專(zhuān)題6.2 排列問(wèn)題  TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"   HYPERLINK \l "_Toc119615841" 【考點(diǎn)1：排列與排列數(shù)公式】  PAGEREF _Toc119615841 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc119615842" 【考點(diǎn)2：相鄰的排列問(wèn)題】  PAGEREF _Toc119615842 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc119615843" 【考點(diǎn)3：不相鄰的排列問(wèn)題】  PAGEREF _Toc119615843 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc119615844" 【考點(diǎn)4：元素（位置）有限制的排列問(wèn)題】  PAGEREF _Toc119615844 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc119615845" 【考點(diǎn)5：定序的排列問(wèn)題】  PAGEREF _Toc119615845 \h 13  【考點(diǎn)1：排列與排列數(shù)公式】 【知識(shí)點(diǎn)：排列與排列數(shù)公式】 1．排列與排列數(shù) 1．（2024下·高二課前預(yù)習(xí)）判斷正誤，正確的寫(xiě)“正確”，錯(cuò)誤的寫(xiě)“錯(cuò)誤”． （1）由于排列數(shù)的階乘式是一個(gè)分式，所以其化簡(jiǎn)的結(jié)果不一定是整數(shù).( ) （2）在排列的問(wèn)題中，總體中的元素可以有重復(fù).( ) （3）用1，2，3這三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)123與321是不相同的排列.( ) （4）若，則.( ) 【答案】 錯(cuò)誤 錯(cuò)誤 正確 錯(cuò)誤 【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義，性質(zhì)和意義一一判斷即可. 【詳解】(1) ×.排列數(shù)是從若干個(gè)元素中取出若干個(gè)元素的排列的個(gè)數(shù),所以排列數(shù)一定是整數(shù). (2)×.在排列問(wèn)題中總體內(nèi)元素不能重復(fù). (3)√.根據(jù)排列的定義可以判斷123與321是不同的排列. (4)×.在中m表示連乘因數(shù)的個(gè)數(shù),所以. 2．（2024·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義可得出答案． 【詳解】 ， 故選：B. 3．（多選）（2024·陜西渭南·高二渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)校考階段練習(xí)）排列數(shù)恒等于（　?。?A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根據(jù)題意，由排列數(shù)的計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果. 【詳解】， ，故A錯(cuò)誤； ，故B正確； ，故C錯(cuò)誤； ，故D正確； 故選：BD 4．（多選）（2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列等式正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解. 【詳解】，故A正確； 由上述可知，因此，故B錯(cuò)誤； ，故C正確； 由上述可知，故D錯(cuò)誤. 故選:AC. 5．（2024下·高二課前預(yù)習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：. 【答案】（1）6（2）1 【分析】（1）（2）都可以由排列數(shù)公式直接代入即可求解. 【詳解】①. ②原式＝. 6．（2024下·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）12名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)比賽，比賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，共有多少種不同的獲獎(jiǎng)情況？ 【答案】1320(種) 【分析】根據(jù)排列數(shù)公式的定義，即可列式求解. 【詳解】從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次，共有＝12×11×10＝1320(種)不同的獲獎(jiǎng)情況. 【考點(diǎn)2：相鄰的排列問(wèn)題】 【知識(shí)點(diǎn)：相鄰的排列問(wèn)題】 捆綁法：把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列. 1．（2024·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必須相鄰，那么排法種數(shù)為（　?。?A．24 B．120 C．48 D．60 【答案】C 【分析】將捆綁在一起，計(jì)算得到答案. 【詳解】將捆綁在一起，共有種排法. 故選：C. 2．（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（????） A．48 B．32 C．24 D．16 【答案】C 【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解. 