熱點7-3 雙曲線及其應(yīng)用（8題型+滿分技巧+限時檢測）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點重點難點專題練習(xí)（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

雙曲線及其應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)的重點與難點，在近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中，雙曲線的相關(guān)題型幾乎年年都會考到，屬于熱點問題。題型比較豐富，選擇題、填空題、解答題都出現(xiàn)過，主要通過雙曲線的定義、方程及性質(zhì)考查數(shù)學(xué)運算能力及轉(zhuǎn)化思想，難度中等偏難。
【題型1 雙曲線的定義及概念辨析】
【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點滿足，則動點的軌跡是（）
A．射線 B．直線 C．橢圓 D．雙曲線的一支
【答案】A
【解析】設(shè)，由題意知動點M滿足|，
故動點M的軌跡是射線.故選：A.
【變式1-1】（2023·四川綿陽·高三南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線C：（，）的一條漸近線過點，，是C的左右焦點，且，若雙曲線上一點M滿足，則（）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，所以或（舍），
又因為雙曲線的漸近線過點，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，故選：B.
【變式1-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，的一條漸近線過點，點在上，且，則 .
【答案】11
【解析】由得雙曲線的標準方程為：，
所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，
又的一條漸近線過點，所以，
因為點在上，，為雙曲線的上、下焦點，
所以，
由，所以，
所以或（舍去）.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．
【答案】
【解析】設(shè)圓的半徑為，
圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
因為圓與圓、圓外切，
則，所以，
所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，
又，則，
所以其軌跡方程為．
【變式1-4】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓
B．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是橢圓
C．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是雙曲線的一支
D．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是拋物線
【答案】AC
【解析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點與點之間的距離為定值2，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓，故A正確；
由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點到點和的距離之和為，
又，不滿足橢圓的定義，故B不正確；
由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點到點和的距離之差為1，
又，滿足雙曲線的定義，故C正確；
對于D，可化為，
表示復(fù)平面內(nèi)點到點和的距離相等，軌跡是直線，故D不正確，故選：AC.
【題型2 利用定義求距離和差最值】
【例2】（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）已知拋物線上一點到準線的距離為是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的一動點，則的最小值為（）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】拋物線的準線為，
則點到準線的距離為，
所以，則，故，
設(shè)是雙曲線的右焦點，
則，則，
故，
當且僅當三點共線時取等號，
所以的最小值為.故選：D.
【變式2-1】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當?shù)闹荛L最小時，（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由雙曲線得到,,，左焦點，
設(shè)右焦點.當?shù)闹荛L最小時，取到最小值，
所以只需求出的最小值即可.
===.故選：C.
【變式2-2】（2023·四川南充·?？寄M預(yù)測）已知是離心率為的雙曲線的右支上一點，則到直線的距離與到點的距離之和的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知雙曲線，可知，則，
所以，分別為的左、右焦點，
則，即，
設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，且，
則.故選：A.
【變式2-3】（2022·天津南開·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線，點F是C的右焦點，若點P為C左支上的動點，設(shè)點P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】由雙曲線,可得，,
設(shè)雙曲線左焦點為，不妨設(shè)一條漸近線為，即，
作，垂足為E，即，
作,垂足為H，則，
因為點P為C左支上的動點，
所以，可得，
故，
由圖可知，當三點共線時，即E和H點重合時，取得最小值，
最小值為，
即的最小值為，故選：A．
【變式2-4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
則由三角形的面積為可得，即，
又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，
故，故，解得，
故，雙曲線.
又由雙曲線的定義可得，
當且僅當共線且在中間時取得等號.
此時直線的方程為，即，
聯(lián)立可得，解得，
由題意可得在中間可得，
代入可得，故.故選：B
【題型3 雙曲線標準方程的求解】
【例3】（2023·全國·高三對口高考）與有相同漸近線，焦距，則雙曲線標準方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】（1）若焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，
因為與雙曲線有相同漸近線，
所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，
又因為焦距，所以，所以，
聯(lián)立，解得，則雙曲線方程為；
（2）若焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，
因為與雙曲線有相同漸近線，
所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，
又因為焦距，所以，所以，
聯(lián)立，解得，
則雙曲線方程為，
所以雙曲線的標準方程為：或.
綜上，雙曲線標準方程為.故選：D
【變式3-1】（2023·湖北荊州·高三松滋市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，
所以，所以.
設(shè),則，
所以，所以.
