重難點5-1 數(shù)列通項公式的求法（8題型+滿分技巧+限時檢測）-2025年高考數(shù)學熱點重點難點專題練習（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

數(shù)列的通項公式求法是高考數(shù)學的必考考點，通常在選擇題、填空題與解答題第一問中考查。難度中等，但有時在同一個題目中會涉及到多種方法綜合性較強。
【題型1 觀察法求通項】
【例1】（2023·河北張家口·高三尚義縣第一中學校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）
A．第21項 B．第22項 C．第23項 D．第24項
【變式1-1】（2023·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習）數(shù)列，，，，的一個通項公式是an=（）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列的一個通項公式為（）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項可能是（）
A． B． C． D．
【變式1-4】（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）南宋數(shù)學家楊輝所著的《解析九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數(shù)為（）
A．561 B．595 C．630 D．666
【題型2 由Sn與an關系求通項】
【例2】（2023·山東濰坊·高三?？计谥校?shù)列前項和，則該數(shù)列的第4項為（）
A．19 B．20 C．21 D．22
【變式2-1】（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習）數(shù)列的前項和為，若，則．
【變式2-2】（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，若，且都有，則（）
A．是等比數(shù)列 B． C． D．
【變式2-3】（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項和為．若的最大值為，則實數(shù)的最大值是．
【題型3 累加法求通項】
【例3】（2023·福建·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，且，若，則正整數(shù)為（）
A．13 B．12 C．11 D．10
【變式3-1】（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學?？计谥校┮阎菙?shù)列的前項和，，，則的通項公式為（）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，，則 .
【變式3-3】（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是 .
【變式3-4】（2023·北京·高三匯文中學?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，，.則集合中元素的個數(shù)為 .
【題型4 累乘法求通項】
【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知中，，且，求數(shù)列通項公式.
【變式4-1】（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習）若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（）
A．28 B．29 C．30 D．31
【變式4-2】（2023·河南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則（）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【變式4-3】（2023·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習）已知正項數(shù)列的前n項積為，且，則使得的最小正整數(shù)n的值為（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式4-4】（2023·河南·高三校聯(lián)考開學考試）數(shù)列的首項為2，等比數(shù)列滿足且，則的值為．
【題型5 構造法求通項】
【例5】（2023·江蘇淮安·盱眙中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，且，則的通項為（）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，則等于（）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·全國·模擬預測）（多選）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知數(shù)列中，，，則下列結論正確的是（）
A． B．是遞增數(shù)列 C． D．
【變式5-4】（2023·浙江·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為
（1）試求數(shù)列的通項公式；
（2）求.
【題型6 倒數(shù)法求通項】
【例6】（2022·重慶·高三西南大學附中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：，，則( )
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·全國·高三課時練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2017項和（）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，且有，則（）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列的首項，且滿足．若，則n的最大值為．
【題型7 三項遞推法求通項】
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，則（）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）在數(shù)列中，，若，則（）
A．18 B．24 C．30 D．36
【變式7-2】（2023·廣東茂名·高三?？茧A段練習）已知，，（，），為其前項和，則（）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足，且，求通項.
【變式7-4】（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列滿足：，，且，則數(shù)列的通項公式為．
【題型8 不動點法求通項】
【例8】（2023·全國·高三專題練習）若（，且）求數(shù)列的通項公式．
【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.
【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．
【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足下列關系：，，，求數(shù)列的通項公式．
【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項公式．
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預測）已知數(shù)列1，，，，3，，…，，…，則7是這個數(shù)列的（）
A．第21項 B．第23項 C．第25項 D．第27項
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中學?？计谥校┰O是數(shù)列的前項和，已知且，則（）
A．9 B．27 C．81 D．101
3．（2023·陜西安康·安康中學?？寄M預測）在數(shù)列中，，，則（）
A． B． C． D．
4．（2023·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習）設數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前9項和為（）
A． B． C． D．
5．（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列的前項和為，且，則（）
A． B． C．16 D．32
6．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為，若，，（）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足（），則等于（）
A． B． C． D．
8．（2022·高二單元測試）已知數(shù)列滿足=，，則數(shù)列的通項公式是（）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多選）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，則（）
A． B． C． D．
10．（2023·福建福州·高三校考階段練習）（多選）已知數(shù)列的前項的和為，，，，則下列說法正確的是（）
A． B．是等比數(shù)列 C． D．
11．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的通項公式為．
12．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，若，則數(shù)列的前50項和為 .
13．（2023·廣東佛山·高三佛山市第四中學?？奸_學考試）已知，，則數(shù)列的通項公式是．
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知為數(shù)列的前項和，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和．
15．（2023·湖南衡陽·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.滿分技巧
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
滿分技巧
若已知數(shù)列的前項和與的關系，
求數(shù)列的通項可用公式構造兩式作差求解．
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．
滿分技巧
適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)
利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
滿分技巧
適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq \f(an＋1,an)＝f(n)
要點：利用恒等式an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
滿分技巧
1、形如（其中均為常數(shù)且）型
設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．
2、形如型
（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列；
（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：—①，，兩邊同時乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構造等比數(shù)列。
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：。
滿分技巧
形如an＋1＝eq \f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq \f(1,an＋1)＝eq \f(r,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(q,p)
要點：①若p＝r，則eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq \f(q,p)，可用公式求通項；
②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構造新數(shù)列求解
滿分技巧
適用于形如型的遞推式
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
滿分技巧
（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點．
利用函數(shù)的不動點，可將某些遞推關系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．
（2）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），
= 1 \* GB3 ①當時，數(shù)列為等差數(shù)列；
= 2 \* GB3 ②當時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；
= 3 \* GB3 ③當時，數(shù)列為等比數(shù)列；
= 4 \* GB3 ④當時，稱是數(shù)列的一階特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項公式為：；
（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．
（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；
（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．
(其中、可利用，求得)

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