2024-2025 學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修三專題6.3 組合問題（4類必考點）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題6.3 組合問題 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc120543314" 【考點1：組合與組合數(shù)公式】 PAGEREF _Toc120543314 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc120543315" 【考點2：有限制條件的組合問題】 PAGEREF _Toc120543315 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc120543316" 【考點3：分組分配問題】 PAGEREF _Toc120543316 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc120543317" 【考點4：其他組合問題】 PAGEREF _Toc120543317 \h 6 【考點1：組合與組合數(shù)公式】【知識點：組合與組合數(shù)公式】公式：Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(n?n－1?…?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)；Ceq \o\al(0,n)＝1；Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)；Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n)＝Ceq \o\al(m,n＋1). 1．（23-24高二上·福建寧德·期末）若，則的值為（????） A． B． C． D． 2．（多選）（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·開學(xué)考試）下列說法正確的是（????） A．已知，則可能取值為6 B．已知，則可能取值為7 C．在的展開式中，各項系數(shù)和為0 D．在的展開式中，各項系數(shù)和為29 3．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）若，則正整數(shù)的值為． 4．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（1）求值：；（2）解方程：. 5．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)證明：； (2)證明：． 6．（23-24高二下·全國·單元測試）規(guī)定，其中，是正整數(shù)，且，這是組合數(shù)（、是正整數(shù)，且）的一種推廣. (1)求的值； (2)組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①；②是否都能推廣到（，是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由； (3)已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時，. 【考點2：有限制條件的組合問題】【知識點：有限制條件的組合問題】有限制條件的組合問題的解法組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有幾個元素： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型．考慮逆向思維，用間接法處理．　　 1．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（????）種. A．16 B．20 C．96 D．120 2．（2022·江蘇省江浦高級中學(xué)高三階段練習(xí)）現(xiàn)有7個大小相同?質(zhì)地均勻的小球，球上標有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7個小球中隨機取出3個，則所取出的小球上數(shù)字的最小值為2的概率為（????） A．27 B．1435 C．1635 D．47 3．（2022·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）某校舉行科技文化藝術(shù)節(jié)活動，學(xué)生會準備安排6名同學(xué)到兩個不同社團開展活動，要求每個社團至少安排兩人，其中A，B兩人不能分在同一個社團，則不同的安排方案數(shù)是（????） A．56 B．28 C．24 D．12 4．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二期中）有5名同學(xué)參加唱歌、跳舞、下棋三項比賽，每項比賽至少有一人參加，其中甲同學(xué)不能參加跳舞比賽，則參賽方案的種數(shù)為___________． 5．（2008·重慶·高考真題（文））某人有3種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多）,要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡不同色,則不同的安裝方法共有____________種．（用數(shù)字作答） 6．（2007·上?！じ呖颊骖}（文））在一個小組中有8名女同學(xué)和4名男同學(xué)，從中任意地挑選2名同學(xué)擔(dān)任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學(xué)的概率是___________.（結(jié)果用分數(shù)表示） 7．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（理））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名組成校慶志愿小分隊，則甲、乙都不入選的概率為 ________. 【考點3：分組分配問題】【知識點：分組分配問題】分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象． [方法技巧]　　分組分配問題的三種類型及求解策略 1．（23-24高三上·山西運城·期末）第33屆夏季奧運會預(yù)計2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增2個競賽項目和3個表演項目．現(xiàn)有三個場地A，B，C分別承擔(dān)這5個新增項目的比賽，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（???） A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種 2．（23-24高三下·山西·開學(xué)考試）“暢通微循環(huán)，未來生活更舒適”．我國開展一刻鐘便民生活圈建設(shè)，推進生活服務(wù)業(yè)“規(guī)范化、連鎖化、便利化、品牌化、特色化、智能化”發(fā)展，以提質(zhì)便民為核心，高質(zhì)量建設(shè)國際消費中心城市，便民商業(yè)體系向高品質(zhì)發(fā)展．某調(diào)研機構(gòu)成立5個調(diào)研小組，就4個社區(qū)的便民生活圈的建設(shè)情況進行調(diào)研，每個調(diào)研小組選擇其中1個社區(qū)，要求調(diào)研活動覆蓋被調(diào)研的社區(qū)，共有派出方案種數(shù)為（????） A．