函數(shù)“比大小”是非常經(jīng)典的題型，難度不定，方法無常，很受命題者的青睞。每年高考基本都會出現(xiàn)，難度逐年上升。高考命題中，常常在選擇題中出現(xiàn)，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序。這類問題的解法可以從代數(shù)和幾何方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象解答。
【題型1 直接利用單調(diào)性比較大小】
【例1】（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期末）已知則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是上的減函數(shù)，則，所以，
由于是上的增函數(shù)，則，所以，
由于是上的增函數(shù)，則，所以，
所以，故選：A.
【變式1-1】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，，所以.故選：A
【變式1-2】（2024·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，易知函數(shù)在R上是增函數(shù)，
又，所以，
又易知在上是減函數(shù)，所以，
綜上，，故選：B.
【變式1-3】（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知在上單調(diào)遞增，則，即，
而由單調(diào)遞增，得，即，
又單調(diào)遞增，故則，故選：A
【題型2 作差作商法比較大小】
【例2】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，
令，
而，即，所以，
又因為，所以.故選：D
【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以．
又，所以．
因為，故在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以實數(shù)的大小關(guān)系為，故選：B．
【變式2-2】（2023·山東青島·高三萊西市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
因為當(dāng)時，，所以，則，
，
因為，所以，即，，
綜上，，故選：B.
【變式2-3】（2022·全國·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正數(shù)的大小關(guān)系為，故選:A.
【題型3 中間值/估值法比較大小】
【例3】（2024·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，，，，
所以，故選：C
【變式3-1】（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故．故選：D.
【變式3-2】（2023·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
因為，所以，
又因為，所以，所以．故選：B
【變式3-3】（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
又，所以，故選：A.
【題型4 含變量式子比較大小】
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，，，其中，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，
因為，所以，所以，，，
雖然是單調(diào)遞增函數(shù)，但是，無法比較大小，
所以a，b的大小無法確定，排除AB，
，（因為，所以取不到等號），故D正確．故選：D．
【變式4-1】（2023·河南·模擬預(yù)測）（多選）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】對于A，由，得，又單調(diào)遞增，
所以，故A正確；
對于B，由于在上不單調(diào)，
所以與的大小關(guān)系無法確定，故B錯誤；
對于C，由，得，
又單調(diào)遞增，所以，故C正確；
對于D，由，得，
又單調(diào)遞增，所以，故D錯誤．故選：AC．
【變式4-2】（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）已知，，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A選項，因為，所以，
令，，
則，
因為，所以恒成立，
故在上單調(diào)遞減，故，
則，故A錯誤；
B選項，由A選項可知，
，故B正確；
CD選項，由AB選項可知，，C正確，D錯誤.故選：BC
【變式4-3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知，，，.則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，∴，，
令，，，
∴在單調(diào)遞減，所以，∴，∴.
，
令，，
，在單調(diào)遞減，，∴，
∴，∴，故選：A.
【題型5 構(gòu)造函數(shù)比較大小】
【例5】（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，所以，則，
因為，，
令，則，
令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，則，所以，則．故選：A.
【變式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，
因為在R上單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞減，
所以，即，A錯誤，
因為在R上單調(diào)遞減，故，B正確；
由于，即，故，C錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，但，故，D錯誤，故選：B
【變式5-2】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，
由，得，有，令函數(shù)，
求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即函數(shù)在單調(diào)遞增，
，即，因此，所以.故選：A
【變式5-3】（2023·全國·高三課時練習(xí)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，則，
令，，則，
令，，則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，故在上恒成立，
將中換為可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
故，即，故選：D
【題型6 數(shù)形結(jié)合比較大小】
【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則實數(shù)的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，其在R上單調(diào)遞減，
又，
由零點存在性定理得，則在上單調(diào)遞減，
畫出與的函數(shù)圖象，
可以得到，
又在R上單調(diào)遞減，畫出與的函數(shù)圖象，
可以看出，
因為，故，故，
因為，故，
由得，．
綜上，．故選：D．
【變式6-1】（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實數(shù)，，滿足，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可知在單調(diào)遞增，
由，得所以，
由題，，，
令則，所以有，
在平面直角坐標系中分別作出，，，，
由圖像可得，則A錯誤；
對于B，則，即，
由圖像可知，所以，B錯誤；
對于C，，即，因為，
所以，則，故C正確；
對于D，因為，
即且，所以，D錯誤；故選：C
【變式6-2】（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，即，解得，則，
令，即，令，即，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以它們分別與交點的橫坐標互為相反數(shù)，且，
所以，故A錯誤，，所以B錯誤；
所以，故C錯誤，
因為，所以，故D正確，故選：D.
【變式6-3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）若，，，則x、y、z由小到大的順序是 .
【答案】
【解析】依題意，，，，，
因此，成立的x值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，
成立的y值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，
成立的z值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，
在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，
觀察圖象得：，即，所以x、y、z由小到大的順序是.
【題型7 放縮法比較大小】
【例7】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】顯然，且，
令，則對任意恒成立，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；
所以，且，可知；
令，則對任意恒成立，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；
所以，可知；
又因為，所以，故選：C．
【變式7-1】（2023·云南大理高三模擬）若，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，，，
，，
，故選：．
【變式7-2】設(shè)，則的大小關(guān)系為___________．（從小到大順序排）
【答案】
【解析】，
由函數(shù)切線放縮得，因此．
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在必修第一冊教材“8.2.1幾個函數(shù)模型的比較”一節(jié)的例2中，我們得到如下結(jié)論：當(dāng)或時，；當(dāng)時，，請比較，，的大小關(guān)系
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，
對于，令，則故
當(dāng)或時，，所以，即
所以，
將兩邊同時取底數(shù)為4的指數(shù)得
因為，所以，故選：B.
