【回歸教材】
1.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
2.相交兩圓的公共弦所在直線方程
已知，①
和圓，②
用方程①-②，得．③
③表示過(guò)圓和圓的交點(diǎn)的直線，即圓和圓公共弦所在的直線方程．
圓系方程
①過(guò)兩圓和的交點(diǎn)的圓系方程為(，其中不含圓)．
②當(dāng)時(shí)，為兩圓的公共弦所在直線的方程；
當(dāng)兩圓相切時(shí)，為過(guò)兩圓切點(diǎn)的直線方程
【典例講練】
題型一 圓與圓的位置關(guān)系
【例1-1】已知，且圓，圓．分別求這兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【例1-2】已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（ ）
A．4條B．2條C．1條D．0條
【練習(xí)1-2】已知圓與圓．
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．
題型二 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【例2-1】已知點(diǎn)在圓上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【例2-2】平面上兩個(gè)點(diǎn)為A(－1，0)，B(1，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一點(diǎn)P，則|AP|2＋|BP|2的最小值為_(kāi)_______．
【例2-3】已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______.
【練習(xí)2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足 ，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型三 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題
【例3-1】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．
(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；
(2)設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長(zhǎng)；
(3)若點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．
【例3-2】已知圓M與圓N：相外切，與y軸相切原點(diǎn)O．
(1)求圓M的方程；
(2)若圓M與圓N的切點(diǎn)在第一象限，過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線與圓M分別交于P，Q兩點(diǎn)，且兩直線互相垂直，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五十三）】
【課時(shí)作業(yè)（五十三）】
A組 基礎(chǔ)題
1．已知點(diǎn)P，Q分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．7D．10
2．已知點(diǎn)A（2，0），B（0，﹣1），點(diǎn)是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點(diǎn)，則 面積最大值為（ ）
A．2B．C．D．
3．在圓中，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知A，B為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．過(guò)圓C: 外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，若PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．3
8．圓與圓外切，則實(shí)數(shù)_________．
9．寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
10．如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______ ．
11．已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______．
12．設(shè)P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，Q為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則稱的最小值為曲線，之間的距離，記作.若，，則___________.
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=AB，求直線l的方程；
(2)圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
B組 能力提升
1．設(shè)M為圓外一點(diǎn)，過(guò)M引圓的切線，兩切點(diǎn)分別為P和Q，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．在棱長(zhǎng)為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則AP的最大值為_(kāi)_______．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線到圓心的距離為，且直線垂直于直線，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交與、兩點(diǎn)．
(1)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；
(2)若，求以為直徑的圓方程；
(3)當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，
請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
方法
位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
第 4 課時(shí) 圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合應(yīng)用
編寫(xiě)：廖云波
【回歸教材】
1.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
2.相交兩圓的公共弦所在直線方程
已知，①
和圓，②
用方程①-②，得．③
③表示過(guò)圓和圓的交點(diǎn)的直線，即圓和圓公共弦所在的直線方程．
圓系方程
①過(guò)兩圓和的交點(diǎn)的圓系方程為(，其中不含圓)．
②當(dāng)時(shí)，為兩圓的公共弦所在直線的方程；
當(dāng)兩圓相切時(shí)，為過(guò)兩圓切點(diǎn)的直線方程
【典例講練】
題型一 圓與圓的位置關(guān)系
【例1-1】已知，且圓，圓．分別求這兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】時(shí)外離；時(shí)外切；時(shí)相交，時(shí)內(nèi)切，時(shí)內(nèi)含．
【解析】
【分析】
由兩圓的連心距與半徑的和差關(guān)系求解．
【詳解】
，，半徑為，
，，，
，
，
所以，時(shí)外離；時(shí)外切；時(shí)相交，時(shí)內(nèi)切，時(shí)內(nèi)含．
【例1-2】已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）兩圓相減，可得公共弦所在直線方程；
（2）首先設(shè)圓系方程（為常數(shù)），根據(jù)圓心在直線上，求，即可求得圓的方程；
（3）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，即可求得圓心和半徑.