【詳解】1與4相鄰，共有種排法， 兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)， 共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法， 則總共有種密碼． 故選：C 3．（2023下·河南·高二校聯(lián)考期中）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車(chē)系統(tǒng)，解決了停車(chē)滿、找車(chē)難的問(wèn)題．現(xiàn)有5輛車(chē)停放在8個(gè)并排的泊車(chē)位上，要求停放的車(chē)輛相鄰，箭頭表示車(chē)頭朝向，則不同的泊車(chē)方案有（????）種． A．120 B．240 C．480 D．960 【答案】C 【分析】從8個(gè)車(chē)位里選擇5個(gè)相鄰的車(chē)位，再?gòu)闹羞x一種方式將5輛車(chē)相鄰?fù)７牛鶕?jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案. 【詳解】從8個(gè)車(chē)位里選擇5個(gè)相鄰的車(chē)位，共有4種方式， 即選， 選一種方式將5輛車(chē)相鄰?fù)７?，有種方式， 則不同的泊車(chē)方案有種， 故選：C. 4．（2024上·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（????） A．12種 B．24種 C．36種 D．48種 【答案】B 【分析】分別考慮甲站在排頭或排尾再結(jié)合捆綁法，求解即可. 【詳解】若甲站在排頭，則丙和丁相鄰，則共有種方法， 若甲站在排尾，則丙和丁相鄰，則共有種方法， 則共有：種方法. 故選：B. 5．（2024上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（???） A．72種 B．144種 C．216種 D．256種 【答案】B 【分析】要使元素不相鄰，則用插空法，要使元素相鄰，則運(yùn)用捆綁法，分步完成即得. 【詳解】先將丙與丁看成一“個(gè)”人，與除甲和乙之外的另外兩個(gè)人留下4個(gè)空， 在其中選2個(gè)給甲和乙，有種方法； 再考慮丙丁這“個(gè)”人和另兩個(gè)人進(jìn)行全排，有種排法； 最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種. 故選：B. 6．（2024上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期末）某學(xué)校高二（1）班上午安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、物理門(mén)課，要求第一節(jié)不安排體育，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有（　　） A．種 B．種 C．種 D．種 【答案】B 【分析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的排法種數(shù)，接下來(lái)考慮語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數(shù)，結(jié)合間接法可得結(jié)果. 【詳解】先考慮第一節(jié)安排體育課，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素， 將這個(gè)大元素與英語(yǔ)、物理課進(jìn)行排序，共有種排法； 接下來(lái)只考慮語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素， 將這個(gè)大元素與其余門(mén)課進(jìn)行排序，共有種排法. 由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種. 故選：B. 7．（2024下·湖南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）甲、乙等7名同學(xué)隨機(jī)站成一排，則甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有 種． 【答案】1200 【分析】根據(jù)給定條件，利用相鄰問(wèn)題并結(jié)合排除法列式計(jì)算即可. 【詳解】把甲乙捆綁在一起視為一個(gè)對(duì)象，與其他5名同學(xué)作全排列，并考慮甲乙間的排列，有種， 其中甲站兩端之一的有種， 所以甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有（種）. 故答案為：1200 8．（2024·全國(guó)·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）小陳同學(xué)準(zhǔn)備將新買(mǎi)的《大學(xué)》《左傳》《孟子》《論語(yǔ)》《詩(shī)經(jīng)》《中庸》六本書(shū)立起來(lái)放在書(shū)架上，若要求《大學(xué)》《中庸》兩本書(shū)相鄰，則不同的擺放種數(shù)為 ．（用數(shù)字作答） 【答案】240 【分析】利用捆綁法進(jìn)行求解. 【詳解】先將《大學(xué)》《中庸》兩書(shū)捆綁看作一個(gè)整體，則可以看作共5個(gè)位置的全排列， 排法種數(shù)為；最后排好《大學(xué)》《中庸》，兩書(shū)的排法種數(shù)為， 故不同的擺放方法有種． 故答案為：240 【考點(diǎn)3：不相鄰的排列問(wèn)題】 【知識(shí)點(diǎn)：不相鄰的排列問(wèn)題】 插空法：對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中. 1．