熱點8-1 排列組合與二項式定理（10題型+滿分技巧+限時檢測）-2025年高考數(shù)學熱點重點難點專題練習（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，難度基本穩(wěn)定在中等。雖然九省聯(lián)考給出新的命題方向，但二項式定理問題依舊有可能是高考的熱門考點，主要考查二項展開式的通項，二項式系數(shù)和及各項系數(shù)和等問題。
【題型1 兩種計數(shù)原理的應(yīng)用】
【例1】（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習）現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且紅色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為（）
A．84 B．172 C．160 D．230
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，不考慮限制，從12張卡片中任取3張，共有種取法，
如果取出的3張為同一種顏色，則有種情況，
如果取出的3張有2張紅色卡片，則有種情況，
故所求的取法共有種．故選：C．
【變式1-1】（2023·廣東廣州·華南師大附中模擬預測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習唱歌，但他希望任意兩個練習的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（）種練習的方案.
A．31 B．18 C．21 D．33
【答案】B
【解析】七個課間編號為，
如果僅有一個課間練習，則每個課間都可以，有7種方案，
若有兩個課間練習，選法有，共種方案，
三個課間練習，選法為，共種，故總數(shù)為種.故選：B
【變式1-2】（2024·山西·高三山西大附中校考階段練習）基礎(chǔ)學科對于一個國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學學科尤為重要．某雙一流大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學思想”，“數(shù)學原理”，“世界數(shù)學通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選三門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式種數(shù)為（）．
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【解析】若兩年修完全部五門選修課程，先將五門課程分成兩組，再從三個學年中選取兩年來安排課程，
則共有種選修方式；
若三年修完全部五門選修課程，則先將五門課程分成三組，再安排到三個學年中，
則共有種選修方式；
綜上所述：每位同學不同的選修方式種數(shù)為種.故選：B.
【變式1-3】（2024·北京海淀·高三首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）由三個數(shù)字1，2，3組成的五位數(shù)中，1，2，3都至少出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)的個數(shù)為（）
A．150 B．240 C．180 D．236
【答案】A
【解析】求五位數(shù)的個數(shù)這件事可以有兩類辦法：
恰有一個數(shù)字出現(xiàn)三次，另兩個各出現(xiàn)一次，有個；
恰有一個數(shù)字出現(xiàn)一次，另兩個各出現(xiàn)兩次，有個，
由分類計數(shù)加法原理得五位數(shù)的個數(shù)為.故選：A
【變式1-4】（2024·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯(lián)考期末）襄陽為“中國優(yōu)秀旅游城市”，境內(nèi)生態(tài)環(huán)境優(yōu)美，旅游資源十分豐富，景區(qū)景點給人以自然的美妙與人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨，谷城薤山，保康五道峽，棗陽白水寺、唐梓山風景區(qū)，襄州鹿門寺都是風景宜人的旅游勝地，一位同學計劃在假期從上面7個景區(qū)中選擇3個游玩，其中香水河和五道峽最多只去一處，不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案數(shù)有（）
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【解析】因為香水河和五道峽最多只去一處，故可分為兩種情況討論.
當香水河和五道峽只去一處時且不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案為；
當香水河和五道峽一處也不去時且不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案為.
綜上：滿足題意的不同選擇方案數(shù)為+=30.故選：B.
【題型2 隊列排序問題】
【例2】（2024·江西·高三校聯(lián)考開學考試）某班級舉辦元旦晚會，一共有個節(jié)目，其中有個小品節(jié)目．為了節(jié)目效果，班級規(guī)定中間的個節(jié)目不能安排小品，且個小品不能相鄰演出，則不同排法的種數(shù)是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用表示不安排中間且不相鄰的位置，
則有,,,,,,,,,,,共種情況，
個小品有種安排方式；再安排其余個節(jié)目，共有種安排方式；
不同排法的種數(shù)有種.故選：C.
【變式2-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學生不同的排法共有（）
A．24種 B．36種 C．72種 D．96種
【答案】C
【解析】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，
讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，
所以符合題設(shè)的不同的排法共有種.故選：C.
