題型1不等式恒成立問題（變量分離法）
1．（2023·天津紅橋·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程：
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
2．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知．
(1)求在處的切線方程；
(2)對，有恒成立，求的最大整數(shù)解；
3．（2017·安徽·三模）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若對任意，成立，求實數(shù)m的最大值．
4．（2023·天津河北·一模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.
5．（2022·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
(2)若對于恒成立，求正整數(shù)的最大值；
(3)求證：．
題型2不等式恒成立問題（分類討論法）
1．（2024·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求在點處的切線方程；
(2)若恒成立，求的值；
2．（2024·天津·二模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若對時，，求正實數(shù)的最大值；
3．（2024·天津·二模）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在處的切線的斜率為2，求的值；
(2)當(dāng)時，證明：，；
(3)若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
4．（2024高三下·天津·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；
(2)若對，都有恒成立，求的取值范圍；
5．（2023·天津河西·二模）已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；
(2)求證：；
(3)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
題型3 不等式能成立（有解）問題（變量分離法）
1．（2021·天津?qū)幒印ひ荒＃┮阎瘮?shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，證明；
(3)若關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.
2．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.
3．（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù)在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范圍．
4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的最大值和最小值；
(2)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.
5．（22-23高三上·天津濱海新·期末）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在時，使成立，求a的取值范圍.
題型4不等式能成立（有解）問題（分類討論法）
1．（24-25高三上·天津濱海新·期中）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間和最小值；
(2)在（1）的條件下，若存在零點，則討論在區(qū)間上零點個數(shù)；
(3)若存在，使得，求a的取值范圍．
2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍．
3．（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)在（1）的條件下，證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點；
(3)若存在，使得，求的取值范圍
4．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
5．（2023·甘肅金昌·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．
題型5不等式能成立（有解）問題（最值定位法）
1．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).
(1)求fx的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點.
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，若對，，使得，求的取值范圍.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
4．（23-24高二下·天津·期中）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
5．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線y=fx在處的切線方程；
(2)（），若對任意，均存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．
（建議用時：60分鐘）
一、單選題
1．（24-25高三上·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．若有兩個極值點，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知對于，都有，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·四川成都·期中）函數(shù)，不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
5．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)，，對任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數(shù)為 .
6．（2024·云南·一模）已知函數(shù)，，用表示，中的較大者，記作，若，則實數(shù)的取值范圍是 .
三、解答題
7．（23-24高二下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范圍；
(3)在（1）的條件下，設(shè)，，且.求證：當(dāng)，且時，不等式成立.
8．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知（，且）.
(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞增；
(3)設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
9．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：若是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點處的曲率為；
(1)求實數(shù)a的值；
(2)對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，…比較與的大小，并證明．
10．（2022·天津西青·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（），其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時，
（?。┣笤邳c處的切線方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍
11．（2024·河南許昌·模擬預(yù)測）已知.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍.
12．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍.
13．（2024·山東濱州·二模）定義：函數(shù)滿足對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”．
(1)若，判斷是否為上的“2類函數(shù)”；
(2)若為上的“3類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，．
14．（22-23高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)（）．
(1)當(dāng)，求f（x）的極值．
(2)當(dāng)時，設(shè)，若存在，，求實數(shù)的取值范圍．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）
三年考情分析
2025年考向預(yù)測
2024年，第20題第（2）問，考察不等式恒成立求參數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點，常涉及函數(shù)單調(diào)性，最值，常使用變量分離法，分類討論法，今后也是天津高考重點考點。
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；
步驟：
①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）
②轉(zhuǎn)化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．
③求最值.
如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；
步驟：
①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）
②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立

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