（2024上·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）某班聯(lián)歡會(huì)原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（???） A．6 B．12 C．20 D．72 【答案】B 【分析】利用插空法結(jié)合排列組合計(jì)數(shù)方法求解. 【詳解】這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中且不相鄰，則在原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個(gè)空位中， 選2個(gè)位置安排2個(gè)新節(jié)目，且兩個(gè)新節(jié)目順序可變，此時(shí)有種插法. 故選：B 2．（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（????） A．48 B．32 C．24 D．16 【答案】C 【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解. 【詳解】1與4相鄰，共有種排法， 兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)， 共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法， 則總共有種密碼． 故選：C 3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）有6個(gè)座位連成一排，安排3個(gè)人就坐，恰有兩個(gè)空位相鄰的坐法為（　?。?A．48種 B．72種 C．96種 D．108種 【答案】B 【分析】利用插空法計(jì)算即可. 【詳解】根據(jù)題意，有6個(gè)座位連成一排，安排3個(gè)人就座，有3個(gè)空座位，把這三個(gè)空座位分成兩組，2個(gè)相鄰的，1個(gè)單獨(dú)放置的. 將三人連同座位全排列，共有種情況， 再把兩組不同的空座位插入到三個(gè)人產(chǎn)生的四個(gè)空位里，有種， 所以不同坐法有種. 故選：B. 4．（2024下·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）3名男生和2名女生站成一排．若男生不相鄰，則不同排法種數(shù)為（????） A．6 B．12 C．24 D．72 【答案】B 【分析】不相鄰問(wèn)題借助插空法計(jì)算即可得. 【詳解】先排2名女生，有種排法，借助插空法，共有3個(gè)空位，故3名男生有種排法， 共有種排法. 故選：B. 5．（2024上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（???） A．72種 B．144種 C．216種 D．256種 【答案】B 【分析】要使元素不相鄰，則用插空法，要使元素相鄰，則運(yùn)用捆綁法，分步完成即得. 【詳解】先將丙與丁看成一“個(gè)”人，與除甲和乙之外的另外兩個(gè)人留下4個(gè)空， 在其中選2個(gè)給甲和乙，有種方法； 再考慮丙丁這“個(gè)”人和另兩個(gè)人進(jìn)行全排，有種排法； 最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種. 故選：B. 6．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某班級(jí)舉辦元旦晚會(huì)，一共有個(gè)節(jié)目，其中有個(gè)小品節(jié)目．為了節(jié)目效果，班級(jí)規(guī)定中間的個(gè)節(jié)目不能安排小品，且個(gè)小品不能相鄰演出，則不同排法的種數(shù)是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先確定個(gè)小品的安排方式，再安排其余個(gè)節(jié)目，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果. 【詳解】用表示不安排中間且不相鄰的位置，則有，，，，，，，，，，，共種情況， 個(gè)小品有種安排方式；再安排其余個(gè)節(jié)目，共有種安排方式； 不同排法的種數(shù)有種. 故選：C. 7．（2024上·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）某校思想品德課教師一天有3個(gè)不同班的課，每班一節(jié)，如果該校一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)，該教師的3節(jié)課任意兩節(jié)都不能連著上（第四節(jié)和第五節(jié)不算連著上），則該教師一天的課所有不同的排法有 種． 【答案】78 【分析】利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列知識(shí)可直接求得答案. 【詳解】上午2節(jié)不連堂，下午一節(jié)，共有種； 上午1節(jié)，下午2節(jié)不連堂，共有， 故不同的排課方案共有種． 故答案為：78. 8．（2024上·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列約束條件下，有多少種站法？ (1)女生不站在兩端； (2)女生相鄰； (3)女生不相鄰. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排兩端再排中間即可得解. （2）用捆綁法即可得解. （3）使用插空法即可得解. 