【變式2-2】（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰停放，則共有（）種停放方法．
A．72 B．144 C．108 D．96
【答案】A
【解析】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，
除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；
若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，
除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，
故共有種停放方法，故選：A.
【變式2-3】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.假設(shè)在即將舉辦的“姑娘節(jié)”活動中，組委會原排定有8個“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計劃增加2個“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）
A．56 B．90 C．110 D．132
【答案】B
【解析】根據(jù)題意分兩類，
第一種兩個“對唱”節(jié)目相鄰：，
第一種兩個“對唱”節(jié)目不相鄰：，
則不同的排法種數(shù)為.故選：B
【變式2-4】（2024·全國·高三專題練習）某班在一次班團活動中，安排2名男生和4名女生講演，為安排這六名學生講演的順序，要求兩名男生之間不超過1人講演，且第一位和最后一位出場講演的是女生．則不同的安排方法總數(shù)為（）
A．168 B．192 C．240 D．336
【答案】C
【解析】第一位和最后一位出場講演的是女生，有種，
中間4人，為2男2女，任意排列有種，
若中間2名女生，則有種，則滿足條件的有種，
則共有種不同的安排方法．故選：C．
【題型3 數(shù)字排序問題】
【例3】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）
A．48 B．32 C．24 D．16
【答案】C
【解析】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數(shù)，
共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，
則總共有種密碼．故選：C
【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習）用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）
A．36 B．30 C．40 D．60
【答案】A
【解析】奇數(shù)的個位數(shù)字為1、3或5，偶數(shù)的個位數(shù)字為2、4.
故奇數(shù)有個．故選：A
【變式3-2】（2023·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)字中任意取出三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)的和為不小于9的奇數(shù)，則不同的取法有（）種.
A．54 B．53 C．47 D．46
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，將10個數(shù)分為2組，
一組為奇數(shù)：1?3?5?7?9，一組為偶數(shù)0、2?4?6?8，
若取出的3個數(shù)和為奇數(shù)，分2種情況討論：
①取出的3個數(shù)全部為奇數(shù)，有種情況，都符合題意，
②取出的3個數(shù)有1個奇數(shù)，2個偶數(shù)，
若奇數(shù)取9，有種情況；
若奇數(shù)取7，有種情況；
若奇數(shù)取5，有種情況；
若奇數(shù)取3，有種情況；
若奇數(shù)取1，有種情況；
綜上，三個數(shù)的和為不小于9的奇數(shù)，不同的取法有種.故選：B.
【變式3-3】（2023·四川達州·統(tǒng)考一模）從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)中任選2個偶數(shù)和1個奇數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）
A．36 B．42 C．45 D．54
【答案】B
【解析】當任選2個偶數(shù)中含有0時，0可以放在個位或十位，共2種情況，
再從3個奇數(shù)中選一個，2個偶數(shù)中選一個，放在剩余的數(shù)位上，
共種選擇，此時共種情況，
當任選2個偶數(shù)中不含有0時，從3個奇數(shù)中選一個，并和2,4進行全排列，共種情況，
綜上，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為.故選：B
【變式3-4】（2023·河南駐馬店·高三駐馬店高級中學校聯(lián)考期末）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（）
A．8個 B．12個 C．18個 D．24個
【答案】C
【解析】當首位為2時，這樣的五位數(shù)有個；
當首位為1時，這樣的五位數(shù)有個.
綜上，這樣的五位數(shù)共有個.故選：C.
【題型4 涂色問題】
【例4】（2024·重慶·高三重慶一中校考開學考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（）
A．120 B．72 C．48 D．24
【答案】A
【解析】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，
① 當,顏色相同時涂色方法數(shù)是：，
② 當,顏色不相同時涂色方法數(shù)是：，
滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．
【變式4-1】（2024·廣東中山·高三中山紀念中學開學考試）（多選）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】當時，分四步：
第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；
第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故A正確；
當時，分四步：
第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；
第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故B錯誤；
當時，分四步：
第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；
第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故C錯誤；
當時，分四步：
第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；
第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.
所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故D正確.故選：AD.
