【回歸教材】
1.向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是： ．
2.平面向量的數(shù)量積
(1)設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
(2)注意任何一個向量與零向量的數(shù)量積均為零。
3.投影向量
（1）向量a在b方向上的投影向量為 (其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．
（2）向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，
即向量b在a上的投影向量可表示為 .
4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則
(1)e·a＝a·e＝|a|csθ.
(2)a⊥b? .
(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝ . 特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量數(shù)量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數(shù))；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.平面向量數(shù)量積滿足的運算律
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝ .
(2)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ .
【典例講練】
題型一 平面向量的數(shù)量積的運算
【例1-1】已知向量與的夾角為，，，分別求在下列條件下的：
(1)； (2)； (3)．
【例1-2】已知平面向量，的夾角為120°，且.若，則______.
【例1-3】如圖，正六邊形ABCDEF中，，點P是正六邊形ABCDEF的中心，則______．
【例1-4】如圖，平行四邊形中，，，，點在邊上，且，則___________.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】若,,,的夾角為，若，則的值為________．
【練習(xí)1-2】已知是邊長為2的正三角形，D是AC的中點，則______．
題型二 向量的模與投影向量
【例2-1】已知平面向量滿足，且與的夾角為，則_________．
【例2-2】設(shè)平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知向量，夾角為，且，，則（ ）
A．3B．C．4D．5
【練習(xí)2-2】已知，為單位向量，當(dāng)向量與的夾角等于時，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
題型三 向量的夾角
【例3-1】已知平面向量，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為__________.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知.
(1)求與夾角的余弦值. (2)當(dāng)與的夾角為鈍角時，求的取值范圍.
題型四 數(shù)量積的最值（范圍）問題
【例4-1】如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，，，AB=1，AD=3，，設(shè)點P為直角梯形ABCD內(nèi)一點（不包含邊界），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】已知在中，是邊上中點，，則的取值范圍是___________.
【例4-3】若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】已知直角梯形，，，，是邊上的一動點，則的取值范圍為_____.
【練習(xí)4-2】如圖，已知點，正方形內(nèi)接于⊙，、分別為邊、的中點，當(dāng)正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)時，的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【完成課時作業(yè)（三十四）】
【課時作業(yè)（三十四）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．已知向量，滿足，，則（ ）
A．4B．3C．2D．0
2．已知向量，在方向上的投影向量為，則（ ）
A．4B．8C．D．
3．已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量與的夾角為，且，則（ ）
A．B．1C．2D．4
5．如圖，在中，點D在邊上，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在中，是線段上的點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．【多選題】已知向量，其中，下列說法正確的是（ ）
A．若，則；
B．若與夾角為銳角，則；
C．若，則在方向上投影向量為；
D．若，則
8．已知向量，，，則與的夾角為________．
9．已知向量.若，則___________.
10．設(shè)點在直線上，點A在直線外，且,，，則的最小值為_________.
11．已知是邊長為1的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是__________.
12．在三角形中，，點F為邊中點，點E在邊上，且，與相交于P．
(1)將向量用向量表示； (2)若，求．
B組 挑戰(zhàn)自我
1．如圖，正方形的邊長為2，為正方形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，的外接圓圓心為O，，，則（ ）
A． B．
C．3 D．2
3．已知向量滿足，且對于任意x，
不等式恒成立，設(shè)的夾角為，則___________
4．如圖，在矩形ABCD中，，，E為CD中點，，.
(1)若，求實數(shù)的值； (2)求的取值范圍.
第 3 課時 平面向量的數(shù)量積
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．
2.平面向量的數(shù)量積
(1)設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·csθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
(2)注意任何一個向量與零向量的數(shù)量積均為零。
3.投影向量
（1）向量a在b方向上的投影向量為|a|cs θ e(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．
（2）向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，
即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cs θeq \f(a,|a|).
4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則
(1)e·a＝a·e＝|a|csθ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|. 特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量數(shù)量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數(shù))；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.平面向量數(shù)量積滿足的運算律
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【典例講練】
題型一 平面向量的數(shù)量積的運算
【例1-1】已知向量與的夾角為，，，分別求在下列條件下的：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果；
（2）因為，所以或，再根據(jù)即可求出結(jié)果；
（3）因為，所以，再根據(jù)即可求出結(jié)果.
(1)
解：因為，，，所以；
(2)
解：因為，所以或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以的值為或.
(3)
解：因為，所以，
所以.
【例1-2】已知平面向量，的夾角為120°，且.若，則______.
【答案】11
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)量積公式，可得的值，由題意得，展開計算，即可得答案.
【詳解】
因為平面向量，的夾角為，且，
所以，
因為，
所以，
所以，解得，
故答案為：11.