因為,所以，
所以，所以，所以，
因為，所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為，故選：D
【變式3-2】（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺第一中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線準線與一條漸近線交于點，則雙曲線的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由拋物線的焦點為，
因為雙曲線與拋物線的焦點重合，
可得雙曲線的右焦點為，即，可得，
又由雙曲線的一條漸近線方程為，拋物線的準線方程為，
因為拋物線準線與一條漸近線交于點，可得，
即交點為，代入漸近線方程，可得，可得，
將代入，可得，所以，
所以雙曲線的方程為.故選：D.
【變式3-3】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，
則雙曲線方程為，，，
所以直線為，設(shè)，
由，得，則，
所以，
因為，，
所以，
因為的周長為36，所以，
所以，得，
所以雙曲線方程為，故選：D
【變式3-4】（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）設(shè)為坐標原點，，是雙曲線：的左、右焦點．過作圓：的一條切線，切點為，線段交于點，若，的面積為，則的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圓的方程知，，
又∵，
∴在直角中，，且.
在中，，
的面積，∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由雙曲線定義，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵為直角，∴易知為鈍角，
∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，
整理得，∴.
又∵，將代入，解得.
∴雙曲線的方程為：.故選：D.
【題型4 雙曲線的焦點三角形問題】
【例4】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【解析】由題意可知：，即，
所以的周長.故選：D.
【變式4-1】（2023·重慶·高三重慶八中校考期中）設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，點在的右支上，且，則的面積為（）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，
由雙曲線定義可得，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，解得，
故.故選：C
【變式4-2】（2023·四川成都·高三?？计谥校┰O(shè)、分別是雙曲線：的左、右兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）
A．5 B．10 C． D．20
【答案】A
【解析】由，
所以是以原點為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點，
又，即它們也在點所在的圓上，且為直徑，
所以為直角三角形，，
如上圖，，且，
所以，
則，故的面積為.故選：A.
【變式4-3】（2023·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得：因為該雙曲線的一條漸近線方程是，則，
又由，可得，
由過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，可知M的橫坐標為，
代入橢圓方程即可得：，，
又有，可知，
所以.故選：D
【變式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左支交于，兩點，若，則的內(nèi)切圓周長為 .
【答案】
【解析】如圖所示：
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，切點分別為，
由題意，則，所以，
由雙曲線定義有；
又因為，即，所以，
因此，
從而直角三角形的內(nèi)切圓半徑是
，
所以的內(nèi)切圓周長為.
【題型5 求雙曲線的離心率與范圍】
【例5】（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）雙曲線的左、右焦點分別為，以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點為，若原點到直線的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖：∵原點到直線的距離等于實半軸的長，
∴直線的距離為，
又∵以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點為，
∴，
由雙曲線定義的，
∴直線的距離為，
故，即，
∴，解得（舍去）或.故選：A.
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點分別為，，點是其右支上一點．若，，，則雙曲線的離心率為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由雙曲線的幾何性質(zhì)，可知點是線段的中點，則，
即，
所以，解得：，
所以，故，
由，解得：，
所以，故B項正確.故選：B.
【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點分別為為坐標原點，圓交雙曲線的左支于點，直線交雙曲線的右支于點，若為的中點，則雙曲線的離心率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，因為為的中點，
所以，則由雙曲線的定義可知，
因為圓交雙曲線的左支于點，所以，
所以，即，
則化簡可得，即，
則，所以，
所以，即，
則化簡可得，即，故選：D.
【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，
∴，
又，∴．
設(shè)，則，，
∴，
∴，則，
∴．
∴，則，
設(shè)，則，
∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，
∴，∴，
∴，故選：B．
【變式5-4】（2023·河南洛陽·高三洛陽市第八中學(xué)校考開學(xué)考試）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，過點作漸近線的垂線，垂足為，
設(shè)，則點到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，
即的最小值為，
因為恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.故選：A.
【題型6 雙曲線的中點弦問題】
【例6】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標為，則E的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，化簡得，
又，解得，
所以雙曲線的方程為： .故選：D.
【變式6-1】（2024·陜西寶雞·校考一模）設(shè)，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則的中點，設(shè)直線的斜率為，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故C正確；
對于選項D：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故D錯誤；故選：C.
【變式6-2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知直線過雙曲線的左焦點，且與的左?右兩支分別交于兩點，設(shè)為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè),
由均在上，為的中點，
得，則，
∴，∴，
設(shè)直線的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，
∵是以為底邊的等腰三角形，
∴直線的傾斜角為，則.