【變式4-2】（2024·江西宜春·高三宜豐中學校考階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個傘面的涂色．
先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，
當區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；
當區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域有種選擇，
故不同的涂色方案有種．故選：B．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，若四種顏色全用上，則共有多少種不同的涂法（）
A．72 B．96 C．108 D．144
【答案】B
【解析】設(shè)四種顏料為，
①先涂區(qū)域B，有4中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色1；
②再涂區(qū)域C，有3中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色2；
③再涂區(qū)域E，有2中填涂方法，不妨設(shè)涂顏色3；
④若區(qū)域A填涂顏色2，則區(qū)域D、F填涂顏色1，4，或4，3，
若區(qū)域A填涂顏色4，則區(qū)域D、F填涂顏色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，
綜合①②③④，由分步計數(shù)原理可得，共有種不同的填涂法．故選B．
【變式4-4】（2023·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，多用于哲學?中醫(yī)學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【解析】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個區(qū)域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.
分為以下兩類情況：
第一類：三個區(qū)域涂三種不同的顏色，
第一步涂區(qū)域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數(shù)原理，則共有種方法；
第二類：三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.
若涂一色，
第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，即涂個區(qū)域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數(shù)原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，則共有種方法.
由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.
【題型5 分組分配問題】
【例5】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）某班擬選派包括甲、乙在內(nèi)的六名同學參加四場同一時間舉行的比賽，每場比賽至少一名同學參加，且甲、乙兩名同學必須參加同一場比賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）
A．180 B．240 C．360 D．480
【答案】B
【解析】6名同學分配到四場比賽，1場比賽至少分配1名同學，
則分配到四場比賽的人數(shù)為1，1，1，3或1，1，2，2，
因為甲、乙兩名同學必須參加同一場比賽，若甲、乙一組3個人，
則從剩余的4人中，選1人和甲乙一組，共有參賽種數(shù)，
若人數(shù)為1，1，2，2，則甲乙一組，剩余的4人分為3組，則共有參賽種數(shù)，、
所以共有參賽種數(shù).故選：B
【變式5-1】（2024·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考開學考試）近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是（）
A．240 B．420 C．540 D．900
【答案】C
【解析】若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；
若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；
若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法，
故不同的安排方法種數(shù)是．故選：C．
【變式5-2】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考階段練習）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（）
A．24 B．36 C．60 D．96
【答案】C
【解析】分兩種情形：①社區(qū)只有甲，則另4人在3個社區(qū)，此時有；
②社區(qū)還有另一個志愿者，此時有，
，甲恰好被安排在 A 社區(qū)有60種不同安排方法.故選：C.
【變式5-3】（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期末）第33屆夏季奧運會預計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（）
A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種
【答案】A
【解析】若三個場地分別承擔個項目，則有種安排，
若三個場地分別承擔個項目，則有種安排，
綜上，不同的安排方法有種.故選：A
【變式5-4】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】將個紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個最少個，則有，兩種組合形式，
當紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有放法，
此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.
當紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有種放法，
此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.
綜上所述：將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，
不同的裝法種數(shù)為種.故選：A .
【題型6 最短路徑問題】
【例6】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）由于用具簡單，趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（）
A．條 B．條 C．條 D．條
【答案】C
【解析】由題意可知：“兵”吃掉“馬”的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；
其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有種走法；
第二步，橫走一步，豎走一步，有種走法．
能順帶吃掉“炮”的可能路線共有（條）．故選：C.
【變式6-1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）在我國古代，楊輝三角是解決很多數(shù)學問題的有力工具，像開方問題、數(shù)列問題、網(wǎng)格路徑問題等．某一城市街道如圖1所示，分別以東西向、南北向各五條路組成方格網(wǎng)，行人在街道上行走（方向規(guī)定只能由西向東、由北向南前行）．若從這個城市的最西北角處前往最東南角處，則有70種走法，如圖2．現(xiàn)在由平面擴展到空間，即立體交通方格網(wǎng)的路徑問題，如圖3，則從點到點的最短距離走法種數(shù)為（）

A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，由西向東、由南向北前行中，最近的走法為5步，
其中由西向東3步，由南向北2步，所以共有種不同的走法，
又由在每種走法中，其中由6個位置能向上走一步，所以有種不同的走法，
根據(jù)分步計數(shù)原理得，從點到點的最短距離走法種數(shù)共有種.故選：A.