(1)
將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．
(2)
設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（為常數(shù)），
則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線y＝－x上，故，
解得，故所求方程為．
(3)
由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最?。畠蓤A心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，
與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為，由弦長(zhǎng)公式可知所求圓的半徑為．
故面積最小的圓的方程為．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（ ）
A．4條B．2條C．1條D．0條
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知條件判斷圓與圓的關(guān)系，進(jìn)而可以求解.
【詳解】
由，得圓，半徑為，
由，得，半徑為
所以，
，，
所以，所以圓與圓相交，
所以圓與圓有兩條公共的切線.
故選：B.
【練習(xí)1-2】已知圓與圓．
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）將兩圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可證明；
（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓心為，根據(jù)得到方程，即可求出，從而求出圓心坐標(biāo)與半徑，從而得到圓的方程.
(1)
證明：圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
，
，兩圓相交；
(2)
解：由圓與圓，
將兩圓方程相減，可得，
即兩圓公共弦所在直線的方程為；
(3)
解：由，解得，
則交點(diǎn)為，，
圓心在直線上，設(shè)圓心為，
則，即，解得，
故圓心，半徑，
所求圓的方程為．
題型二 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【例2-1】已知點(diǎn)在圓上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）的最大值為，最小值為.）（3）
【解析】（1）設(shè)，則，t可視為直線的縱截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的縱截距．
由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或．
∴的最大值為，最小值為．
（2）可視為點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓有公共點(diǎn)的斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率．
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或．
∴的最大值為，最小值為．
【例2-2】平面上兩個(gè)點(diǎn)為A(－1，0)，B(1，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一點(diǎn)P，則|AP|2＋|BP|2的最小值為_(kāi)_______．
【答案】20
【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|OP|＝，
∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.
要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最?。?br>將圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝4.
∵點(diǎn)P為圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的點(diǎn)，∴|OP|min＝|OC|－r(r為半徑)．
由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圓心C(3，4)，r＝2.
∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即|OP|min＝3，
∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.
故答案為：20.
【例2-3】已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．
【答案】##
【解析】
【分析】
設(shè)圓和圓的圓心分別為,則根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知為定值,再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知的最大值為與兩圓半徑的和即可.
【詳解】
由題, 設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.
則橢圓的焦點(diǎn)為.又,.
故,當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).
此時(shí)最大值為.
故答案為：.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】設(shè)，則 ，
又在圓上
，即，
的軌跡方程為
所以當(dāng)取最大值時(shí)，與相切，
此時(shí) ,
故答案為：
【練習(xí)2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足 ，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè) ，則
∵，
∴
∴
∴為點(diǎn)的軌跡方程
∴點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）
則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：
又∵
∴
題型三 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題
【例3-1】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．
(1)求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；
(2)設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為M，N，求線段MN的長(zhǎng)；
(3)若點(diǎn)C在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1) 設(shè)，，可得，代入圓化簡(jiǎn)即可；
(2) 聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程,再由弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果；
(3) 作關(guān)于軸得對(duì)稱點(diǎn)，連接與x軸交于Q點(diǎn)，根據(jù)時(shí)求解即可.
(1)
設(shè)，，點(diǎn)A在圓，所以有：，
P是A，B的中點(diǎn)，，即，得P得軌跡方程為：；
(2)
聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程，
設(shè)到直線MN得距離為d，則,
所以，；
(3)
作出關(guān)于軸得對(duì)稱點(diǎn)，
如圖所示；
連接與x軸交于Q點(diǎn)，點(diǎn)Q即為所求，
此時(shí)，所以的最小值為.