【詳解】（1）先考慮兩端站的人，再考慮其他位置，滿足條件的站法有（種）. （2）將2名女生捆綁，當(dāng)作一個(gè)對(duì)象，與其他對(duì)象一起全排列，可得滿足條件的站法有（種）. （3）分兩步：第一步，先排男生，有種站法， 第二步，將2名女生插入男生所形成的6個(gè)空（包括兩端）中，有種站法， 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的站法有（種）. 【考點(diǎn)4：元素（位置）有限制的排列問(wèn)題】 【知識(shí)點(diǎn)：元素（位置）有限制的排列問(wèn)題】 優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置. 1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某電視臺(tái)曾在某時(shí)間段連續(xù)播放5個(gè)不同的商業(yè)廣告，現(xiàn)在要在該時(shí)間段只保留其中的2個(gè)商業(yè)廣告，新增播一個(gè)商業(yè)廣告與兩個(gè)不同的公益宣傳廣告，且要求兩個(gè)公益宣傳廣告既不能連續(xù)播放也不能在首尾播放，則不同的播放順序共有（　?。?A．60種 B．120種 C．144種 D．300種 【答案】B 【分析】由題意知，為需要考慮特殊位置、特殊元素的排列問(wèn)題，分步解決問(wèn)題. 【詳解】第一步，要在該時(shí)間段只保留其中的2個(gè)商業(yè)廣告，即先從5個(gè)中選擇2個(gè)，有C52=10種，第二步，增播一個(gè)商業(yè)廣告，共3個(gè)廣告，排好有A33=6種， 第三步，在2個(gè)空中，插入兩個(gè)不同的公益宣傳廣告，有A22=2種方法， 根據(jù)乘法原理，共有10×6×2＝120種方法． 故選：B． 2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過(guò)5道程序，其中A,B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（????） A．18種 B．36種 C．72種 D．108種 【答案】B 【分析】先排A,B兩道程序有A32種放法，再排剩余的3道程序有A33種放法，再由分步計(jì)數(shù)原理即可得出答案. 【詳解】先排A,B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩個(gè)放A,B，共有A32種放法；再排剩余的3道程序，共有A33種放法； 則共有A32?A33=36種放法. 故選：B. 3．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是（????） A．全體站成一排，女生必須站在一起有144種 B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種 C．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種 D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種． 【答案】BCD 【分析】用捆綁法計(jì)算A，利用插空法計(jì)算B，先從7個(gè)位置選出3個(gè)位置，再調(diào)整座位，即可判斷C，分甲在排尾和不在排尾兩種情況討論，即可判斷D. 【詳解】解：對(duì)于A：將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有A44種情況， 再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有A44種情況， 故共有A44?A44=576種方法，故A錯(cuò)誤． 對(duì)于B：先排女生，將4名女生全排列，有A44種方法， 再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有A53種方法， 故共有A44?A53=1440種方法，故B正確． 對(duì)于C：任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C73×2×1=70種，故C正確； 對(duì)于D：若甲站在排尾則有A66種排法，若甲不站在排尾則有A51A51A55種排法， 故有A66+A51A51A55=3720種排法，故D正確； 故選：BCD 4．（2021·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有（　?。?A．若A、B不相鄰共有72種方法 B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法． C．若A在B右邊有60種排法 D．若A、B兩人站在一起有48種方法 【答案】ACD 【詳解】利用插空法，可判斷A的正誤；利用間接法，可判斷B的正誤；根據(jù)定序問(wèn)題的求法，可判斷C的正誤；利用捆綁法，可判斷D的正誤，即可得答案． 【解答】解：對(duì)于A：若A、B不相鄰共有A33A42=72種方法，故A正確； 對(duì)于B：若A不站在最左邊，B不站最右邊，利用間接法有A55-2A44+A33=78種方法，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C：若A在B右邊有A55A22=60種方法，故C正確； 對(duì)于D：若A、B兩人站在一起A22A44=48，故D正確． 故選：ACD． 5．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）甲，乙，丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排，則甲不站兩端且不與乙相鄰的站法有__________種． 【答案】36 【分析】分成3步，首先排甲，然后排和甲不相鄰的乙，最后剩下3人全排列即可. 【詳解】甲不站在兩端，顯然為3種情況，對(duì)于這里的3種情況，每種情況甲乙不相鄰的都有2種情況，然后剩下3人全排列A33=6種情況，可知不同的站法共有2×3×A33=36種. 