∴，∴，解得，
∴由對稱性知直線的斜率為.故選：D
【變式6-3】（2023·上海·高三七寶中學(xué)?？级＃┎慌c軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關(guān)于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，
即，所以，
因為是AB垂直平分線，有，所以，
即，化簡得，故，則.
【變式6-4】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為是上的兩點，是的中點，為坐標原點，直線的斜率為，若，則的兩條浙近線的斜率之積為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
因為是上的兩點，是的中點，為坐標原點，直線的斜率為，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因為雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，所以，，
因為，
所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因為的兩條浙近線分別為，
所以，的兩條浙近線的斜率之積為
【題型7 直線與雙曲線相交弦長】
【例7】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點，且，則的離心率為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以，
由雙曲線的定義得，解得，則，
設(shè)，，，
聯(lián)立，消去x得，
由韋達定理得：，
由，得，解得，
所以，，
解得，則，故選：D
【變式7-1】（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)?？既＃┮阎p曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，與x軸交于點P，若，則點P的坐標為 .
【答案】
【解析】雙曲線雙曲線：的漸近線方程為，
而直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立，化簡可得，
由，得或．
設(shè)，，則，，
則，所以，
，
解得：（舍去）或，
所以直線的方程為，令，可得.
故點P的坐標為.
【變式7-2】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于、兩點，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】記，若直線與軸重合，此時，；
若直線軸時，將代入雙曲線方程可得，此時，
當時，則，此時，；當，可得，則，
所以，雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為；
當直線與軸不重合時，記，則點，
設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、，
聯(lián)立可得，
由題意可得，可得，
，
由韋達定理可得，，
所以，，
即，
所以，關(guān)于的方程由四個不等的實數(shù)解.
當時，即當時，可得，
可得，整理可得，因為，解得；
當時，即當，可得，
可得，整理可得，可得.
綜上所述，.
【變式7-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，且當l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.
（1）求C的方程；
（2）證明：，求.
【答案】（1）；（2）證明見解析，
【解析】（1）根據(jù)題意有，C的漸近線方程為，
將代入兩個漸近線方程得到交點坐標為，，
l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為，
所以，C的方程為.
（2）設(shè)，，其中，，
由（1）可知，，
當軸時，顯然MN與不垂直.
當l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為時，
代入C的方程有：，
故，，
，，
當時有：①，
由得到，代入，
整理有②，
由①，②可得.
所以.
【變式7-4】（2023·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為坐標原點，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點為第一象限，且縱坐標為，求的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)點的坐標為，
因為，，所以，化簡得：
所以的方程為：.
（2）當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；
設(shè)，，直線方程為，
與聯(lián)立得：，
由且，解得且，
由韋達定理得，
因為線段中點在第一象限，且縱坐標為，
所以，解得或（舍去），
所以直線為，
所以，
所以，
點到直線的距離，
所以.
【題型8 直線與雙曲線綜合問題】
【例8】（2023·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，雙曲線C：－＝1的中心O為坐標原點，離心率，點在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若直線l與雙曲線C交于P，Q兩點，且，求＋的值．
【答案】（1）－＝1；（2）
【解析】（1）因為，所以，從而，
所以雙曲線C的標準方程為－＝1，即，
因為點在雙曲線C上，所以，解得，
所以雙曲線C的標準方程為－＝1
（2）設(shè)，
設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，
聯(lián)立與－＝1，得，
所以，同理有，
所以.
【變式8-1】（2023·湖北·高三天門中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線C：的右焦點為，過F且斜率為的直線交C于A，B兩點，且當時，A的橫坐標為3.
（1）求C的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，過A且平行于x軸的直線與直線交于點D，P為線段的中點，直線交于點Q，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）當時，：，把代入得，即，
將A代入C的方程有，①，
且由雙曲線的幾何性質(zhì)可知②，
由①，②得，，，
故C的方程為.
（2）設(shè)，，且：，
由，得，
則，，①
所以，②
.③
直線的方程為，故，.
的方程為，
與方程聯(lián)立有：，
將①代入得，即.
方法1：所以，，
要證，只需證，即證，④
由②③知④成立，所以.
方法2：由題設(shè)可知A，B，F(xiàn)，Q四點共線，
且，
故，即.
由可知，，
故，.
【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是的左頂點，的離心率為2.設(shè)過的直線交的右支于、兩點，其中在第一象限.
（1）求的標準方程；
（2）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由題可得，故可得，則，
故的標準方程為.