【題型8 泰勒展開式比較大小】
【例8】（2023·江蘇連云港·高三海州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一、根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，
則.
由泰勒展開式，，，
所以
，
而，
所以，即；
法二、因為，
所以.
令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即有成立，
所以，得，所以；
因為，所以令，
則，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即有成立，
所以，即，所以，又，所以.
綜上，，故選：D
【變式8-1】已知，則（ ）
【答案】A
【解析】設(shè)，則，，
，計算得，故選A．
【變式8-2】（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？迹?，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，，
因為，所以，
由泰勒展開得，
，
所以，
故，綜上所述a，b，c的大小關(guān)系是.故選：C
【變式8-3】（2023·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，這三個數(shù)的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
∵，而在上單調(diào)遞增，∴
且時，，以下是證明過程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
則，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
所以，故在上單調(diào)遞增，
所以，故在上單調(diào)遞增，
所以，故在上單調(diào)遞增，
所以，故在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，∴，故選：C．
（建議用時：60分鐘）
1．（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
因此可得，故，故選：D
2．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由單調(diào)遞減可知：，即；
由單調(diào)遞增可知：，即所以.故選：D.
3．（2023·安徽銅陵·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè) ，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，
又由對數(shù)函數(shù) 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，
所以，即，故選：D.
4．（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，故最小，
又，
因為，所以，
則有，∴，故選：C.
5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，，，即，
而，所以.故選：C
6．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，則，所以；
由，且，則，所以；
由，且，則，所以；
由，且，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；
綜上可得，所以，故選：D.
7．（2023·廣東·校聯(lián)考二模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以.，
因為，且，
所以，所以，所以.故，故選：A
8．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
因為，， 所以，
又，，
易知，所以，即，所以．故選：C．
9．（2023·天津濱海新·高三塘沽二中校考階段練習(xí)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，即，
因為，，所以，則，
所以，即，所以.故選：C
10．（2023·廣東·高三茂名市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b，c滿足，下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
,故A錯誤；
，，故BC錯誤，D正確．故選：D.
11．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，所以．故選：C．
12．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
取，則，，．
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以．
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以，即，所以．故選：A
13．（2023·四川·高三南江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，是函數(shù)的零點，
因為，
由，則，且，
由零點存在性定理知，；
由題意知，是函數(shù)的零點，
因為，
且，
由零點存在性定理知，，故，
由，得，
作出函數(shù)的大致圖象，
如圖所示，數(shù)形結(jié)合由圖可知．
綜上，.故選：A.
14．（2023·廣東汕頭·高三金山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以．
令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即有成立，
所以，得，所以.
因為，所以令，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即有成立，
所以，即，所以，即.
綜上：，故選：A.
15．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，∴,
設(shè)則在單調(diào)遞減，所以，
， 即，故C正確．
方法二：設(shè)又，C正確．故選：C
16．（2022·黑龍江雙鴨山·高三校考期末）設(shè)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】記，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又，且，
所以，即.故選：A
17．（2023·海南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，，
設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
因為，所以，所以.故選：A
18．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則，，有.
故函數(shù)在單調(diào)遞增，故，
即，所以，即，
令，則，，有.
故函數(shù)在單調(diào)遞減，故，即，
所以，即.
綜上：.故選：D
19．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
兩邊取對數(shù)得：，
令，
則，
令，則，
可知在上單調(diào)遞增，
因為，則，可知恒成立，
則，即，可得，
則在上單調(diào)遞增，可得，
可得，即，
又因為在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.
20．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先來證明當(dāng)時，.
令，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；
令，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；
所以當(dāng)時，.
因為，
由，因為，所以，則，所以，
又，所以，
所以.故選：D.滿分技巧
當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較
（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和，利用冪函數(shù)的單調(diào)性；
（3）底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（4）除了指對冪函數(shù)，其他函數(shù)（如三角函數(shù)、對勾函數(shù)等）也都可以利用單調(diào)性比較大小。
滿分技巧
（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大??；
（2）作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法
滿分技巧
中間值法或1/0比較法：比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”“1”作為分界點，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大?。?br>估值法：（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；
（2）可以對區(qū)間使用二分法（或利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值；
滿分技巧
當(dāng)比較的幾個數(shù)都含參數(shù)時，可嘗試把參數(shù)取一個具體的實數(shù)，通過估算來比較大小。也可通過函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象進行比較。
滿分技巧
構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性比較：
構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)規(guī)律
（1）對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f( )外衣”比較大小；
（2）有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，比較大小。
滿分技巧
當(dāng)比較的幾個數(shù)都可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的零點時，可數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)圖象的交點來比較大小。
滿分技巧
1、放縮法的解題思路：
（1）對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；
（2）指數(shù)和冪函數(shù)結(jié)合來放縮；
（3）利用均值不等式的不等關(guān)系進行放縮；
（4）“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)（主要是整數(shù)多一些），那么可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系。
2、常見放縮不等式
（1）；
（2）；；
（3）
滿分技巧
常見函數(shù)的麥克勞林展開式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）

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