120 B．240 C．360 D．480 3．（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是（????） A．240 B．420 C．540 D．900 4．（2024·四川·模擬預(yù)測）為了深化教育改革，堅持“五育并舉”融合育人．某學(xué)校準備組建書法、音樂、美術(shù)、體育4個不同的社團．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)分配到這4個社團進行培訓(xùn)，每名同學(xué)只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學(xué)，且甲乙兩名同學(xué)不能在同一個社團培訓(xùn)，則不同的分配方案共有（????） A．192種 B．216種 C．240種 D．432種 5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（????） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）有5個人到南京、鎮(zhèn)江、揚州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個學(xué)校錄用，每個學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是（????） A．300 B．360 C．390 D．420 7．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（） A．240 B．300 C．420 D．540 8．（2024·河南南陽·一模）黨的二十大報告提出:“深化全民閱讀活動.”今天，我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放，開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有、、、、共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作，每個場館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個場館的可能性相同，則、兩名志愿者不在同一個場館的概率為（????） A． B． C． D． 9．（2024·陜西·模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3個不同的崗位參加志愿者工作，每個崗位至少分配一人，其中甲與丙不在同一崗位，丁與戊在同一崗位，則不同的分配方案有（????） A．18種 B．21種 C．24種 D．30種 10．（22-23高二下·河南·期中）將5名實習(xí)教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習(xí)，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（　?。?A．種 B．種 C．種 D．種【考點4：其他組合問題】【知識點：其他組合問題】 1．（湖北·高考真題（理））已知直線xa+yb=1（a，b是非零常數(shù)）與圓x2+y2=100有公共點，且公共點的橫坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（????） A．60條 B．66條 C．72條 D．78條 2．（2022·黑龍江·嫩江市高級中學(xué)高二階段練習(xí)）馬路上亮著一排編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盞路燈．為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的兩盞燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)為（????） A．12 B．18 C．21 D．24 3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）8個點將半圓分成9段弧，以10個點（包括2個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（　?。﹤€ A．55 B．112 C．156 D．120 4．（2022·全國·高二單元測試）某學(xué)校為落實“雙減政策，在每天放學(xué)后開設(shè)拓展課程供學(xué)生自愿選擇，開學(xué)第一周的安排如下表.小明同學(xué)要在這一周內(nèi)選擇編程、書法、足球三門課，不同的選課方案共有（????）注：每位同學(xué)每天最多選一門課，每門課一周內(nèi)最多選一次.A．15種 B．10種 C．8種 D．5種 5．（2022·重慶長壽·高二期末）某校共有東門、西門、北門三道校門.由于疫情防控需要，學(xué)校安排甲、乙、丙、丁4名教師志愿者分別去三道校門協(xié)助保安值守，下列選項正確的是（????） A．若對每名教師志愿者去哪道校門無要求，則共有81種不同的安排方法 B．若恰有一道門沒有教師志愿者去，則共有42種不同的安排方法 C．若甲、乙兩人都不能去北門，且每道門都有教師志愿者去，則共有44種不同的安排方法 D．若學(xué)校新購入20把同一型號的額溫槍，準備全部分配給三道校門使用，每道校門至少3把，則共有78種分配方法 6．（2022·福建師大附中高三階段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于8(數(shù)字可以重復(fù)) 的四位數(shù)個數(shù)為_____． 7．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）若方程：x1+x2+x3+x4=8，則方程的正整數(shù)解的個數(shù)為___________. 8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）立方體8個頂點任意兩個頂點所在的直線中，異面直線共有______對. 9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）方程18x+4y+9z=2021的正整數(shù)解有多少組？ 10．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）將6個不同小球裝入編號為1，2，3，4，5的5個盒子，不允許有空盒子出現(xiàn)，共________種放法；若將6個相同小球放入這5個盒子，允許有空盒子出現(xiàn)，共________種放法.（結(jié)果用數(shù)字作答）組合從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作Ceq \o\al(m,n)類型求解策略整體均分解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq \o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)部分均分解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)不等分組只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)周一周二周三周四周五演講、繪畫、舞蹈、足球編程、繪畫、舞蹈、足球編程、書法、舞蹈、足球書法、演講、舞蹈、足球書法、演講、舞蹈、足球