重難點(diǎn)6-2 空間幾何體的交線與截面問題（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題練習(xí)（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

空間幾何體的交線與截面問題既是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，往往在高考的選填壓軸題中出現(xiàn)，難度較大。此類題目綜合考察考生的空間想象能力和邏輯推理能力，處理這類問題的基本思路是借助空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問題平面化。
【題型1 作出空間幾何體的截面】
【例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為8，，，分別是，，的中點(diǎn)．
（1）畫出過點(diǎn)，，的平面與平面的交線；
（2）設(shè)平面，求的長．
【答案】（1）作圖見解析；（2）
【解析】（1）如下圖所示，∵平面，與不平行，
∴與必相交．設(shè)交點(diǎn)為，連接．
∵平面，平面，
∴過點(diǎn)，，的平面與平面的交線為.
（2）∵，∴，∴．
∴.
【變式1-1】（2024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn).
（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）截面，作圖過程見解析；（2）
【解析】（1）連接并延長交延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，
連接交于點(diǎn)，則截面即為所求.
（2）如圖，以為原點(diǎn)，棱所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
因?yàn)檎襟w的棱長為2，
所以.
.
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，得平面的法向量為.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
故點(diǎn)到平面的距離為.
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵?，畫出?jīng)過三點(diǎn)的截面并寫出作法（無需證明）．
（2）求截面的面積．
【答案】（1）圖形見解析；（2）
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，
則四邊形即為過點(diǎn)、和的平面截直四棱柱所得截面；
取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為直四棱柱，底面為正方形，
所以且，且，所以且，
所以為平行四邊形，所以，
又且，所以為平行四邊形，所以，
所以，即、、、四點(diǎn)共面.
（2）在直四棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)，
所以，
所以四邊形為菱形，連接，，則，
又，，所以.
【變式1-3】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，且點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．
（1）過點(diǎn)作三棱柱截面，求截面圖形的周長；
（2）求平面與平面的所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，
設(shè)外接球的半徑為，底面正的外接圓的半徑為，可得，
則，
因?yàn)?，解得?br>又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，可得，
如圖所示，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，四邊形為所求截面，
又由，所以，
在中，由余弦定理得，所以可得,
所以截面圖形的周長為.
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋傻茫?br>則
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，所以，
取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，可得?br>又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以?br>因?yàn)榍移矫?，所以平面?br>又由，可得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)兩個(gè)平面所成角為，則，
所以平面與平面的所成角的余弦值．
【題型2 判斷截面多邊形的形狀】
【例2】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）（多選）在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】AD
【解析】如圖所示：
在正方體中，
又，平面，平面，則平面，
又平面，則，同理，
又，平面，平面，
所以平面，同理平面，
由直線與平面垂直的性質(zhì)得；與平面和平面平行的平面，都與垂直，
由圖象知：在平面和平面之間的平面，與正方體所得截面的形狀為六邊形；
在平面和平面之外的平面，與正方體所得截面的形狀為三角邊形，故選：AD
【變式2-1】（2023·江西宜春·高三宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長方體中，、，、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，過點(diǎn)、、作一個(gè)截面，該截面的形狀為（）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【解析】如圖所示，延長、，使，連接、，
∵、、，
∴、，
∵、分別為棱、的中點(diǎn)，
∴，∴，
∵，又、、三點(diǎn)共線，
∴、、三點(diǎn)共線，∴在截面上，
延長、，使，
連接，使，∴在截面上，
連接、，
∵，且
∴，∴且=，
又為中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線，∴、、三點(diǎn)共線，
∴截面為五邊形，故選：C．
【變式2-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）
A．該截面是四邊形
B．平面
C．平面平面
D．該截面與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)
【答案】D
【解析】對(duì)A：如圖，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于點(diǎn)，
連接，分別與棱交于點(diǎn)，得到截面是五邊形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：因?yàn)槊婷?，故?br>又，面，故面，
又面，故；
假設(shè)，又，面，故面，
又面，
顯然過一點(diǎn)作一個(gè)平面的垂直只能有一條，假設(shè)不成立，即與不垂直；
又平面，所以與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：面面，故，
又，面，故面，又面，
故，同理可得，又面，
故平面，又與平面不垂直，
所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：易知，所以，
所以截面與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)，故D正確．故選：D．
