2024-2025 學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修三專題6.1 基本計數(shù)原理（5類必考點）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題6.1 基本計數(shù)原理 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1" HYPERLINK \l "_Toc118924532" 【考點1：分類加法計數(shù)原理】 PAGEREF _Toc118924532 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc118924533" 【考點2：分步乘法計數(shù)原理】 PAGEREF _Toc118924533 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc118924534" 【考點3：組數(shù)問題】 PAGEREF _Toc118924534 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc118924535" 【考點4：涂色問題】 PAGEREF _Toc118924535 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc118924536" 【考點5：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】 PAGEREF _Toc118924536 \h 9 【考點1：分類加法計數(shù)原理】【知識點：分類加法計數(shù)原理】 (1)完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． (2) 能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點： ①完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類． ②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事． ③把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)． 1．（2024上·江西·高二江西省安義中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校開設(shè)5門球類運動課程、6門田徑類運動課程和3門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（????） A．90種 B．30種 C．14種 D．11種 2．（2023下·河南·高二校聯(lián)考期中）某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（　　） A．4種 B．6種 C．7種 D．9種 3．（2024·廣東廣州·華南師大附中模擬預(yù)測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（????）種練習(xí)的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 4．（2024上·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物9本，英語類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有種． 5．（2024·山東日照·高二日照一中?？茧A段練習(xí)）某次足球比賽共12支球隊參加，分三個階段進(jìn)行（1）小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽（每兩隊主客場各賽一場決出勝者）；（3）決賽：兩個勝隊參加決賽一場，決出勝負(fù)．則全部賽程共需比賽場． 6．（2024上·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236），那么三位漸升數(shù)有個，其中比516大的三位漸升數(shù)有個．【考點2：分步乘法計數(shù)原理】【知識點：分步乘法計數(shù)原理】 (1)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法． (2) 能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點： ①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可． ②完成每一步有若干種方法． ③把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)． (3) 1．（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)?；I辦元旦晚會需要從5名男生和3名女生中各選1人作為志愿者，則不同選法的種數(shù)是（????） A．8 B．28 C．20 D．15 2．（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）學(xué)校組織研學(xué)活動，現(xiàn)有壽寧下黨鄉(xiāng)、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個年級段選擇，每個年段必項且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（????） A．4種 B．24種 C．64種 D．81種 3．（2023上·廣東深圳·高二校考期末）某班4個同學(xué)分別從3處風(fēng)景點中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則不同的選擇方案是（????） A．種 B．種 C．種 D．種 4．（2024·全國·一模）名同學(xué)從散打、跆拳道、擊劍和太極拳四門課程中任選一門學(xué)習(xí)，則僅有跆拳道未被選中的概率為（????） A． B． C． D． 5．（2023下·河南·高二校聯(lián)考期中）有且僅有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4科老師布置了作業(yè)，同一時刻3名學(xué)生都在做作業(yè)，則這3名學(xué)生做作業(yè)的可能情況有種． 6．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種． 7．（2023下·河南·高二校聯(lián)考期中）數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“客醉花間花醉客”，既可以順讀也可以逆讀．?dāng)?shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343，12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，33，…，99共9個，則三位數(shù)的回文數(shù)中是奇數(shù)的個數(shù)是． 8．（2024上·遼寧·高二期末）某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在身體檢查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人． (1)從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？ (2)從4種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？ (3)這些人中有2人去獻(xiàn)血，他們的血型不同的概率是多少？【考點3：組數(shù)問題】【知識點：組數(shù)問題】對于組數(shù)問題,應(yīng)掌握以下原則①明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類, 分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成, 如果正面分類較多, 可采用間接法求解.②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的首位. 1．（2023·江蘇·鎮(zhèn)江市實驗高級中學(xué)高二期中）用數(shù)字0，1，2，3，4組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)個數(shù)為（????） A．125種 B．100種 C．64種 D．60種 2．