【變式6-2】（2023·四川成都·高三石室中學校考開學考試）小明與小紅兩位同學計劃去養(yǎng)老院做義工．如圖，小明在街道E處，小紅在街道F處，養(yǎng)老院位于G處，小明與小紅到養(yǎng)老院都選擇最短路徑，兩人約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：小明經(jīng)過H；事件C：從F到養(yǎng)老院兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則下面說法正確的個數(shù)是（）
（1）；（2）；（3）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】小明到養(yǎng)老院能選擇的最短路徑條數(shù)為條；
小明到F的最短路徑走法有條，再從F到養(yǎng)老院的最短路徑有條，
小明經(jīng)過F到養(yǎng)老院能選擇的最短路徑條數(shù)為條，所以，故（1）正確；
小明從H到養(yǎng)老院的最短路徑有條，即，
從H到F的最短路徑有條，從F到養(yǎng)老院的最短路徑有3條，
即，所以，故（2）正確；
又，所以，故（3）正確．故選：A.
【變式6-3】（2022·陜西西安·統(tǒng)考一模）（多選）如圖所示，各小矩形都全等，各條線段均表示道路.某銷售公司王經(jīng)理從單位處出發(fā)到達處和處兩個市場調(diào)查了解銷售情況，行走順序可以是，也可以是，王經(jīng)理選擇了最近路徑進行兩個市場的調(diào)查工作.則王經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有（）
A．31條 B．36條 C．210條 D．315條
【答案】CD
【解析】設(shè)小矩形的長為，寬為，則從的最近路線為，從的最近路線為，
若，則選擇行走順序為，先從，最近路線需要走3個長，2個寬，
則不同路線有種，從，最近路線需要走5個長，2個寬，
則不同路線有種，所以從的不同路線有種；
若，則選擇行走順序為，先從，最近路線需要走2個長，4個寬，
則不同路線有種，從，最近路線需要走5個長，2個寬，
則不同路線有種，所以從的不同路線有種.
綜上，王經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有210條或315條.故選：CD.
【題型7 二項展開式的特定項】
【例7】（2024·廣東·高三統(tǒng)考階段練習）若，則（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為的展開通項公式為，
則，故B正確．故選：B．
【變式7-1】（2023·河北邢臺·高三寧晉中學校聯(lián)考開學考試）已知，則（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】令，則，
對于，
即，
又，
其中展開式的通項為（且），
所以展開式中的項為，所以.故選：C
【變式7-2】（2024·湖南長沙·長郡中學校考一模）的展開式中含項的系數(shù)為（）
A．20 B．-20 C．30 D．-30
【答案】C
【解析】，
又的二項展開式的通項公式為，
故的二項展開式中、的系數(shù)為0，的系數(shù)為，
故的展開式中含項的系數(shù)為，故選：C.
【變式7-3】（2024·浙江·校聯(lián)考一模）展開式中含項的系數(shù)為（）
A．30 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】由題意得，展開式中含的項為，
所以展開式中含項的系數(shù)為.故選：B
【變式7-4】（2024·江西·新余市第一中學校聯(lián)考一模）的展開式中的系數(shù)為．
【答案】
【解析】二項式的展開式通項公式為，
當時，，當時，，
因此展開式中含的項為，故所求系數(shù)為.
【題型8 二項式系數(shù)與系數(shù)最值】
【例8】（2024·甘肅·高三武威第六中學校聯(lián)考開學考試）已知的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】展開式中的第項為，
所以前三項的系數(shù)依次為，
依題意，有，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，
即.故選：C.
【變式8-1】（2024·山東·高三省實驗中學?？奸_學考試）若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】因為的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，
所以展開式一共有項，即.故選：B
【變式8-2】（2023·山東日照·高三五蓮縣第一中學?？计谥校┑恼归_式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為 .
