題型1 根據(jù)解析式識(shí)別圖象
1．（24-25高一上·天津河北·期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、求含sinx的函數(shù)的奇偶性
【分析】分析函數(shù)的奇偶性，及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除AB選項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，則，排除C選項(xiàng).
故選：D.
2．（24-25高一上·天津·期末）函數(shù)的圖象的大致形狀是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別
【分析】利用函數(shù)奇偶性排除B，D，先證明特殊點(diǎn)在在上最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)的左側(cè)，再利用特殊點(diǎn)處的函數(shù)值排除C即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以
，故，
則是奇函數(shù)，故B，D錯(cuò)誤，
令，
令，所以函數(shù)化為，
令，由反比例函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則gx>0在上恒成立，故在上不存在零點(diǎn)，
而在上的零點(diǎn)只能由決定，
又，由余弦函數(shù)性質(zhì)得是在上最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)，
即是在上最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)，
而一定在左側(cè)，且，故A正確，C錯(cuò)誤.
故選：A
3．（24-25高三上·天津南開·期末）函數(shù)的圖象大致為（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀
【分析】分析函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)B，根據(jù)時(shí)可確定選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，則，
∴函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，
由得，，
∴，∴，CD錯(cuò)誤，選項(xiàng)A符合要求.
故選：A.
4．（24-25高一上·天津津南·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀
【分析】根據(jù)解析式求定義域，奇偶性定義判斷的奇偶性，結(jié)合時(shí)函數(shù)的符號(hào)，應(yīng)用排除法即可得答案.
【詳解】由解析式知，函數(shù)定義域?yàn)?，且?br>所以為偶函數(shù)，排除A、C，
當(dāng)，有，故，排除B.
故選：D
5．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷為奇函數(shù)，再由函數(shù)值的符號(hào)可得結(jié)論.
【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且
，
可知為奇函數(shù)，圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，可排除AD；
顯然，
不妨取，可排除C.
故選：B
題型2 根據(jù)圖象識(shí)別解析式
1．（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】根據(jù)奇偶性判斷A；驗(yàn)證的值判斷B；根據(jù)奇偶性、單調(diào)性判斷C；根據(jù)單調(diào)性判斷D.
【詳解】由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，
對(duì)于A，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，，
單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，
故選：C.
2．（2024·天津·二模）已知函數(shù)y=fx的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】根據(jù)排除A，根據(jù)定義域排除B，根據(jù)奇偶性排除C，進(jìn)而可得答案.
【詳解】對(duì)于A， 在處無意義，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：的定義域?yàn)椋?br>且，則為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，滿足圖中要求，故D正確.
故選：D.
3．（2024·天津河?xùn)|·一模）如圖中，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識(shí)別、二倍角的正弦公式、根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除A，根據(jù)有界性可排除C，根據(jù)4處的函數(shù)值不超過5，可判斷B.
【詳解】由圖象可知函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù)，
對(duì)于A，，故函數(shù)為偶函數(shù)，不符合，
對(duì)于B, ，
根據(jù)圖象可知，4處的函數(shù)值不超過5，故B不符合，
對(duì)于C，由于，顯然不符合，
故選：D
4．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】根據(jù)奇偶性判斷AB，由，在區(qū)間0,1上，，判斷C，由奇偶性結(jié)合在區(qū)間0,1上，，判斷D.
【詳解】對(duì)于A,，其定義域?yàn)?，有?br>則函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，其定義域?yàn)椋?br>有，則函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，在區(qū)間0,1上，，不符合題意，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，則為偶函數(shù)，
且在區(qū)間0,1上，，符合題意，故D正確.
故選：D.
5．（24-25高三上·天津武清·期中）函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求含csx的函數(shù)的奇偶性、根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，，所以是奇函數(shù)，
為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，
是奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，故排除B，
是奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，故排除D，
在處無意義，所以不過原點(diǎn)，故排除C，
故選：A
題型3判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間
1．（2022·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可
【詳解】函數(shù) 是上的連續(xù)增函數(shù),
,
可得,
所以函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.
故選：C
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小、比較指數(shù)冪的大小
【分析】由題可得在0,+∞上單調(diào)遞增，后由零點(diǎn)存在性定理結(jié)合冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】注意到函數(shù)圖象在0,+∞上連續(xù)不間斷，因?yàn)樵?,+∞上均單調(diào)遞增，則在0,+∞上單調(diào)遞增.