（2024·黑龍江·雞西實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選題）已知數(shù)字0，1，2，3，4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（????） A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有500個 B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個 C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個 D．組成百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)有28個 3．（2024·全國·高二課時練習(xí)）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù). 4．（2024·甘肅·玉門油田第一中學(xué)高二練習(xí)）用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有________ 個.（用數(shù)字回答） 5．（2023·廣東·翠園中學(xué)高二期中）從不大于9的自然數(shù)中抽3個不同的數(shù)可以組成______個能被5整除的三位數(shù)． 6．（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，能組成______個不同的兩位數(shù)，能組成______個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)． 7．（2024·全國·高二專題練習(xí)）對于一個四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個不相同，試求共有多少個這種四位數(shù)？ 8．（2024·全國·高二課時練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求： (1)這些數(shù)的數(shù)字和； (2)這些數(shù)的和． 9．（2024·全國·高二課時練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求： (1)這些數(shù)的數(shù)字和； (2)這些數(shù)的和．【考點4：涂色問題】【知識點：涂色問題】涂色問題常用方法:①根據(jù)分步計數(shù)原理,對各個區(qū)域分步涂色,這是處理區(qū)域涂色問題的基本方法;②根據(jù)共用了多少種顏色,分別計算出各種情形的種數(shù),再利用分類計數(shù)原理求出不同的涂色方法種數(shù);③根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類討論,從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手,再利用分類計數(shù)原理求出不同涂色方法種數(shù). 1．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）有7種不同的顏色給下圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，且相鄰的兩個格子顏色不能相同，若最多使用3種顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為（????） A．462 B．630 C．672 D．882 2．（2024下·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（????） A．120 B．72 C．48 D．24 3．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（????） A．種 B．種 C．種 D．種 4．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色?米白色?橄欖綠?薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有（????）種不同的涂色方法. A．78 B．66 C．56 D．48 5．（2024·安徽安慶·高二安慶一中?？迹┤鐖D所示，將四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（????） ?? A．120 B．96 C．72 D．48 6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（????） ?? A．3125 B．1000 C．1040 D．1020 7．（2024上·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）南陽素有“月季花城”的美譽，是“中國月季之鄉(xiāng)”和世界月季名城.某社區(qū)對一個街心公園進(jìn)行改造，在公園中央有一個正方形區(qū)域如圖示，它由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)對該區(qū)域種植月季，有5種不同的月季可供選擇，要求相鄰區(qū)域種植的月季不同.在所有的種植方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到四種月季的概率是 . 8．（2024·全國·模擬預(yù)測）中國古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體.現(xiàn)裝修工人準(zhǔn)備用四種不同形狀的風(fēng)鈴裝飾五脊殿的六個頂點，要求E，F(xiàn)處用同一種形狀的風(fēng)鈴，其它每條棱的兩個頂點掛不同形狀的風(fēng)鈴，則不同的裝飾方案共有種. 9．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？ 10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中?？计谀?）現(xiàn)要用紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫7種顏色對某市的如圖的四個區(qū)域進(jìn)行著色，有公共邊的兩個區(qū)域不涂同一種顏色，則共有幾種不同的涂色方法？（2）由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的不超過2024的正整數(shù)？【考點5：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】【知識點：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而可能是同時應(yīng)用兩個計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求解．分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步． [方法技巧] 使用兩個計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù)的基本思想對需用兩個計數(shù)原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個“既不重復(fù)也不遺漏”的類，再對每類中的計數(shù)問題分成若干個“完整的步驟”，求出每個步驟的方法數(shù)，按照分步乘法計數(shù)原理計算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)．　　 1．（2022·全國·高二期末）有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙，需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為 A．24 B．14 C．10 D．9 2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）4位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，然后，每人隨意取走一頂帽子，則4人拿的都不是自己的帽子方案總數(shù)為____________.（用數(shù)字作答） 3．（2021·天津·靜海一中高二期末）將編號為1，2，3，4，5，6，7的小球放入編號為1，2，3，4，5，6，7的七個盒子中，每盒放一球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為______________.名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點運用加法運算運用乘法運算分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性．分類計數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解分步完成一件事，并且只有各個步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分步計數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解