（2）當直線斜率不存在時，
對曲線，令，解得，
故點的坐標為，此時，
在三角形中，，故可得，
則存在常數(shù)，使得成立；
當直線斜率存在時，不妨設(shè)點的坐標為，，
直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，
假設(shè)存在常數(shù)，使得成立，即，
則一定有：，也即；
又；；
又點的坐標滿足，則，
故；
故假設(shè)成立，存在實數(shù)常數(shù)，使得成立；
綜上所述，存在常數(shù)，使得恒成立.
【變式8-3】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在平面直角坐標系中，動點到的距離與它到直線的距離之比為，的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）過點作直線與曲線交于不同的兩點、（、在軸右側(cè)），在線段上取異于點、的點，且滿足，證明：點恒在一條直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）由題意可得，整理可得.
所以，曲線的方程為.
（2）證明：如下圖所示：
因為，設(shè)，則，
設(shè)點、、，
由可得，
即，所以，，
由可得，
即，所以，，
所以，，，
所以，，即，
所以，點在定直線上.
【變式8-4】（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：，其漸近線方程為，點在上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線交于P，Q兩點（不與點A重合），且兩條直線的斜率之和為1，求證：直線PQ過定點.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）∵，，
依題意，解得：，，
所以雙曲線C的方程為
（2）依題意可知斜率存在，
設(shè)方程為，，，
則，即①，
所以
設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為，，由題意知：，故有：
，
整理得
當，，過舍去，
當，，過點，
此時，將代入①得，得，滿足題意.
∴直線PQ過定點
（建議用時：60分鐘）
圓錐曲線練習(xí)
1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（）
A．－4 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù),得到,
則焦點在軸，故漸近線為，則，故.故選：A
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由離心率，得，
由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，得，
根據(jù)這兩個方程解得，則，得，
所以雙曲線的方程為.故選：B.
3．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左焦點為，過原點的直線與的右支交于點，若為等腰三角形，則點到軸的距離為（）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，
由題意可得，則有，，
若為等腰三角形，則（線段與顯然不相等），
所以，
又為的中點，所以，
則有．
由雙曲線的定義得，
所以，
設(shè)點到軸的距離為，則．故選：A．
4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，O為坐標原點，點P是雙曲線C上的一點，，且的面積為4，則實數(shù)（）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】因為的面積為4，所以的面積為8.
又，所以，
所以為直角三角形，且.
設(shè)，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.故選：C.
5．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則a的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，
則，解得，
且雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線的漸近線為，
因為圓的圓心為，半徑，
可知圓關(guān)于x軸對稱，不妨取漸近線為，即，
則圓心到漸近線的距離，可得，
又因為圓與雙曲線C的一條漸近線相交弦長為，
由題意可得，解得，
所以a的取值范圍是.故選：D.
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，則，．
由，得．
直線l的方程為，即，
代入雙曲線的方程中，得，即，
∴，，
∴，，
∴，整理得．
又，∴．故選:B．
7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，，離心率分別為，，點為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且 .若，則的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，
在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，
可得，，
又，由余弦定理得，
可得，
得，即，
可得，即，
又時，可得，即，
亦即，得.故選：B
8．（2023·安徽·高三懷遠第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在平面直角坐標系xOy中，A、B兩點的坐標分別為、，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若，則點P的軌跡為直 B．若，則點P的軌跡為圓
C．若，則點P的軌跡為橢圓 D．若，則點P的軌跡為雙曲線
【答案】AD
【解析】選項A：設(shè)點，，
化簡可得：，所以點P的軌跡為直線，故A正確；
選項B：當或不存在時，動點為，
當、存在時，設(shè)點，，
設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
當時，由可得：，即，
所以，即，
化簡可得：，
同理當時，由可得：，即，
所以，即，
化簡可得：，
因此點P軌跡為圓上的一段弧()或上的一段弧()，故B錯誤；
選項C：由，可知點P軌跡為線段AB，故C錯誤；
選項D：由，根據(jù)雙曲線的定義可知，
點P軌跡為雙曲線，且，即，
所以點P軌跡方程為，故D正確．故選：AD.
