.
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
為證明角相等提供了新的依據(jù).
例：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.試說明：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.
解：過點(diǎn)P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F
∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上
∴ PD=PE=PF.
即點(diǎn)P到邊AB、BC、 CA的距離相等
①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交這個角的兩邊于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；
已知：∠BAC 求作：∠BAC 的平分線.
射線AP就是所求作的∠BAC的平分線.
已知一個角，你能用直尺和圓規(guī)作出它的平分線嗎？
想一想：為什么OC是角平分線呢？
已知：OM=ON，MC=NC。試說明：OC平分∠AOB。
1.∠AOB的平分線上一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5㎝，則 M到OB的距離為　　　㎝.
2.如圖，在△ABC中,∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，那么BE是∠ABC的　　 ，若EC=3cm，則ED= ,
3.如圖，OP 平分∠MON，PA⊥ON， 垂足為A，PA=2cm. Q是邊OM上的一個動點(diǎn)，則線段PQ 的最小值（ ） A．1cm B.2cm C.3cm D.4cm
會用尺規(guī)作圖法作出一個已知角的平分線(依據(jù)：SSS)
角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
利用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上
角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線

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2.5 角平分線的性質(zhì)

版本： 青島版

年級： 八年級上冊

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