【例1-3】如圖，正六邊形ABCDEF中，，點P是正六邊形ABCDEF的中心，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】
找到向量的模長和夾角，帶入向量的數(shù)量積公式即可.
【詳解】
在正六邊形中，點P是正六邊形ABCDEF的中心，
，且,
.
故答案為：2.
【例1-4】如圖，平行四邊形中，，，，點在邊上，且，則___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由題意可得，，代入，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；
【詳解】
解：，，，，
故答案為：．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】若,,,的夾角為，若，則的值為________．
【答案】 ## 2.875
【解析】
【分析】
根據(jù)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可求出結(jié)果.
【詳解】
由題意知, ，
即，解得.
故答案為：.
【練習(xí)1-2】已知是邊長為2的正三角形，D是AC的中點，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
用轉(zhuǎn)化法，即可求向量的數(shù)量積.
【詳解】
解：由題意得，為，，
所以.
故答案為：-3.
題型二 向量的模與投影向量
【例2-1】已知平面向量滿足，且與的夾角為，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接由結(jié)合已知條件求解即可
【詳解】
因為平面向量滿足，且與的夾角為，
所以
，
故答案為：
【例2-2】設(shè)平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用投影向量的計算公式求解．
【詳解】
解：，，
在方向上的投影向量.
故選：A.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知向量，夾角為，且，，則（ ）
A．3B．C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
將方程兩邊平方，然后結(jié)合數(shù)量積的定義可算出答案.
【詳解】
因為向量，夾角為，且，，
所以，解得，
故選：D
【練習(xí)2-2】已知，為單位向量，當(dāng)向量與的夾角等于時，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通過投影公式進(jìn)行計算即可．
【詳解】
解：由定義可得向量在向量上的投影為，
所以向量在向量上的投影向量為．
故選：D．
題型三 向量的夾角
【例3-1】已知平面向量，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解，再利用夾角公式求解夾角.
【詳解】
因為，所以，解得；
所以，；
；而，
所以與的夾角為.
故選：D.
【例3-2】已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
與的夾角為銳角，則且與不共線.
【詳解】
與的夾角為銳角，則且與不共線
∴
∴，
故答案為：.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知.
(1)求與夾角的余弦值.
(2)當(dāng)與的夾角為鈍角時，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算性質(zhì)求解即可；
（2）利用向量夾角為鈍角時，數(shù)量積為負(fù)建立不等式求解，注意向量反向共線的情況不合題意.
(1)
，，，
，
解得
(2)
由（1）知，
當(dāng)與的夾角為鈍角時, ,
即，
解得，
當(dāng)與反向共線時，有 ，
即，解得，此時不滿足題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍.
題型四 數(shù)量積的最值（范圍）問題
【例4-1】如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，，，AB=1，AD=3，，設(shè)點P為直角梯形ABCD內(nèi)一點（不包含邊界），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依題意過點作交的延長線于點，即可求出，設(shè)與的夾角為，結(jié)合圖形即可得到在方向上的投影的取值范圍，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算可得；
【詳解】
解：依題意過點作交的延長線于點，則，
設(shè)與的夾角為，
因為點為直角梯形內(nèi)一點（不包含邊界），所以在方向上的投影，且，
所以
故選：A
【例4-2】已知在中，是邊上中點，，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先轉(zhuǎn)化向量，再代入數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】
由條件可知，，
所以

，,
所以
所以的取值范圍是，
故答案為：
【例4-3】若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平面向量的線性運算可得，，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】
解：因為為等邊三角形，是邊的中點，故,,
又是線段上任意一點，故設(shè)，
因為，所以.
故,
又,故.
故選：C.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】已知直角梯形，，，，是邊上的一動點，則的取值范圍為_____.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)（），把與表示為與的線性關(guān)系，把表示成關(guān)于的解析式，解出的取值范圍.
【詳解】
因為在上，不妨設(shè)，則（其中），所以
.
因為，所以，
故答案為：.
【練習(xí)4-2】如圖，已知點，正方形內(nèi)接于⊙，、分別為邊、的中點，當(dāng)正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)時，的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意易知，將表示為，再結(jié)合數(shù)量積的運算律計算即可．
【詳解】
解：由題意可知正方形的邊長為2，
則，
∵，，
設(shè)，的夾角為，則，
.
故選：C.
【完成課時作業(yè)（三十四）】
【課時作業(yè)（三十四）】
A組 礎(chǔ)題鞏固
1．已知向量，滿足，，則（ ）
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量的運算求解即可.
【詳解】
故選：B．
2．已知向量，在方向上的投影向量為，則（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)投影向量與投影之間的關(guān)系可知在方向上的投影為，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.