【例3-2】已知圓M與圓N：相外切，與y軸相切原點(diǎn)O．
(1)求圓M的方程；
(2)若圓M與圓N的切點(diǎn)在第一象限，過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線與圓M分別交于P，Q兩點(diǎn)，且兩直線互相垂直，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)M：或M：
(2)證明見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】
（1）由題意可設(shè)圓M的方程為，由兩圓外切建立等式：，求解值可得圓的方程.（2）由切點(diǎn)在第一象限可知圓M：，設(shè)OP所在直線方程為，與圓聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，把k換做，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)斜式計(jì)算直線PQ方程化簡(jiǎn)可求出過(guò)定點(diǎn).
(1)
由題意知，圓M與y軸相切原點(diǎn)O，所以設(shè)圓M的方程為，
因?yàn)閳AM與圓N：相外切，且N：，
所以，所以或，
所以M：或M：；
(2)
由題意知M：，
設(shè)OP所在直線方程為，聯(lián)立，
得，，
同理把k換做，可得，，
所以PQ所在直線方程為，
化簡(jiǎn)為：
故直線PQ過(guò)定點(diǎn)．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．
(1)若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；
(2)若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出圓心的坐標(biāo)，設(shè)出切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可求出相應(yīng)的參數(shù)值，即可得出所求切線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，由已知可得，分析可知圓與圓有公共點(diǎn)，可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
解：聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.
若切線的斜率不存在，則切線的方程為，此時(shí)直線與圓相離，不合乎題意；
所以，切線的斜率存在，設(shè)所求切線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，解得或.
故所求切線方程為或，即或.
(2)
解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，
設(shè)點(diǎn)，由可得，
整理可得，
由題意可知，圓與圓有公共點(diǎn)，所以，，
即，解得.
所以，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是.
【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五十三）】
【課時(shí)作業(yè)（五十三）】
A組 基礎(chǔ)題
1．已知點(diǎn)P，Q分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.
【詳解】
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1；
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；
所以兩圓的圓心距，兩圓外離，
所以 ，
故選：A.
2．已知點(diǎn)A（2，0），B（0，﹣1），點(diǎn)是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點(diǎn)，則 面積最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及圖形求出圓上點(diǎn)到直線距離的最大值，由此可求面積的最大值.
【詳解】
由已知，
要使的面積最大，只要點(diǎn)P到直線的距離最大．
由于AB的方程為1，即x﹣2y﹣2＝0，
圓心（0，1）到直線AB的距離為d，
故P到直線AB的距離最大值為1，
所以面積的最大值為，
故選：D．
3．在圓中，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出最短、最長(zhǎng)弦，即可得解；
【詳解】
解：圓，即，圓心為，半徑，
又，所以過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦，最短弦，
且最短弦與最長(zhǎng)弦互相垂直，所以；
故選：B
4．已知圓：和圓：有且僅有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意圓、相離，則，分別求圓心和半徑代入計(jì)算．
【詳解】
圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑
根據(jù)題意可得，圓、相離，則，即
∴
故選：A．
5．已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由，如圖所示，
顯然當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有最小值，
最小值為原點(diǎn)到直線的距離，
即，
故選：D
6．已知A，B為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的運(yùn)算律將題意轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到的中點(diǎn)的距離最值問(wèn)題即可得解.
【詳解】
設(shè)M是AB的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以?br>即M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
，所以．
又，所以，
所以．
故選：C.
7．過(guò)圓C: 外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，若PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
求出點(diǎn)P的軌跡為圓，再由圓心到直線的距離減去半徑即可得出最小值.
【詳解】
∵過(guò)圓C: 外一點(diǎn)向圓C引兩條切線，
切點(diǎn)分別為A，B，由PA⊥PB可知，四邊形CAPB為邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，
所以點(diǎn)的軌跡E是以C(1,0)為圓心，為半徑的圓，
圓心到直線的距離，
所以點(diǎn)P到直線的最短距離為，
故選：B
8．圓與圓外切，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】9
【解析】
【分析】
由題意分別求兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切可得，代入運(yùn)算求解．
【詳解】
圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則
根據(jù)題意可得：，即，∴
故答案為：9．
9．寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.
【詳解】
圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，
故答案為：或或.