【答案】1792
【解析】由得，所以的展開式的通項為，
當展開式的項的系數(shù)最大時，為偶數(shù)，
比較，，，，，
所以當時，展開式中項的系數(shù)最大，該項系數(shù)為1792.
【變式8-3】（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（）
A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項
【答案】B
【解析】因為的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，所以，解得，
則的展開式通項為
，
當為奇數(shù)時，系數(shù)為負數(shù)，當為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，所以展開式中系數(shù)最大時，為偶數(shù)，
由展開式通項可知，，，
，，
所以展開式中系數(shù)最大的是第三項，故選：B
【變式8-4】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）的展開式中，系數(shù)最小的項是（）
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【答案】C
【解析】依題意，的展開通項公式為，其系數(shù)為，
當為奇數(shù)時，才能取得最小值，
又由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項，
所以當時，取得最小值，即第6項的系數(shù)最小.故選：C．
【題型9 系數(shù)和問題】
【例9】（2024·北京·高三北京市第五中學校考開學考試）已知，則（）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】B
【解析】由于，
故令，即得，即，故選：B
【變式9-1】（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期末）已知，則（）
A．2024 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由，
等式的兩邊同時求導數(shù)，可得，
令，可得.故選：B.
【變式9-2】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）若，則下列結(jié)論中正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，
對于A中，令，可得，所以A錯誤；
對于B中，，
由二項展開式的通項得，所以B錯誤；
對于C中，與的系數(shù)之和相等，
令即，所以C正確；
對于D中，令，則，
令，則，解得，，
可得，所以D錯誤.故選：C.
【變式9-3】（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測）已知，則下列描述正確的是（）
A． B．除以5所得的余數(shù)是1
C． D．
【答案】B
【解析】對于A：令得：；令，得．
，因此A錯誤；
對于B：，
因此B正確
對于C：因為二項展開式的通項公式為，
由通項公式知，二項展開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，
所以，
由，令，得到，
令，得到，所以，因此C錯誤
對于D：對原表達式的兩邊同時對求導，得到，
令，得到，令，得
所以，，所以選項D錯誤．故選：B
【變式9-4】（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）（多選）若，則（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】將代入得，解得，A正確；
由二項式定理可知展開式的通項為，
令得，所以，B錯誤；
將代入
得，
即，C正確；
將代入
得，即①，
將代入
得，即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正確；故選：ACD
【題型10 楊輝三角形及應(yīng)用】
【例10】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個數(shù)，
其中，
由楊輝三角的對稱性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個數(shù)為，
故所求概率為.故選：A.
【變式10-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次取出組成新的數(shù)列記為，則的值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知：第行數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列的通項為，，；
則數(shù)列的整數(shù)項為：，
數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；
偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，，.故選：B.
【變式10-2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）如圖，在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，，則此數(shù)列的前項的和為（）
A．680 B．679 C．816 D．815
【答案】D
【解析】根據(jù)“楊輝三角”，得，
因此，此數(shù)列的前30項和為：
..故選：D.
【變式10-3】（2023·甘肅·模擬預測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（）
A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)
B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等
C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則
D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為
【答案】D
【解析】第6行的第7個數(shù)為1，第7行的第7個數(shù)為7，第8行的第7個數(shù)為28，
它們之和等于36，第9行的第8個數(shù)是，A正確；
第行是二項式的展開式的系數(shù)，
故第行中第個數(shù)為，第個數(shù)為，又，B正確；
“楊輝三角”第行是二項式的展開式的系數(shù)，所以，
，C正確；
第34行是二項式的展開式的系數(shù)，
所以第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為，D不正確.故選：D.
【變式10-4】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）在我國古代，楊輝三角（如圖1）是解決很多數(shù)學問題的有力工具，從圖1中可以歸納出等式：?類比上述結(jié)論，借助楊輝三角解決下述問題：如圖2，該“芻童垛”共2021層，底層如圖3，一邊2023個圓球，另一邊2022個圓球，向上逐層每邊減少個圓球，頂層堆6個圓球，則此“芻童垛”中圓球的總數(shù)為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由楊輝三角中觀察得可得.