故答案為：36 6．（2007·湖北·高考真題（文））安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的總數(shù)是_____________.（用數(shù)字作答） 【答案】78 【分析】先排有約束條件的元素，因?yàn)橐竽趁枋植坏谝粋€(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，所以需要針對(duì)于不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手第一個(gè)出場(chǎng)，不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果. 【詳解】分兩種情況： 當(dāng)不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手第一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，有A44=24種排法； 當(dāng)不最后一個(gè)出場(chǎng)的歌手不第一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，有A31A31A33=54種排法； 則共有24+54=78種不同的排放. 故答案為：78. 7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任務(wù)，每人負(fù)責(zé)一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有___種． 【答案】1128 【分析】根據(jù)題意，按甲乙丙的安排分5種情況討論：①甲在第二天值班，則丙可以安排在第一天和第三天，乙沒(méi)有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙沒(méi)有限制，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4種安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2種安排方法，乙有4種安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4種安排方法，求出每種情況的安排方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案． 【詳解】根據(jù)題意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，分5種情況討論： ①甲在第二天值班，則丙可以安排在第一天和第三天，有2種情況，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120種安排方式， 此時(shí)有2×120＝240種安排方式， ②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120種安排方式， 此時(shí)有1×120＝120種安排方式， ③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24種安排方式， 此時(shí)有4×24＝96種安排方式， ④甲在第四五六天值班，丙有2種安排方法，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24種安排方式， 此時(shí)有3×2×4×24＝576種安排方式， ⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4種安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24種安排方式， 此時(shí)有4×24＝96種安排方式； 故有240+120+96+576+96＝1128種安排方式； 故答案為：1128 【考點(diǎn)5：定序的排列問(wèn)題】 【知識(shí)點(diǎn)：定序的排列問(wèn)題】 定序問(wèn)題除法處理：對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 1．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）某學(xué)校組織6×100接力跑比賽，某班級(jí)決定派出A，B，C，D，E，F(xiàn)等6位同學(xué)參加比賽．在安排這6人的比賽順序時(shí)要保證A要在B之前，D和F的順序不能相鄰，則符合要求的安排共有（????） A．240種 B．180種 C．120種 D．150種 【答案】A 【分析】先考慮D和F的順序不能相鄰，用插空法，然后考慮A要安排在B之前與A要安排在B之后的數(shù)量一樣多，從而可得結(jié)論． 【詳解】解：6位同學(xué)參加接力賽跑，先考慮D和F的順序不能相鄰，其他四人的順序數(shù)為A44 種，D和F進(jìn)行插空共有A44A52種，在所有符合條件的排序中，A要安排在B之前與A要安排在B之后的數(shù)量一樣多，所以，符合要求的順序有12A44A52＝240種． 故選：A． 2．（2022·黑龍江·尚志市尚志中學(xué)高二期中）習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)上發(fā)表重要講話，稱(chēng)教育是國(guó)之大計(jì)，黨之大計(jì)．哈九中落實(shí)講話內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí)．