對(duì)于A，.因函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，則在上無零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，則，結(jié)合，故在上存在零點(diǎn)，故正確；
對(duì)于CD，由于在0,+∞上單調(diào)遞增，，可知C?D都是錯(cuò)誤的.
故選：B.
3．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于的方程：的實(shí)根分布在區(qū)間（ ）內(nèi).
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理來求得正確答案.
【詳解】令，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，排除A.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，排除D.
當(dāng)時(shí)，，而，
所以單調(diào)遞減，
而，故.
又，且，故，所以.
故選：B
4．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則屬于下列哪個(gè)區(qū)間（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間
【分析】利用零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.
【詳解】由題知在上單調(diào)遞增，
∵，，，
又，∴，即在上存在使得.
故選：B.
題型4 確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
1．（24-25高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）把函數(shù) 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 (縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) y=gx . 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) y=gx 的圖象與直線 交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】由余弦（型）函數(shù)的周期性求值、求圖象變化前（后）的解析式、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】由圖象變換寫出的解析式，然后在時(shí)解方程可得．
【詳解】由題意，
時(shí)，，注意，由得，或，即或，
因此的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
故選：B
2．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】畫出函數(shù)的圖象，令，則求在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再令得，即求與的圖象在交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出的范圍結(jié)合圖象可得答案.
【詳解】函數(shù)的圖象如下，
令，則求在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
由得，所以，
即方程有兩個(gè)不相等正根，
令，可得，不成立，
所以，即求與的圖象在交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
因?yàn)?，所以，即?br>解得，且，可得與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)，且時(shí)，
與有8個(gè)交點(diǎn)，則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8.

故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是畫出函數(shù)的圖象，令，則求在零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
3．（23-24高三上·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】先利用零點(diǎn)和根的關(guān)系得到或，然后再利用函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，
即方程和的根，函數(shù)的圖象，如下圖所示：
由圖可得方程和的根，共有4個(gè)根，即函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．
故選：C．
4．（24-25高三上·天津河西·期末）若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的的個(gè)數(shù)為 .
【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】該函數(shù)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)零點(diǎn)與正弦型函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和，再對(duì)、、分類討論，即可得取其取值范圍.
【詳解】令，則或，
由，
當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，
則在上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，即?br>與聯(lián)立得，因?yàn)椋詍的值依次為9，10；
當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，
而在上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，
故在上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)椋栽摿泓c(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，
所以，即，與聯(lián)立得，
因?yàn)椋缘娜≈狄来螢?，3，4，
綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．
故答案是：5．
5．（24-25高三上·江西宜春·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與其對(duì)應(yīng)方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由得?br>函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，
作函數(shù)和的圖象，如圖，
由圖可知在上有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：.
題型5 根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
1．（2022·天津?qū)氎妗ざ＃┮阎瘮?shù)若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，且，則非零實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】命題等價(jià)于的圖象與和的交點(diǎn)數(shù)之和為，然后結(jié)合圖象判斷交點(diǎn)數(shù)目，即可得到答案.
【詳解】命題等價(jià)于與和的交點(diǎn)數(shù)之和為，作出的圖象如下：
可以看出，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，fx的圖象和的交點(diǎn)數(shù)滿足：
若，則；若，則；若，則.
而條件即為，此即，且或，從而的范圍是或.
綜上，所求取值范圍是．
故選：C.