推廣，得到
即
由題意，2021層“芻童垛”小球的總個數(shù)為
故選:B
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·江西南昌·高三南昌市外國語學校?？茧A段練習）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（）種不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【解析】分兩類情況：第一類：2與4種同一種果樹，
第一步種1區(qū)域，有5種方法；第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；
第三步種3區(qū)域，有3種方法；最后一步種5區(qū)域，有3種方法，
由分步計數(shù)原理共有種方法；
第二類：2與4種不同果樹，第一步在1234四個區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，
是排列問題，共有種方法；第二步種5號區(qū)域，有2種方法，
由分步計數(shù)原理共有種方法.
再由分類計數(shù)原理，共有種不同的方法.故選：C.
2．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預測）某社區(qū)計劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（）
A．360種 B．420種 C．480種 D．540種
【答案】D
【解析】如圖，先在區(qū)域A布置花卉，有5種不同的布置方案，
再在區(qū)域E布置花卉，有4種不同的布置方案，
再在區(qū)域D布置花卉，有3種不同的布置方案．
若區(qū)域B與區(qū)域E布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案；
若區(qū)域B與區(qū)域E布置不同的花卉，
則區(qū)域B有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案．
故不同的布置方案有種．故選：D
3．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）中國刺繡是我國民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對稱而色彩不一樣的繡技．某中學為弘揚中國傳統(tǒng)文化開設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計方法有（）種
A．144 B．264 C．288 D．432
【答案】B
【解析】4種色彩設(shè)為1、2、3、4，正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有種不同方法，
對于中的一種再考慮反面設(shè)計，如正面用三色為1、2、3，
則反面顏色也可選1、2、3，但與正面不能同色，故對應(yīng)為2、3、1和3、1、2兩種．
反面顏色也能選1、2、4，與正面1、2、3對應(yīng)分別為2、1、4，2、4、1，4、1、2三種．
同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，
則正面用三色為1、2、3，反面顏色對應(yīng)有11種，
所以雙面繡不同色彩設(shè)計方法共有種．故選：B．
4．（2023·重慶永川·高三永川北山中學校?？计谥校┍鄙街袑W在學?！?36”發(fā)展目標的引領(lǐng)下，不斷推進教育教學工作的高質(zhì)量發(fā)展，學生社團得到迅猛發(fā)展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學打算參加“地理行知社”“英語ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（）
A．72 B．108 C．180 D．216
【答案】C
【解析】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團.
首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，
再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個社團，則有（種）情況；
若甲是單獨1個人參加一個社團，則有（種）情況．
則除甲外的4人有（種）參加方法．
故不同的參加方法的種數(shù)為故選：C
5．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（）
A．300 B．432 C．600 D．864
【答案】B
【解析】楊教授站中間，只有1種方法；
四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)；兩名女生放在兩邊方法數(shù)，
每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為.故選：B.
6．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）某學校廣播站有6個節(jié)目準備分2天播出，每天播出3個，其中學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）
A．108種 B．90種 C．72種 D．36種
【答案】A
【解析】第一步，從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個，
同學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出，共有種；
第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的個節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，
綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A
7．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預測）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）
A．20種 B．16種 C．12種 D．8種
【答案】B
【解析】因為乙和丙之間恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，
①當乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
②當乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，
排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有種排法，
所以有種方法；
由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法，故選：B.
8．（2024·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習）畢業(yè)十周年校友們重返母校，銀杏樹下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右邊，且不與乙相鄰，則不同的站法共有（）
A．66種 B．60種 C．36種 D．24種
【答案】C
【解析】先排甲、乙外的3人，有種排法，再插入甲、乙兩人，有種方法，共有種方法，
又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占，故所求不同和站法有（種）.故選：C.
9．（2023·山西臨汾·?？寄M預測）8名同學站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（）
A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種
【答案】C
【解析】由題意可知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排，則不同的排列方式共有；
若E和F站在后排，則不同的排列方式共有；
所以不同的排列方式共有種.故選：C.
10．（2024·山西朔州·高三統(tǒng)考期末）將4個1和2個0隨機排成一個六位數(shù)，則2個0不相鄰的六位數(shù)的概率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將4個1和2個0隨機排成一個六位數(shù)，可利用插空法，4個1產(chǎn)生4個空（最高位不能為0），
若2個0相鄰，則有種排法；若2個0不相鄰，則有種排法，
所以2個0不相鄰的概率為.故選：D.