【變式2-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知直三棱柱，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（）
A．存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為等邊三角形
B．存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形
C．當(dāng)，時(shí)，截面為五邊形
D．當(dāng)，，時(shí)，截面為梯形
【答案】AC
【解析】由題意，在直三棱柱中，，，
，，，
平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，
A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，此時(shí)，且，A正確；
B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在三棱錐內(nèi)部，為三角形，
當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，
當(dāng)有兩個(gè)大于時(shí)，不為平行四邊形,
當(dāng)有三個(gè)大于時(shí)，截面為,
∴不存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，解得：（舍）或，
當(dāng)時(shí)，，在三棱柱外，在三棱柱內(nèi)，截面為五邊形,故C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，截面為四邊形,易知與相交，
假設(shè)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br>又平面，平面平面，所以，所以（矛盾），
故四邊形不是梯形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.
【題型3 求解截面多邊形的周長】
【例3】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體的棱長為為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作與直線垂直的平面，則平面截正方體的截面的周長為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，
顯然≌，則，，
即有，而平面，平面，則，
又平面，于是平面，而平面，
因此，同理，顯然平面，
所以是平面截正方體所得截面，
其周長為. 故選：D.
【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長為（）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，
又，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，，所以，，
所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，
其周長為．故選：A．
【變式3-2】（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為．
【答案】
【解析】由題意可知過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，
因?yàn)橹比庵?，所以各?cè)面均為矩形，所以，
直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，
則在矩形中，
所以過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為.
【變式3-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則過點(diǎn)的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，
連接并延長交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，
連接，分別交，于點(diǎn)，，
連接，，則六邊形所在平面即為平面，
六邊形即為過點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面多邊形，
由全等三角形可知，，，分別為，，的中點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br>所以六邊形的周長為．故選：D．
【變式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>則四棱臺(tái)的高為，則四棱臺(tái)的體積為，
解得，所以側(cè)棱長為.
如圖所示：
過于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，
由對(duì)稱性可知，所以，
而，所以，
所以，同理，
分別在棱上取點(diǎn)，使得，
易得，
所以截面多邊形的周長為.故選：D.
【題型4 求解截面多邊形的面積】
【例4】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（）
A． B． C．9 D．18
【答案】B
【解析】由題知連接，，，如圖所示
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，
在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，
所以平面截該正方體所得的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長為，
所以，，，
則到的距離為等腰梯形的高為，
所以截面面積為，故B正確.故選：B.
【變式4-1】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中點(diǎn)，CC1=AC=4，，AB=3，，過點(diǎn)D作平面平面，則平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知：分別取中點(diǎn)，連接，如圖所示：
所以：，因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋浩矫妫辉谄矫嫔希?br>所以：平面，平面，
又因?yàn)椋?，平面?br>所以：平面平面，即：平面為平面與三棱柱的截面；
因?yàn)椋?，，平?br>平面，又因?yàn)槠矫妫?，?br>又因?yàn)椋?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以得為等邊三角形，則，，，
所以，所以得四邊形為等腰梯形，
所以，，，
可求出截面面積為：故A項(xiàng)正確.故選：A.
【變式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐底面邊長為1，側(cè)棱長為2，過棱的中點(diǎn)作與該棱垂直的截面分別交，于點(diǎn)，，則截面的面積為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題易知面，面，則，，
在中，由余弦定理得，，
∵，∴，
∴，，，
，同理，，
∴，∴，∴，∴．
過作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
∴，
∴，故選：B．
【變式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長為3，點(diǎn)分別在棱上，且滿足為底面的中心，過作截面，則所得截面的面積為 .