2．（2024·天津和平·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】,,．
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】方程可化為，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，分別討論函數(shù)與函數(shù)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象并觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，建立關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】方程，即，
結(jié)合，得，原方程可化為，
①時(shí)，原方程變?yōu)椋挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
②，記，
的圖象是開口向下的拋物線，函數(shù)的最大值，
因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以的最小值為，
結(jié)合圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
③，則，
在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)，的最小值為，
的圖象是開口向上的拋物線，函數(shù)的最小值，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的最小值，
觀察圖象可知：此時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值，
方程即的根的判別式△，
且方程即的根的判別式△，
結(jié)合與都在處取最小值，可知與的圖象不止有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
綜上所述，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．
故答案為：,,．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
3．（2023·天津和平·三模）已知函數(shù)，，且有，若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】．
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】由題意設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱軸、單調(diào)性等知識(shí)畫出圖象，由題意當(dāng)且僅當(dāng)，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，，進(jìn)一步換元分離參數(shù)，并結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】由題意設(shè)，，
由此可知，的對(duì)稱軸均為，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
且，
由此可以畫出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：
所以，
所以直線與函數(shù)至多有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
關(guān)于的方程至多有2個(gè)不同的根，
由題意若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，
則當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)關(guān)于的方程，共有8個(gè)不同的根，
其中，
，是關(guān)于?x的方程的兩個(gè)根，
令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，，
即有兩個(gè)不同的根，，
設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，，
所以有兩個(gè)不同的根，，
當(dāng)且僅當(dāng)，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是分析出直線與函數(shù)至多有4個(gè)不同的交點(diǎn)，關(guān)于?x的方程的至多有2個(gè)不同的根，由此可將題目等價(jià)轉(zhuǎn)換為有兩個(gè)不同的根，，從而即可順利得解.
4．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，再分段去絕對(duì)值符號(hào)，探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.
【詳解】顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，必有，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
5．（2024·天津·二模）設(shè)，函數(shù). 若在區(qū)間內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】對(duì)不同情況下的分類，然后分別討論相應(yīng)的零點(diǎn)分布，即可得到的取值范圍.
【詳解】本解析中，“至多可能有1個(gè)零點(diǎn)”的含義是“零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過1”，
即不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，并不意味著零點(diǎn)一定在某些時(shí)候存在1個(gè).
當(dāng)時(shí)，只要，就有，
故在上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，從而在上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，有，
所以在上沒有零點(diǎn).
而若，則只可能，所以在上至多可能有1個(gè)零點(diǎn).
故在R上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，從而在上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，解可得到，且由知，
從而確為在上的一個(gè)零點(diǎn).
再解方程，即，
可得兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
而，.
故確為在上的一個(gè)零點(diǎn)，
而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，另一根是在上的一個(gè)零點(diǎn).
條件為在區(qū)間內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，從而此時(shí)恰有兩種可能：或.
解得；
當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證知恰有兩個(gè)零點(diǎn)和，滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于需要分較多的情況討論，不重不漏、細(xì)致討論方可得解.
題型6 零點(diǎn)的代數(shù)和
1．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎x在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求過一點(diǎn)的切線方程、求零點(diǎn)的和
【分析】畫出、在區(qū)間上的圖象，根據(jù)對(duì)稱性、周期性等知識(shí)來求得正確答案.
【詳解】依題意，是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
，所以，
所以是周期為的周期函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
，所以直線與曲線y=gx相切于點(diǎn)2,1.
畫出、在區(qū)間上的圖象如下圖所示，
由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)公共點(diǎn)，
所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.
故選：C
2．（2024·四川自貢·一模）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（ ）
A．16B．32C．36D．48
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、正弦函數(shù)對(duì)稱性的其他應(yīng)用、求零點(diǎn)的和
【分析】先判斷的對(duì)稱性、周期性，然后由gx=0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象以及對(duì)稱性求得正確答案.
【詳解】依題意，是定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由于f1+x=f1?x，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，
，
所以是周期為的周期函數(shù).
令，得，
函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，y=fx的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
畫出函數(shù)y=fx和的圖象如下圖所示，
由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
所以所有零點(diǎn)和為.
故選：A
3．（2023·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則 ，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】 1
【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求零點(diǎn)的和
【分析】（1）先求得的值再利用分段函數(shù)解析式即可求得的值；
（2）按實(shí)數(shù)m分類討論利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)去判斷方程根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍
【詳解】，則
令，則的實(shí)根個(gè)數(shù)即
函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖像有1個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，
即，函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，
則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，
即或，則或或，
則方程有3個(gè)根，且3根和為3，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，
即或，
函數(shù)與函數(shù)無交點(diǎn)，不符合題意；
函數(shù)與函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，且4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4，
則方程有4個(gè)根，且4根和為4，符合題意
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是
故答案為：1；
4．（2024·四川綿陽·一模）已知函數(shù)，m為正的常數(shù)，則的零點(diǎn)之和為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、求零點(diǎn)的和
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對(duì)稱性，再結(jié)合零點(diǎn)的意義即可求解得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，令函數(shù)，
，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，令其橫坐標(biāo)從左到右依次為，
觀察圖象得，所以的零點(diǎn)之和為.