11．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某人將用“”進行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼，其中兩個“1”相鄰的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)已知條件：用“”進行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼共有種排列方法，
其中兩個“1”相鄰的情況共有種方法，所以兩個“1”相鄰的概率是.故選：C.
12．（2023·全國·高三階段練習）已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的展開式的通項為，
由題可知，解得．故選：A
13．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）若，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，對原式兩邊求導可得：
，
令，可得.故選：C．
14．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（）
A．36 B．30 C．15 D．10
【答案】C
【解析】令，則可得所有項的系數(shù)和為且，解得，
∵的展開式中的通項，
∴當時，展開式中的常數(shù)項為.故選：C
15．（2024·山東青島·高三青島二中?？计谀┱归_式的常數(shù)項為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的展開式通項為
，
由可得，且，
所以，展開式中的常數(shù)項為.故選：C.
16．（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）的展開式中的系數(shù)為（）
A．10 B． C．20 D．
【答案】A
【解析】，
展開式的通項公式為，
時，，所以的系數(shù)為．故選：A.
17．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】依題意，，，
所以的展開式中，的系數(shù)為.故選：B
18．（2024·浙江·高三甌海中學校聯(lián)考開學考試）的展開式中含項的系數(shù)為（）
A． B．0 C．15 D．30
【答案】D
【解析】的展開式通項為，
令，則，
的展開式通項為，
令，則，
則的展開式中含項的系數(shù)為，故選：D.
19．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）若的展開式存在常數(shù)項，則常數(shù)項為（）
A． B．35 C． D．21
【答案】C
【解析】若的展開式存在常數(shù)項，則，
且常數(shù)項為．故選：C
20．（2023·浙江·高三富陽中學校聯(lián)考階段練習）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中所選數(shù)1，構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（）
A．252 B．426 C．462 D．924
【答案】C
【解析】由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中所選數(shù)，
構(gòu)成的數(shù)列的第項，
根據(jù)數(shù)字的構(gòu)成規(guī)律，可得數(shù)列的奇數(shù)項為每行數(shù)列的項，偶數(shù)項為每行的第項，
則即第11行的第項，
結(jié)合二項展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得.故選：C.滿分技巧
1、用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析需要分類還是需要分步；
2、分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；
3、分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。
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1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法
對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個整體內(nèi)部各元素間的順序。
2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法
對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列問題的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列問題，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考慮其他元素或位置，當以元素為主或以位置為主。
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數(shù)字排序問題要特別注意首位不為0的情況。
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涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”
在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可。
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1、解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題；
2、分組方法： = 1 \* GB3 ①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘； = 2 \* GB3 ②部分均勻分組，有組元素個數(shù)相同，則分組后除以； = 3 \* GB3 ③完全非均勻分組，只要分組即可；
3、分配： = 1 \* GB3 ①相同元素的分配問題，常用“擋板法”； = 2 \* GB3 ②不同元素的分配問題，分步乘法計數(shù)原理，先分組后分配； = 3 \* GB3 ③有限制條件的分配問題，采用分類求解；
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最短路徑問題的關(guān)鍵點在于確定好最短路徑中橫向與縱向需要走幾步。
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求二項展開式的特定項的常用方法
1、對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；
2、對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；
3、對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致．
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1、二項式系數(shù)先增后減中間項最大
（1）如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
（2）如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，)) 從而解出k來，即得．
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系數(shù)和問題常用“賦值法”求解：賦值法是指對二項式中的未知元素賦值，從而求得二項展開式的各項系數(shù)和的方法．求解有關(guān)系數(shù)和題的關(guān)鍵點如下：
①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：－1，0，1等．
②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值．
③求值，根據(jù)題意，得出指定項的系數(shù)和．
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1、在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；
2、在相鄰的兩行中，除1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)字之和.
由此可知，當二項式次數(shù)不大時，可借助“楊輝三角”直接寫出各項的二項式系數(shù).

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