【答案】
【解析】如圖，連接,
在正方體中，易知，
,即.四點(diǎn)共面，
又在上，過作正方體截面為梯形，
正方體的棱長為3，，,
梯形的高為，
梯形的面積為.
【變式4-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長為4的正四面體，用所有與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面可分為兩類，
一類是平面的一側(cè)是1個(gè)點(diǎn)，另外一側(cè)有3個(gè)點(diǎn)（如圖1），
此時(shí)截面過棱的中點(diǎn)，且與一個(gè)面平行，
故截面三角形與平行的面（三角形）相似，相似比為，
故其面積為，
這樣的截面共有4個(gè)，故這類截面的面積和為，
另外一類是平面的兩側(cè)各有2個(gè)頂點(diǎn)（如圖2），
因?yàn)檎拿骟w對(duì)棱垂直，易知四邊形PQMN是邊長為2的正方形，其面積為4，
這樣的截面共有3個(gè)，故這類截面的面積和為12，
故符合條件的截面的面積和為.故選：A．
【題型5 截面分割幾何體的體積問題】
【例5】（2023·河北衡水·衡水中學(xué)?？家荒＃┮阎庵^底邊的平面與上底面交于線段，若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】平面，平面平面，平面，；
設(shè)的面積為，的面積為，三棱柱的高為，
三棱臺(tái)的體積，
又三棱柱的體積，
，解得：（舍）或，
∽，，即.故選：A.
【變式5-1】（2024·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方體，棱的中點(diǎn)分別為，平面截正方體得兩個(gè)幾何體，體積分別記為，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨設(shè)正方體的棱長為，連接，
因?yàn)檎襟w ，所以，
則四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)分別為，所以，則，
所以平面即為平面，幾何體為一個(gè)三棱臺(tái)，
則，
又正方體的體積為，
所以，則.故選：D.
【變式5-2】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面的邊長為為正三角形，點(diǎn)分別在上，且，若過點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖：
連接，交于點(diǎn)，連接，，相交于點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以，所以?br>故為的重心，所以為中點(diǎn).
又因?yàn)闉檎切?，所?
因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，
，，平面，且，所以平面.
平面，所以，又，所以.
，平面，，所以平面.
因?yàn)椋?，，?
所以.故選：D
【變式5-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，，是棱AB上一點(diǎn)，若平面把三棱柱分成體積比為的兩部分，則（）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖：
延長與交于，連接交于，
則平面與三棱錐的截面是，
將三棱錐分成兩部分，三棱臺(tái)，多面體，
設(shè)，，，
，
，設(shè)，則，
，則，，解得：，
由于，所以，故選：D.
【變式5-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.
（1）證明：平面；
（2）過點(diǎn)作一平行于平面的截面，畫出該截面（不用說明理由），并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）截面為平面，體積為
【解析】（1）在中，，，，，
由余弦定理得：，，，
又平面，平面，，
，平面，平面.
（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則平面即為所求.
理由如下：
，，四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，
同理可得：平面，
，平面，平面平面；
由（1）可知：平面，且平面，
，，
夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.
【題型6 截面最值的相關(guān)問題】
【例6】（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所?br>且，平面，所以平面，平面，
所以，同理，且，平面，
所以平面；
所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.
當(dāng)為三角形時(shí)，其面積的最大值為；
當(dāng)為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示，
設(shè)，則，
依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示：六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，
其中，兩個(gè)等腰梯形的高分別為，，
則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大，最大值為.
【變式6-1】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，過點(diǎn)的平面分別交棱AB，AC于點(diǎn)D，E，若直線與平面所成角為，則截面三角形面積的最小值為．
【答案】
【解析】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br>所以平面，平面，所以，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
，，平面，
所以平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，所以?br>平面，，所以平面，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，
在中，由，，可得，，
設(shè)，在中，，由等面積法可知，
因?yàn)槠矫妫钟善矫?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.