10．如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______ ．
【答案】2＃＃＋2
【解析】
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示，兩點(diǎn)間距離，結(jié)合圖形理解運(yùn)算．
【詳解】
設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
∵，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形可得
故答案為：．
11．已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】
令，由題可得，即得.
【詳解】
令，則，代入，
可得，
∴，
解得，
即的取值范圍為.
故答案為；.
12．設(shè)P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，Q為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則稱的最小值為曲線，之間的距離，記作.若，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出圓心距，根據(jù)圓的對(duì)稱性得出.
【詳解】
由可得
故答案為：
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）．
(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=AB，求直線l的方程；
(2)圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0
(2)存在，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)l∥AB，可得直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合題意，即可求得m值，即可得答案.
（2）設(shè)P（x，y），則，根據(jù)題意，化簡(jiǎn)可得x2+（y-1）2=4，根據(jù)圓心距可得兩圓的位置關(guān)系，即可得答案.
(1)
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心C（2，0），半徑為2．
因?yàn)閘∥AB，且A（-1，0），B（1，2），
所以直線l的斜率為．
設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，
則圓心C到直線l的距離為．
因?yàn)椋?br>而，所以，
解得m=0或m=-4，
所以直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0．
(2)
假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），則，
所以PA2+PB2=，
整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．
因?yàn)椋?br>所以圓（x-2）2+y2=4與圓x2+（y-1）2=4相交，
所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．
B組 能力提升
1．設(shè)M為圓外一點(diǎn)，過(guò)M引圓的切線，兩切點(diǎn)分別為P和Q，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作圖，利用圖中的幾何關(guān)系，運(yùn)用三角函數(shù)和向量數(shù)量積定義即可求解.
【詳解】
設(shè)，則，設(shè) ，
則 ， ，在 中， ，
則 ，解得 ，
，
，解得 ，
；
故選：A.
2．在棱長(zhǎng)為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則AP的最大值為_(kāi)_______．
【答案】##
【解析】
【分析】
先證明平面，由條件確定點(diǎn)的軌跡，由此可求AP的最大值.
【詳解】
因?yàn)椋?平面，，
所以，同理可證，又，，
所以平面，
設(shè)與平面相交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)槠矫?，所?br>所以，又，
則，即點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，
因?yàn)?，平面，所以?br>又為等邊三角形，且,
所以，
所以AP的最大值為．
故答案為：.
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線到圓心的距離為，且直線垂直于直線，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交與、兩點(diǎn)．
(1)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程；
(2)若，求以為直徑的圓方程；
(3)當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【解析】
【分析】
（1）對(duì)所求直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在所求直線斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證直線與圓相切；在所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，綜合可得出所求直線的方程；
（2）分點(diǎn)在軸上方、點(diǎn)在軸下方兩種情況討論，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可得出所求圓的方程；
（3）設(shè)直線的方程為，其中，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以線段為直徑的圓的方程，并化簡(jiǎn)圓的方程，可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)
解：易知圓的方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，
若所求直線的斜率不存在，則所求直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，合乎題意，
若所求直線的斜率存在，設(shè)所求直線的方程為，即，
由已知可得，解得，此時(shí)所求直線的方程為.
綜上所述，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.
(2)
解：易知直線的方程為，、，
若點(diǎn)在軸上方，則直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
線段的中點(diǎn)為，且，此時(shí)，所求圓的方程為；
若點(diǎn)在軸下方，同理可求得所求圓的方程為.
綜上所述，以為直徑的圓方程為.
(3)
解：不妨設(shè)直線的方程為，其中，
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
因?yàn)?，則直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
線段的中點(diǎn)為，，
所以，以線段為直徑的圓的方程為，
即，由，解得，
因此，當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)圓內(nèi)的定點(diǎn).
方法
位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況
外離
d>r1＋r2
無(wú)解
外切
d＝r1＋r2
一組實(shí)數(shù)解
相交
|r1－r2|

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