在研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A、B、C、D、E、F共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A、C、D按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（????） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【分析】?jī)?yōu)先排B元素，然后根據(jù)A、C、D順序確定用除法可得. 【詳解】先排B元素，有5種排法，然后排剩余5個(gè)元素共A55=120，由于A、C、D順序確定，所以不同的排法共有5×120A33=100. 故選：A 3．（2020·江西九江·高二期末（理））3名學(xué)生和甲、乙、丙3位老師站成一排合影，要求甲、乙、丙從左到右按順序站立（可以相鄰也可以不相鄰），一共有______種站法．（用數(shù)字作答） 【答案】120 【分析】根據(jù)題意，設(shè)三名學(xué)生分別為A，B，C，先將三名老師站成一排，依次分析3名學(xué)生的排法，由分步計(jì)數(shù)原理可得答案 【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)三名學(xué)生分別為A，B，C，， 三名老師站成一排，有4個(gè)空位，在其中選出1個(gè)，安排A，有4種情況， 排好后，有5個(gè)空位，在其中選出1個(gè)，安排B，有5種情況， 排好后，有6個(gè)空位，在其中選出1個(gè)，安排C，有6種情況， 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有4×5×6=120種站法， 故答案為：120 4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）2名女生、4名男生排成一排，求： （1）2名女生相鄰的不同排法共有多少種? （2）女生甲必須排在女生乙的左邊(不一定相鄰)的不同排法共有多少種? 【答案】（1）240；（2）360 【分析】（1）將兩名女生看成一個(gè)整體，捆綁法求解； （2）六個(gè)人全排列，女生甲排在女生乙的左邊和女生甲排在女生乙的右邊的概率相等，寫(xiě)出六個(gè)人的所有的排列數(shù)，除以2得到結(jié)果． 【詳解】（1）兩名女生有2種排法 將兩名女生看成一個(gè)整體，與其他四名男生全排列有A55=120種 不同排法共有120×2=240種 （2）女生甲排在女生乙的左邊和女生甲排在女生乙的右邊的概率相等 六個(gè)人全排列共有A66=720種排法 女生甲必須排在女生乙的左邊(不一定相鄰)的不同排法共有720÷2=360種 【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 5．（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）現(xiàn)有6名學(xué)生，按下列要求回答問(wèn)題(列出算式，并計(jì)算出結(jié)果)： （1）6人站成一排，甲站在乙的前面(甲?乙可以不相鄰)的不同站法種數(shù)； （2）6人站成一排，甲?乙相鄰，且丙與丁不相鄰的不同站法種數(shù)； 【答案】（1）12A66=360；；（2）A33?A22?A42=144. 【分析】（1）根據(jù)排列定序問(wèn)題可得； （2）由排列相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插空法即可解得答案. 【詳解】（1）6個(gè)人全排列共有A66種不同排法，由于甲站在乙的前面與乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面（甲、乙可以不相鄰）的不同站法種數(shù)為12A66=360； （2）甲乙捆綁到一起與剩下2人共3人共有A33A22種不同排法，由于丙與丁不相鄰，丙丁只需從甲乙這個(gè)整體與剩余2人產(chǎn)生的4個(gè)空中任選2個(gè)進(jìn)行排放，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共A33?A22?A42=144種不同排法. 6．（2022·湖南·衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）江夏一中將要舉行校園歌手大賽，現(xiàn)有2男3女參加，需要安排他們的出場(chǎng)順序．（結(jié)果用數(shù)字作答） (1)如果3個(gè)女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？ (2)如果女生甲在女生乙的前面（可以不相鄰），那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？ 【答案】(1)12；(2)60 【分析】（1）先排2位男選手，再將3位女選手排到2為男選手形成的三個(gè)空上即可； （2）先排好2男3女參加活動(dòng)的所有可能出場(chǎng)順序，再取一半即可. (1)解：根據(jù)題意，先排2位男選手，有A22=2種， 再將3位女選手排到2為男選手形成的三個(gè)空上，有A33=6種， 所以，如果3個(gè)女生都不相鄰，有12種不同的出場(chǎng)順序. (2)解：先排好2男3女參加活動(dòng)的所有可能出場(chǎng)順序，有A55=120種， 其中女生甲在女生乙的前面的占了一半， 所以，女生甲在女生乙的前面，有60種不同的出場(chǎng)順序. 排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作Aeq \o\al(m,n)公式Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,?n－m?！)性質(zhì)Aeq \o\al(n,n)＝n！；0！＝1

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