【變式6-2】（2024·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為；若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則平面截三棱柱所得截面面積的最大值為 .
【答案】；
【解析】由題意，直三棱柱中，，，
該直三棱柱可補(bǔ)充一個(gè)長方體，
其中直三棱柱的外接球和補(bǔ)成的長方體的外接球是同一個(gè)球，
又由長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為，可得對(duì)角線長為，
所以外接球的半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為；
如圖所示，連接，并延長交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，
則且，在過點(diǎn)作，可得，
連接，則四邊形即為過點(diǎn)的截面，
在中，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，且平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>所以四邊形為直角梯形，
在中，由且，可得，所以，
設(shè)，在直角中，可得，
又由，可得，
所以直角梯形的面積為
，其中，
設(shè)，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
時(shí)，，單調(diào)遞減，
又由，可得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)梯形的面積取得最大值.
【變式6-3】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，
因?yàn)?，則，
設(shè)其相似比為，即，則；
又因?yàn)椋?，?br>由余弦定理得，，則，即.
又平面，，平面，所以，.
又，則，.
因?yàn)椋瑒t，則，
因?yàn)?，所以，即?br>同理可得，即，
因?yàn)?，，則，
故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，
故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；
又平面，平面，則，
又，所以.
故平行四邊形為矩形，則，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，
在中，.故選：C.
【變式6-4】（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長為2的正方體內(nèi)，放入一個(gè)以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．
【答案】
【解析】如圖，連接，，，，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
又，平面，平面，,
平面，故，同理可得，
平面，平面，，平面，
設(shè)圓柱的一個(gè)底面所在平面截正方體所得的截面為，則為正三角形，
由圓柱可知軸線平面，
又平面，所以平面平面，
設(shè)（），則，
所以內(nèi)切圓的半徑，
點(diǎn)到平面的距離．
因?yàn)椋詧A柱的高，
圓柱的體積，
，則在上單調(diào)遞增，
所以．
【題型7 球的截面問題】
【例7】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）球的兩個(gè)平行截面面積分別為和，球心到這兩個(gè)截面的距離之差等于1，則球的直徑為（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】令球心到較近的截面距離為，則到另一個(gè)截面距離為，且球的半徑為，
易知較近的截面圓面積為，另一個(gè)截面圓面積為，
所以較近的截面圓半徑為，另一個(gè)截面圓半徑為，
由截面圓半徑與球體半徑、球心與截面距離關(guān)系知：，
所以，故，則球的直徑為6.故選：D
【變式7-1】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，
因?yàn)椋?
由勾股定理，得，
由題意得，所以，解得，
此時(shí)過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.
設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，
所以只需球心到所求截面的距離最大即可，
而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，
即，所以.故選：C
【變式7-2】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槠矫妫?、平面，所以，?br>因?yàn)椋?，、平面，所以平面?br>如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，
則，，所以，
所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，
因?yàn)榍遥?br>所以，所以弧的長為．故選：B.
【變式7-3】（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球O上，點(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，，則平面被球O截得的截面面積為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)中點(diǎn)為，點(diǎn)在平面的射影是線段的中點(diǎn)，
平面，，，
又，是等邊三角形．
取中點(diǎn)為，連接交于，則是外心．
連接，在上取，使得，則為外心．
過作平面的垂線，過作平面的垂線，
兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球球心，
則四邊形是矩形，．
連接，，設(shè)外接圓半徑，
設(shè)球半徑為．
球的表面積為，．
在中，，
平面被球截得的截面面積．故選：C
【變式7-4】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長均為4，，以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為．
【答案】
【解析】如圖：取的中點(diǎn),連接，
結(jié)合題意：易得為等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以
因?yàn)樵谥彼睦庵杏忻?且面，
所以,又因?yàn)?且面
所以面，結(jié)合球的性質(zhì)可知為該截面圓的圓心，
因?yàn)橹彼睦庵乃欣忾L均為4，，
所以 ,, ,,
故以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為：
以為圓心, 為半徑的圓所成的圓弧.