9．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（）
A．若的兩條漸近線相互垂直，則 B．若的離心率為，則的實軸長為
C．若，則 D．當變化時，周長的最小值為
【答案】ACD
【解析】依題意，，
A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；
B選項，若的離心率為，解得，
所以實軸長，故B錯誤；
C選項，若，則，
整理得，故C正確；
D選項，根據(jù)雙曲線的定義可知，，
兩式相加得，
所以周長為，
當時，取得最小值，所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以周長的最小值為，故D正確.故選：ACD
10．（2023·河南·高三南陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）雙曲線的一條漸近線方程為，半焦距為，則下列論述錯誤的是（）
A．雙曲線的離心率為3
B．頂點到漸近線的距離與焦點到漸近線的距離之比為
C．直線與雙曲線有兩個不同的交點
D．過點有兩條直線與雙曲線相切
【答案】ABD
【解析】由題易得，所以錯誤；
頂點到漸近線的距離為與焦點到漸近線的距離，距離之比為，B錯誤；
因為直線與漸近線平行，所以直線與雙曲線的左支僅有1個交點，
與右支沒有交點.又直線與直線都過點，
且直線的傾斜角比直線的傾斜角小，
直線與雙曲線有兩個不同的交點，正確；
因為，所以點位于雙曲線右支的右側(cè)位置，
顯然過點的直線不可能與雙曲線相切，D錯誤.故選:ABD.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程表示中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】因為方程表示中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線，
則，解得.
所以實數(shù)的取值范圍為.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以為中點的雙曲線的弦所在直線的方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)是雙曲線的弦的中點，且，
則，
因為在雙曲線上，所以，
兩式相減，得，
故，所以，
故以中點的雙曲線的弦所在的直線方程為，即，
聯(lián)立，消去，得，
因為，
所以以為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為.
13．（2023·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，過且與軸垂直的弦長為12．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過作直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在點，使為定值，若存在，請求出點坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由題意知：，，，
故，故，解得或，
，，則，
故雙曲線的標準方程為.
（2）假設(shè)存在點滿足條件，設(shè)其坐標為，設(shè)，，
當斜率存在時，設(shè)方程為，
，
即，且，
，，
，，
，
當為定值時，，則，
此時，
當斜率不存在時，，，，，，
成立，
存在滿足條件的點，其坐標為，此時為0.
14．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線（）的焦點F到雙曲線的漸近線的距離是．
（1）求p的值；
（2）已知過點F的直線與E交于A，B兩點，線段的中垂線與E的準線l交于點P，且線段的中點為M，設(shè)，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）E的焦點為，
雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即．
由點到直線的距離公式得，得．
（2）由（1）知，，：．
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去x并整理，得，
設(shè)，，則，，
，
∴．
易得M點的坐標為，
∴的中垂線方程為，
令得，∴，
從而，
∴，
∴實數(shù)的取值范圍為．
15．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線：的離心率為2，其左、右焦點分別為，，點為的漸近線上一點，的最小值為.
（1）求的方程；
（2）過的左頂點且斜率為的直線交的右支于點，與直線交于點，過且平行于的直線交直線于點，證明：點在定圓上.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）設(shè)雙曲線的右焦點，一條漸近線的方程為，
因為的最小值為，
所以右焦點到漸近線的距離為，所以，
又因為離心率，所以，
所以的方程為：.
（2）由題得，的左頂點，右焦點，
所以直線為線段的垂直平分線，
所以的斜率分別為，
所以直線的直線方程為與聯(lián)立有，
，
設(shè)，則有，即
所以，
當軸時，，則有
為等腰直角三角形，
所以,故直線的方程為：，故，
當不垂直于軸時，，
所以，，
所以，
所以，
因為，所以
所以為定值，
所以點在定圓上.滿分技巧
（1）在雙曲線定義中若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：
（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
（2）若常數(shù)滿足約束條件：，
則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
（4）若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。
滿分技巧
利用定義||PF1|-|PF2||＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)及基本不等式求最值
滿分技巧
1、由雙曲線標準方程求參數(shù)范圍
（1）對于方程，當時表示雙曲線；
當時表示焦點在軸上的雙曲線；當時表示焦點在軸上的雙曲線.
（2）對于方程，當時表示雙曲線；
當時表示焦點在軸上的雙曲線；當時表示焦點在軸上的雙曲線.
（3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標準方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。
2、待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型
（1）與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
（2）若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
（3）與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；
（4）過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設(shè)為eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)；
（5）與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)
滿分技巧
求雙曲線中的焦點三角形面積的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根據(jù)雙曲線的定義求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；
= 3 \* GB3 ③通過配方，利用整體的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面積。
（2）利用公式求得面積；
（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題。
滿分技巧
1、求雙曲線的離心率或其范圍的方法
（1）求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．
（3）因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進而求出離心率，能有效簡化計算．
（4）通過特殊位置求出離心率．
2、雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：
當k>0時，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；當k

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