數(shù)列求和是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，一般利用等差數(shù)列的通項來構(gòu)建考查裂項求和，構(gòu)建等差等比數(shù)列考查錯位相減法求和，解答題中等差數(shù)列、等比數(shù)列通項的考查往往是第1問，數(shù)列求和則是第2問。近幾年在數(shù)列求和中加大了思維能力的考查，減少了對程序化計算（錯位相減、裂項相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通過歸納或挖掘數(shù)列各項間關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律再進(jìn)行求和。
【題型1 公式法求數(shù)列前n項和】
【例1】（2023·廣東珠海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列，且，若.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【變式1-1】（2023·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列且的等差中項為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，數(shù)列的前n項為，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求.
【變式1-2】（2023·山西·?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，若，求的最小值.
【變式1-3】（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知首項為的等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的最大項.
【變式1-4】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，，且．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)為的前n項和，求使得成立的最小正整數(shù)n的值．
【題型2 分組法求數(shù)列前n項和】
【例2】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，（）.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項和.
【變式2-1】（2023·江蘇無錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【變式2-2】（2023·江西貴溪·高三貴溪市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，等比數(shù)列的公比為，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前10項和．
【變式2-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.
【變式2-4】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
【題型3 并項法求數(shù)列前n項和】
【例3】（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列的通項公式是，則該數(shù)列的前100項之和為 .
【變式3-1】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
【變式3-2】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，.
（1）求的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前23項的和.
【變式3-3】（2023·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【變式3-4】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，且．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前n項的和．
【題型4 逆序相加法求數(shù)列前n項和】
【例4】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知為正項等比數(shù)列，且，若函數(shù)，則（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【變式4-1】（2023·山東濰坊·高三安丘市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和的公式的方法，則（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
【變式4-2】（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論?代數(shù)學(xué)?非歐幾何?復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).我們高中階段也學(xué)習(xí)過很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則 ．
【變式4-4】（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求.
【題型5 錯位相減法求數(shù)列前n項和】
【例5】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列是等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【變式5-1】（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【變式5-2】（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列的前n項和為，且，.
（1）求；
（2）記，求數(shù)列的前n項和.
【變式5-3】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【變式5-4】（2023·江蘇南京·高三期末）已知數(shù)列滿足，且對任意都有.
（1）設(shè)，證明：是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【題型6 裂項相消法求數(shù)列前n項和】
【例6】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列是首項為2的等比數(shù)列，公比，且是和的等差中項．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前2023項和．
【變式6-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，是n、的等差中項，．
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和，證明：．
【變式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列前項和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求證：.
【變式6-3】（2023·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考期末）已知正項數(shù)列的前項和為，，且當(dāng)時．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并加以證明.
【變式6-4】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項和，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，證明：．
【題型7 含絕對值數(shù)列的前n項和】
【例7】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【變式7-1】（2023·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
【變式7-2】（2023·重慶·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是正項等比數(shù)列.，且，
（1）求的通項公式；
（2）當(dāng)為遞增數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【變式7-3】（2023·陜西西安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項和．
【變式7-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【題型8 數(shù)列求和與不等式綜合】
【例8】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項和，且為正項等比數(shù)列，，.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【變式8-1】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列前項和為，且對任意的正整數(shù)與的等差中項為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：.
【變式8-2】（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且（表示不超過的最達(dá)整數(shù)），．
（1）求；
（2）令，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【變式8-3】（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足．
（1）若為等差數(shù)列，求的通項公式；
（2）記的前項和為，不等式對恒成立，求的取值范圍．
【變式8-4】（2023·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)校考期末）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前n項和，（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
2．（2023·湖南長沙·高三周南中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，在正項等比數(shù)列中，，則（ ）
A．1011 B．1012 C．2023 D．2024
3．（2023·天津·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在公差大于0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前21項和為（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
4．（2023·天津·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前和為，已知，，，若，則正整數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列．且，，，．
（1）求，的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
6．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，設(shè).
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
7．（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．
8．（2023·天津·高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是數(shù)列的前項和，已知對于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列和的通項公式.
（2）記，求數(shù)列的前項和.
（3）記，求.
9．（2023·福建寧德·校考二模）已知為等差數(shù)列的前項和，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前15項和．
10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知為數(shù)列的前項和，，，記.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）已知，記數(shù)列的前項和為，求證：.滿分技巧
（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
滿分技巧
（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．
（2）常見類型：
= 1 \* GB3 ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；
= 2 \* GB3 ②通項公式為an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.
滿分技巧
一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
例如，．
滿分技巧
如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的．
滿分技巧
1、解題步驟
2、注意解題“3關(guān)鍵”
①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．
3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
滿分技巧
1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律
（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．
（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．
【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負(fù)項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．
2、裂項相消法中常見的裂項技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
滿分技巧
常見的角度主要包括兩個方面：
一、不等式恒成立小件下，求參數(shù)的取值范圍；
二、不等式的證明，常見方法有不比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。

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