所以.
【題型8 圓錐的截面問題】
【例8】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）某圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，連接SO，
由圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形可知
圓錐的高，底面圓半徑為，
設(shè)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，連接BC，OC，則，
所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，即最大時(shí)，即的夾角為90°時(shí)，
的面積最大，此時(shí)的面積為8，且，
取中點(diǎn)，連接，則，
在直角中，可得，
所以的面積為，
設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h，
則由可得，
即，解得，
所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為．故選：D．
【變式8-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則 .
【答案】
【解析】令球半徑為，則，解得，
由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，
因此，
由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，
則圓錐底面圓半徑，
令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，
點(diǎn)為弦中點(diǎn)，
如圖，依題意，，，，
顯然，
于是，所以.
【變式8-2】（2024·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)校考二模）已知球的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球和圓錐所得的截面面積分別為，若，則
【答案】
【解析】設(shè)球O半徑為R，由，得，
平面截球O所得截面小圓半徑，由，得，
因此，球心O到平面的距離，
而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，
因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，
于是得圓錐底面圓半徑，
令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，
點(diǎn)C為弦中點(diǎn)，如圖，由題意，，
則，，，
所以.
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）圖，在圓錐中，已知高.底面圓的半徑為2，為母線的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列三個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線，則下面四個(gè)命題中正確的有（）
A．圓錐的體積為 B．圓的面積為
C．橢圓的長軸長為 D．雙曲線兩漸近線的夾角
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，圓錐底面圓面積，圓錐體積，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，圓錐中截面圓的半徑為底面圓半徑的一半，該圓面積為，B正確；
對(duì)于C，過作于，于是，，
因此橢圓的長軸長，C正確；
對(duì)于D，在與平面垂直且過點(diǎn)的平面內(nèi)，
建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P到底面距離相等，
于是雙曲線頂點(diǎn)，雙曲線與圓錐底面圓周的交點(diǎn)，
設(shè)雙曲線方程為，則，解得，
因此該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，
即雙曲線兩漸近線的夾角，D正確.故選：BCD
【變式8-4】（2023·河北·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用一垂直于某條母線的平面截一頂角正弦值為的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點(diǎn)A到平面的距離為3.
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知P在橢圓上運(yùn)動(dòng)且不與長軸兩端點(diǎn)重合，橢圓的兩焦點(diǎn)為，，證明：二面角的大小小于.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）以橢圓的中心以及短軸的頂點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面（截面為圓），如圖為圓錐的軸截面，
由題意可得：，則橢圓的長軸長，即，
設(shè)圓錐的頂角為，由題意可知
∵，則，解得或（舍去），
∴，
在中，可得，則，
在中，則，
可得，
故，
在中，可得，
即截面圓的半徑為，則橢圓的短軸，
故橢圓的短軸長，即，則，
∴橢圓的離心率.
（2）如圖，以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，平面的法向量為，
∵，
則，
令，則，即，
同理可得：平面的法向量為，
則
令，則，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
構(gòu)建，
則，
當(dāng)時(shí)，則，
令，則，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；
當(dāng)時(shí)，令，則，
令，則當(dāng)時(shí)恒成立，
故在上單調(diào)遞減，則，
∴在上單調(diào)遞減，則；
綜上所述：
當(dāng)時(shí)恒成立，∴，
設(shè)二面角的平面角為，由題意可得，
∴，即二面角的大小小于.
