2.4 線段的垂直平分線
能用尺規(guī)完成基本作圖：過一點(diǎn)作已知直線的垂線
在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡
利用過一點(diǎn)作已知直線的垂線解決最短路徑問題.
探究問題：如何過一點(diǎn)P作已知直線L的垂線？
1.已知直線L與直線L上一點(diǎn)P,如何過點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？
（1）作圖思路分析：先在直線L上作出以點(diǎn)P為中點(diǎn)的一條線段AB ，再作線段AB的垂直平分線，那么這條直線就經(jīng)過點(diǎn)P ，又與直線l垂直.
①以點(diǎn)P為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，與直線L相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.
②作線段AB的垂直平分線CD.
直線CD就是過點(diǎn)P的直線L的垂線.
2.已知直線L與直線L外一點(diǎn)P,如何過點(diǎn)P作已知直線l的垂線呢？
（1）作圖思路：先在直線L上作出一條線段AB ，并且使點(diǎn)P到線段AB兩端的距離相等，再作線段AB的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過點(diǎn)P ，又與直線L垂直.
①以點(diǎn)P為圓心，大于點(diǎn)P到直線L的距離的長(zhǎng)為半徑作弧，與直線L相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B；②作線段AB的垂直平分線CD.
過一點(diǎn)作已知直線的垂線
過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線
過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線
1.已知△ABC，求作AC邊上的高.
2.如圖，已知線段a，銳角α，求作Rt△ABC，使∠C=90°，BC=a,∠B=α
例1 海倫是古希臘的一位數(shù)學(xué)家，測(cè)量學(xué)家.相傳，有一天一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)令他百思不得其解的問題：“我每天策馬往返于兩個(gè)邊防站A與B之間，途中都要到小河L邊讓馬飲水.怎樣走路程最近呢？”你能幫將軍解答這個(gè)問題嗎？說出你的作法，在圖中作出最近的路線.
將本題抽象為數(shù)學(xué)語言：已知點(diǎn)A ，B兩點(diǎn)在直線L的同側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小.
(1)你能將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？
（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接PB'，
此時(shí)PB與PB'有什么關(guān)系?
(3)現(xiàn)在求AP+BP的最小值問題就轉(zhuǎn)化為什么問題了？
求AP+B'P的最小值問題
（4）AP+B'P的長(zhǎng)度可以看作哪兩點(diǎn)之間的一條路徑長(zhǎng)？
（5）從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過直線L上一點(diǎn)，最終到達(dá)點(diǎn)B'的路徑有無數(shù)條，其中哪一條最短？
作法：(1)過點(diǎn)B作直線L的垂線BC，垂足為C；(2)在BC上截取點(diǎn)B′，使B，B′分別在L的兩側(cè)，且CB′= CB；(3)連接AB′，與直線L交于點(diǎn)P；點(diǎn)P就是所求作的直線L上使AP+BP的值最小的點(diǎn)
當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)，我們就可以按照這個(gè)圖形在直線上作出到這兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)了.
1．如圖，在△ABC中，AC=2，，EF垂直平分BC，點(diǎn)P是直線EF上的任意一點(diǎn)，求AP+PC的最小值．
連接PC∵EF是BC的垂直平分線∴PB=PC∴AP+PB=AP+PC∴當(dāng)點(diǎn)A,P,C在一條直線上時(shí)，AP+PC有最小值，且最小值=AC=3．
2.已知如圖，在∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M為邊OA上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為邊OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，你能畫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的位置嗎?
3.如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn).

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2.4 線段的垂直平分線

版本： 青島版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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