引例：要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng) 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的長(zhǎng)方形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到 0.1 cm)？
21.3.3 一元二次方程的應(yīng)用（幾何問題）
分析:這本書的長(zhǎng)寬之比為 : ，正中央的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為 : ，上下邊襯與左右邊襯的寬度之比為 : .
解析：設(shè)中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為 9a 和 7a，由此得到上下邊襯寬度之比為
設(shè)上下邊襯的寬均為 9x cm，左右邊襯寬為 7x cm，則中央的矩形的長(zhǎng)為 (27?18x) cm，寬為 (21?14x) cm.
要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央矩形的面積是封面面積的四分之三.
試一試：如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡(jiǎn)單地解決上面的問題？
整理，得 16x2 ? 48x + 9 = 0.
解2：設(shè)正中央的長(zhǎng)方形的兩邊別為 9x cm，7x cm. 依題意得
解：設(shè)道路的寬為 x m. 則
例1 如圖，在一塊寬為 20 m，長(zhǎng)為 32 m 的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則道路的寬為多少？
(32 ? x)(20 ? x) = 540.
整理，得 x2 ? 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
當(dāng) x = 50 時(shí)，32 ? x = ?18，不合題意，舍去.
答：道路的寬為 2 m.
在寬為 20 m，長(zhǎng)為 32 m 的矩形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？
解：設(shè)道路的寬為 x m，且 x＜20.
(32 ? x)(20 ? x) = 540，
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
解：設(shè)道路的寬為 x m，且 x＜16.
(32 ? 2x)(20 ? x) = 540.
答：道路的寬為 (18 - ) m.
在寬為 20 m，長(zhǎng)為 32 m 的矩形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？
解：設(shè)道路的寬為 x m，且 x＜10.
(32 ? 2x)(20 ? 2x) = 540.
答：道路的寬為 1 m.
解得 x1 = 1，x2= 25(舍去).
在寬為 20 m，長(zhǎng)為 32 m 的矩形地面上修筑四條道路，余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為 3∶2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一，則道路的寬為多少（保留兩位小數(shù)）？
小路所占面積是矩形面積的四分之一
剩余面積是矩形面積的四分之三
解：設(shè)橫、豎小路的寬度分別為 3x m、2x m， 于是可列方程
我們利用“圖形經(jīng)過移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出小路的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）.
∴ x≈0.62，則 3x≈1.86，2x≈1.24.
答：橫、豎小路的寬度分別約為 1.86 m、1.24 m.
解：設(shè) AB 的長(zhǎng)是 x m. 列方程，得 (58 ? 2x)x = 200， 整理得 x2 ? 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 當(dāng) x = 25 時(shí)，58 ? 2x = 8； 當(dāng) x = 4 時(shí)，58 ? 2x = 50.答：羊圈的邊 AB 和 BC 的長(zhǎng)各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
例2 如圖，要利用一面墻(墻足夠長(zhǎng))建羊圈，用 58 m的圍欄圍成面積為 200 m2 的矩形羊圈，則羊圈的邊 AB 和 BC 的長(zhǎng)各是多少米？
解：設(shè) AB 的長(zhǎng)是 x m. 列方程，得 (80 ? 2x)x = 600. 整理得 x2 ? 40x + 300 = 0， 解得 x1 = 10，x2 = 30. 當(dāng) x = 10 時(shí)，80 ? 2x = 60 > 25(舍去)； 當(dāng) x = 30 時(shí)，80 ? 2x = 20 < 25.答：羊圈的邊 AB 和 BC 的長(zhǎng)各是 30 m，20 m.
變式 如圖，要利用一面墻 (墻長(zhǎng)為 25 m) 建羊圈，用 80 m 的圍欄圍成面積為 600 m2 的矩形羊圈，則羊圈的邊 AB 和 BC 的長(zhǎng)各是多少米？
變式 如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊利用長(zhǎng)為 12 m 的住房墻，另外三邊用 25 m 長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè) 1 m 的門，所圍雞場(chǎng)的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，面積為 80 m2？
解：設(shè)矩形雞場(chǎng)垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為 x m，
由題意得 x(25 ? 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
當(dāng) x = 5 時(shí)，26 ? 2x = 16 > 12(舍去)；
當(dāng) x = 8 時(shí)，26 ? 2x = 10 < 12.
故所圍矩形雞場(chǎng)的長(zhǎng)為 10 m，寬為 8 m.
則平行于住房墻的一邊長(zhǎng) (25 ? 2x + 1) m.
圍墻問題一般先設(shè)其中的一條邊為 x，然后用含 x 的代數(shù)式表示另一邊，最后根據(jù)面積或周長(zhǎng)公式列方程求解. 需要注意聯(lián)系實(shí)際問題選擇合適的解.
1. 某校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為180平方米的矩形活動(dòng)場(chǎng)地，它的長(zhǎng)比寬多11米，設(shè)場(chǎng)地的寬為x米，則可列方程為(　　)A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
2. 公園有一塊正方形的空地,后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花(如圖),原空地一邊減少了1 m,另一邊減少了2m,剩余空地的面積為18 m2,求原正方形空地的邊長(zhǎng).設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為x m,則可列方程為(　　)A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0
3. 如圖所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng).問點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9 cm2？
根據(jù)題意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,有
解：若設(shè)出發(fā)x s后可使△PCQ的面積為9cm2.
解得 x1=x2=3
答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.
4.如圖,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍,豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12 m的住房墻,另外三邊用25 m長(zhǎng)的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1 m寬的門.當(dāng)所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí),豬舍面積為80 m2?
解:設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊的長(zhǎng)為x m,可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為(25-2x+1)m,由題意得x(25-2x+1)=80,化簡(jiǎn),得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8.當(dāng)x=5時(shí),26-2x=16(m)>12 m(舍去);當(dāng)x=8時(shí),26-2x=10(m)

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21.1 一元二次方程

版本： 人教版

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