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳AM的面積為，可得，解得，
設(shè)球O的半徑為，
由截面圓的性質(zhì)，可得，即，解得，
所以球的表面積為．故選：C．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，正方體的外接球球心在其中心點(diǎn)處，設(shè)該正方體的棱長為，
則外接球的半徑，
要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)，
連接OE，OF，OP，則，，
所以，
此時(shí)截面圓的半徑．
顯然當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；
所以．故選：D．
3．（2023·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)槿庵?，所以，面面?br>又因?yàn)槊婷?，面面?br>所以，顯然為三棱臺(tái)，
設(shè)，（），三棱柱的高為，
則，所以三棱柱體積為，
三棱臺(tái)的體積為，
①三棱臺(tái)的體積占，
則，得，得或，均不符合題意；
②三棱臺(tái)的體積占，
則，得，得或，
因?yàn)?，所?故選：C
4．（2024·四川·校聯(lián)考一模）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（）．
A．M必為三角形 B．M可以是四邊形
C．M的周長沒有最大值 D．M的面積存在最大值
【答案】D
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，易知平面為平面或與其平行的平面，
故多邊形M只能為三角形或六邊形，選項(xiàng)A和B均錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)M為正三角形時(shí)，顯然截面多邊形M為時(shí)周長取得最大值為；
當(dāng)截面多邊形M為六邊形時(shí)，設(shè)，則，，，
易得：，，
此時(shí)截面多邊形M的周長為定值：，
綜合兩種情況，M的周長的最大值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)M為正三角形時(shí)，僅當(dāng)截面多邊形M為時(shí)的面積為；
當(dāng)截面多邊形M為六邊形時(shí)，設(shè)，
該六邊形可由兩個(gè)等腰梯形和構(gòu)成，其中，
，，，
兩個(gè)等腰梯形和的高分別為和，則
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大值為，即截面多邊形是正六邊形時(shí)截面面積最大．
綜上，當(dāng)時(shí)，截面多邊形為正六邊形時(shí)面積取得最大值.選項(xiàng)D正確.故選：D.
5．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，
連接，由，
得，所以，
因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以截面圓的半徑，
所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，
如圖所示
易求，所以，
易得，所以，
所以交線長度和為.故選：C.
6．（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方體中，平面平面，
因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面?br>則平面與平面的交線過點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，
設(shè)交點(diǎn)為，如圖所示，
又因?yàn)槠矫?，平面?br>即分別為，與平面所成的角，
因?yàn)椋瑒t，且有，
當(dāng)與重合時(shí)，平面截該正方體所得的截面為四邊形，
此時(shí)，即為棱中點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過程中，逐漸減小，點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)方向移動(dòng)；
當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；
當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，
又點(diǎn)與不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，
如圖所示．
因此．當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，
即，可得，則，
所以線段的取值范圍是，
所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．
7．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）（多選）用一個(gè)平面去截正方體，關(guān)于截面的說法，正確的有（）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四邊形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五邊形，并且有可能是正五邊形
D．截面有可能是六邊形，并且有可能是正六邊形
【答案】ABD
【解析】由題意，在正方體中，
對(duì)于A中，過點(diǎn)三點(diǎn)的截面為，截面的形狀為正三角形，所以A正確；
對(duì)于B中，過棱的中點(diǎn)，作正方體的截面，此時(shí)截面與上下底面平行且全等，
所以截面的性質(zhì)為正方形，所以B正確；
對(duì)于C中，用一個(gè)平面截正方體，截面可以是五邊形，但不能為正五邊形，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，如圖所示，用一個(gè)平面截正方體，當(dāng)取各邊的中點(diǎn)時(shí)，截面是正六邊形，所以D正確.
故選：ABD.