【詳解】
由得，根據(jù)在方向上的投影向量為，可知在方向上的投影為，故根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，等于與在方向上的投影的乘積，故，
故選：C
3．已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)向量夾角為銳角列出不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】
，
由題意得：且，
解得：且，
故選：D
4．已知向量與的夾角為，且，則（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
對兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積公式得出.
【詳解】
解:向量,夾角為,且,
∴,
即,
解得或（舍）,
∴,
故選：C
5．如圖，在中，點D在邊上，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
過點A作，可得，，三條邊長，再通過線性運算，表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為，，表示，即可得出答案.
【詳解】
過點A作，垂足為E.，，，
.
故選：A.
6．在中，是線段上的點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，因為是線段上的點，所以，求出點的坐標(biāo)，代入，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
【詳解】
因為
是以為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，
，因為是線段上的點，
所以，所以，
所以 所以，
，
當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，有最小值.
所以的取值范圍是.
故選：B.
7．【多選題】已知向量，其中，下列說法正確的是（ ）
A．若，則；
B．若與夾角為銳角，則；
C．若，則在方向上投影向量為；
D．若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解可判斷A；注意向量同向不滿足題意可判斷B；根據(jù)投影向量的定義直接求解，可判斷C；根據(jù)性質(zhì)可知與同向，然后可判斷D.
【詳解】
若，則，解得，A正確；
若與夾角為銳角，則，解得，又當(dāng)，，此時，與夾角為0，故B錯誤；
若，則，因為在方向上投影為，與同向的單位向量為，所以在方向上投影向量為，C正確；
若，則與同向，由上可知，此時，D正確.
故選：ACD
8．已知向量，，，則與的夾角為________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)可得，再利用向量的夾角公式直接計算即可.
【詳解】
由，得，
所以，
又
即，
故答案為：.
9．已知向量.若，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量平行的坐標(biāo)表示求出參數(shù)，然后由模的坐標(biāo)表示計算．
【詳解】
因為，所以，解得.所以.
所以.
故答案為：．
10．設(shè)點在直線上，點A在直線外，且,，，則的最小值為_________.
【答案】##2.4
【解析】
【分析】
由可判斷，確定當(dāng)時，最小，利用三角形面積即可求得答案.
【詳解】
因為，則，
即得，即，
由于,，故,
當(dāng)時，最小，最小值為，
故答案為：
11．已知是邊長為1的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
畫出圖形,結(jié)合圖形，利用平面向量的幾何意義判斷求解即可.
【詳解】
畫出圖形如圖，，
它的幾何意義是的長度與在向量上的投影的乘積，
由圖可知，在處時，取得最大值，，此時，可得，即最大值為.
在處取得最小值，此時，最小值為，
因為是邊長為1的正六邊形內(nèi)的一點，取不到臨界值，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
12．在三角形中，，點F為邊中點，點E在邊上，且，與相交于點P．
(1)將向量用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)垂直關(guān)系，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量坐標(biāo)運算以及共線的坐標(biāo)運算，即可求解，
（2）用基地向量表示,根據(jù)數(shù)量積的運算即可求解.
（1）由，以分別為軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，故，進(jìn)而,因為,所以得：，解得，故，由,故
（2）由（1）知，又,故
B組 挑戰(zhàn)自我
1．如圖，正方形的邊長為2，為正方形四條邊上的一個動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，分點P在CD上，點P在BC上，點P在AB上，點P在AD上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.
【詳解】
解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
則，
當(dāng)點P在CD上時，設(shè)，
則，
所以；
當(dāng)點P在BC上時，設(shè)，
則，
所以；
當(dāng)點P在AB上時，設(shè)，
則，
所以；
當(dāng)點P在AD上時，設(shè)，
則，
所以；
綜上：的取值范圍是.
故選：D
2．如圖，的外接圓圓心為O，，，則（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，分別求出、即可求解作答.
【詳解】
因的外接圓圓心為O，，，由圓的性質(zhì)得，
有，同理，
所以.
故選：A
【點睛】
方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積的方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．
3．已知向量滿足，且對于任意x，不等式恒成立，設(shè)的夾角為，則___________
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的定義將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用判別式的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】
∵不等式恒成立，
∴不等式恒成立，
即，
則，
即恒成立，
則判別式，
即，
則，則，
則，
故答案為：.
4．如圖，在矩形ABCD中，，，E為CD中點，，.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算得出實數(shù)的值；
（2）由（1）得出，，再由數(shù)量積運算求解即可.
(1)
以點為坐標(biāo)原點，以和為軸和軸正方向，如圖建系.
可知，，，，，
∴
，
∵∴
(2)
由（1）知，，
∵∴取值范圍是：

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