故答案為：
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）定義表示不超過x的最大整數(shù)，．例如：，則方程的所有實(shí)根之和是 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、求零點(diǎn)的和
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱性即可求解.
【詳解】對(duì)于，顯然不是方程的解，可化為，
作出函數(shù)和的大致圖象，
考察函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)，
除了外，其余點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而和為零，故總和為.
故答案為：
（建議用時(shí)：60分鐘）
一、單選題
1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式
【分析】本題使用排除法，通過賦值法可排除，項(xiàng)，通過對(duì)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較，可以排除項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以，與題圖不符，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；
通過排除法，所以正確.
故選：.
2．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．4個(gè)C．2個(gè)D．0個(gè)
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)意義得，變形為，并探討和的最值即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由得即，
當(dāng)時(shí)，恒成立，而恒成立，
因此不成立，
所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
故選：D.
3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)在R上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為 與函數(shù) 的圖象沒有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】設(shè) ，的圖象如圖所示，
問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù) 的圖象沒有交點(diǎn)，
所以或,
解得或,
故選：A.
4．（2024·安徽·一模）已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（ ）
A．B．28C．D．14
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】先作出的大致圖象，如下

令，則，
根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個(gè)不等根，
且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時(shí)符合題意，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
即，此時(shí)有兩個(gè)整數(shù)根或，
而要滿足有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，
顯然只有符合題意，當(dāng)時(shí)有，則，
解方程得的另一個(gè)正根為，
又，
此時(shí)五個(gè)整數(shù)根依次是，
顯然最大的根和最小的根和為.
故選：A
5．（23-24高二下·云南大理·期中）函數(shù)的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別
【分析】代入特殊點(diǎn)并對(duì)區(qū)間上的正負(fù)進(jìn)行討論即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
且，，
因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
只有B中圖象符合題意,
故選：B
6．（2024·廣東茂名·二模）若為上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和是（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)的零點(diǎn)
【分析】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與在區(qū)間上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為的零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性即可求零點(diǎn)之和.
【詳解】若為上的偶函數(shù)，則，且，
則的周期，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，即可畫出函數(shù)的圖象；
函數(shù)周期是2，最大值為3，把函數(shù)在下方圖象翻折到軸上方。
y=fx與在區(qū)間上一共有10個(gè)交點(diǎn)，
且這10個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于直線對(duì)稱，
所以在區(qū)間的的有零點(diǎn)的和是20.
故選：A
7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】先求出的解析式，再分段解方程即可得零點(diǎn).
【詳解】當(dāng)即時(shí)，
，
當(dāng)即時(shí)，，
所以
當(dāng)時(shí)，令，即或，解得：或（舍）或此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，可得或，所以或都滿足，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，
故選：C.
二、填空題
8．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】先將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后畫圖確定交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】令,則,
令,
則與?x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù),
當(dāng)時(shí),,
又,
所以是周期為1的函數(shù),
?x在R上單調(diào)遞減,且,
所以可作出與?x的圖象如圖,
所以與?x有3個(gè)交點(diǎn)，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,
故答案為：3.
9．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是 ．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意可知，在同一坐標(biāo)系下分別畫出和的圖象，找出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由，知，，
因?yàn)?，所以?br>在同一坐標(biāo)系下分別畫出和的圖象，由圖象可得和共有3個(gè)交點(diǎn)，
即方程有3個(gè)根.
故答案為：3.
10．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)．
給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，不存在最小值；
②當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)；
③當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得有三個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得有三個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】②④
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分段函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點(diǎn)逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，，
易知函數(shù)在上的最小值為0，
函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，即，
所以時(shí)，函數(shù)的最小值為0，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,m內(nèi)單調(diào)遞增，
函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
又，即，解得，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在0,+∞為增函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，
函數(shù)，則，即，存在一個(gè)零點(diǎn)；
函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，與存在一個(gè)交點(diǎn)，
又，即，解得或，
于是時(shí)，，如下圖所示：
綜上可知，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得至多有兩個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④當(dāng)時(shí)，
函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,m內(nèi)單調(diào)遞增，
則與存在兩個(gè)個(gè)交點(diǎn)，
由③知，與存在一個(gè)交點(diǎn)，，
又，即，解得或，
于是時(shí)，如下圖所示：
綜上可知，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得有三個(gè)零點(diǎn).