8．（2023·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）（多選）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長為a．現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）
A．過棱AC的截面中，截面面積的最小值為
B．若過棱AC的截面與棱BD（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)P，則的最小值為
C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，設(shè)截面與棱BD的交點(diǎn)為P，如圖1，過棱AC的截面為，
當(dāng)P為棱BD的中點(diǎn)時(shí)，由，，
且都在平面內(nèi)，則平面，
又在平面內(nèi)，所以，所以當(dāng)P為棱BD的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最小值，
最小值為，A正確．
圖1
設(shè)，，．
在中，，
因?yàn)椋裕?，B正確．
對(duì)于C，如圖2，當(dāng)截面EFNM為平行四邊形時(shí)，，，
因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD,所以平面ABD，
又因?yàn)槠矫鍯BD，平面CBD平面ABD,所以，同理，
由選項(xiàng)A可知，所以，從而平行四邊形EFNM為長方形．
設(shè)，利用相似比可得，
則，所以長方形EFNM的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤．
圖2
與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為兩類．
第一類：平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個(gè)．
第二類：平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個(gè)．
故與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個(gè)，D正確．故選：ABD
9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)中，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，若過點(diǎn)，，作截面，則截面與上底面的交線長為．
【答案】
【解析】連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖，
則線段即為截面與上底面的交線，
因?yàn)镕為的中點(diǎn)，，所以.
過點(diǎn)E作的平行線交于點(diǎn)，
因?yàn)椋?，所以?br>在中，.
10．（2023·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，平面截正方體的截面面積為 .
【答案】
【解析】在正方體中，
延長交延長線于，連接交于，并延長交延長線于R，
延長交延長線于，連接交于，交于，
易知點(diǎn)共面，平面即為平面，
所以平面截正方體的截面為六邊形，
因?yàn)?，，分別是棱，，的中點(diǎn)，
所以根據(jù)相似比易知點(diǎn)都為其所在正方體棱的中點(diǎn)，則易得六邊形為正六邊形，
因?yàn)檎襟w的棱長為4，
所以正六邊形的邊長，
所以截面面積為.
11．（2023·廣西河池·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點(diǎn)，過，，的平面截四棱錐所得的截面為．
（1）若與棱交于點(diǎn)，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明．
（2）求多面體的體積．
【答案】（1）答案見解析；（2）
【解析】（1）延長，連接交于，連接，如圖，四邊形為截面.
中，，由，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．
過作交于，則.
,.，即．
（2）.
由題意及（1）可得，.
則；
又可得，點(diǎn)F到平面BEC距離為，
則.
則．
12．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，點(diǎn)D，E分別為棱的中點(diǎn)，．
（1）設(shè)過A，D，E三點(diǎn)的平面交于F，求的值；
（2）設(shè)H在線段上，當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求點(diǎn)H到平面的距離．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）如圖延長交于，連接交于，
如圖所示：
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，且，
所以是的中點(diǎn)，即，
因?yàn)?，所以∽，所?
（2）由題知平面，則，
因?yàn)?，且?br>所以，所以平面，所以，
如圖所示，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
設(shè)，，，，
因?yàn)樽疃?，所以?br>所以，解得，
所以，則，
設(shè)平面的法向量，
則，即，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離.滿分技巧
1、作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：（1）在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；
2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實(shí)3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。
滿分技巧
判斷截面多邊形形狀時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：
1、截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。
2、不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線。
3、與一對(duì)平行表面相交，交線平行（不一定等長）
4、截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系
滿分技巧
求解截面多邊形的周長有兩個(gè)思路：（1）利用多面體展開圖進(jìn)行求解；（2）在各個(gè)表面確定交線，分別利用解三角形進(jìn)行求解。
滿分技巧
求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個(gè)三角形求解。
滿分技巧
截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對(duì)此往往采用“切割法”或“補(bǔ)形法”進(jìn)行體積的求解。
滿分技巧
截面最值問題的計(jì)算，主要由以下三種方法：
1、極限法：通過假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至兩端，計(jì)算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；
2、坐標(biāo)法：通過建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求解；
3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計(jì)算。
滿分技巧
求解球的截面問題的要點(diǎn)：
（1）確定球心與半徑；（2）尋找作出并計(jì)算截面與球心的距離；（3）充分利用“球心做弦的垂線，垂足是弦中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)；（4）強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)。

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