故答案為：②④.
11．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求零點(diǎn)的和
【分析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像結(jié)合函數(shù)性質(zhì)確定，，，變換，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：
方程有四個(gè)不同的解，，，，且，
由時(shí)，，則與的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即：，
當(dāng)時(shí)，由于在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
又因?yàn)?，，則，有，
，又，，
在上遞增，故取值范圍是．
故答案為：.
12．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，若在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 .
【答案】24
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的周期性的定義與求解、求零點(diǎn)的和、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用
【分析】由題設(shè)可得的周期為8，且關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性判斷上單調(diào)情況，根據(jù)與有4個(gè)交點(diǎn)，及函數(shù)的對(duì)稱性求根的和.
【詳解】由為偶函數(shù)，則，故，
又是定義在上的奇函數(shù)，則，
所以，故，即有，
綜上，的周期為8，且關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，
由在上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在上遞增，上遞減，上遞增，
所以在的大致草圖如下：
要使在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與有4個(gè)交點(diǎn)，
所以，必有兩對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱，則.
故答案為：24
13．（2024·上海楊浦·一模）已知，其中實(shí)數(shù).若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】由題意可知有兩根，通過方程求解即可.
【詳解】由題意可知：有兩根，結(jié)合在和都是單調(diào)遞增，
所以有一解，解得：，
有一解，解得：，
所以，
故答案為：.
14．（2024·四川樂山·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】輔助角公式、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換公式把函數(shù)化成，可求出的系列正根，根據(jù)函數(shù)在上根的個(gè)數(shù)，可確定的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>由（）.
令可得.
因?yàn)樵谏嫌星覂H有3個(gè)零點(diǎn)，所以，
故的取值范圍是：.
故答案為：
15．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】本題根據(jù)已知條件給定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類討論并結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，由于時(shí)，x>0時(shí)，
此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，
，
由于時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)在0,+∞上有，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即；
③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，
，
由于函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)，故與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)即可，
當(dāng)時(shí)，恰好只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
三年考情分析
2025考向預(yù)測(cè)
函數(shù)圖象：
2022年，第3題，函數(shù)圖象識(shí)別
2023年，第4題，根據(jù)圖象選擇解析式
函數(shù)零點(diǎn)：
2022年，第15題，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
2023年，第15題，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
2024年，第15題，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
函數(shù)圖象問題依舊以考查圖象識(shí)別為重點(diǎn)和熱點(diǎn)，難度中檔，也可能考查利用函數(shù)圖象解函數(shù)不等式等。函數(shù)的零點(diǎn)問題一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)候也會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)在解答題中考查，此時(shí)難度偏大。
①特殊值法（觀察圖象，尋找圖象中出現(xiàn)的特殊值）
②單調(diào)性法（；；，；通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性）
③奇偶性法
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
④極限（左右極限）（；；；；）
⑤零點(diǎn)法
⑥極大值極小值法
①特殊值法（觀察圖象，尋找圖象中出現(xiàn)的特殊值）
②單調(diào)性法（；；，；通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性）
③奇偶性法
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
不能確定
不能確定
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
偶函數(shù)
偶函數(shù)
④極限（左右極限）（；；；；）
⑤零點(diǎn)法
⑥極大值極小值法
（1）如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷。
1、直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).
2、利用零點(diǎn)存在定理+單調(diào)性，證明零點(diǎn)唯一
3、圖象法：
（1）單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）（最常用方法）兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。
（最常用方法）兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成一個(gè)函數(shù)和一個(gè)參數(shù)的差，根據(jù)，通過畫出的圖像和移動(dòng)，使得兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)符合題意，從而求出參數(shù)。
（最常用方法）兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成一個(gè)函數(shù)和一個(gè)參數(shù)的差，根據(jù)，通過畫出的圖像和移動(dòng)，使得兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)符合題意，從而兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是零點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性，周期性等性質(zhì)求出代數(shù)和。

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