高中數(shù)學(xué)（人教A版2019）選擇性必修第三冊六章計數(shù)原理章末檢測(能力提升)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第六章計數(shù)原理章末檢測(能力提升)（答案）
一、單項選擇題
1、從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有(　B　)
A．32個 B．34個
C．36個 D．38個
解：將和等于11的數(shù)放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個，有C＝2種，共有2×2×2×2×2＝32個子集．
2、展開式中的常數(shù)項為(　C　)
A．90　　　　　　　　　　 B．20
C．540 D．600
3、6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(　C　)
A.120種 B.90種 C.60種 D.30種
解:先從6名同學(xué)中選1名安排到甲場館，有C種選法；
再從剩余的5名同學(xué)中選2名安排到乙場館，有C種選法；
最后將剩下的3名同學(xué)安排到丙場館，有C種選法，
由分步乘法計數(shù)原理知，共有C·C·C＝60(種)不同的安排方法.
4、C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(　D　)
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
解：C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝20C＋21C＋22C＋…＋2n－1C＝(21C＋22C＋23C＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.
5、六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　B　)
A．192種　　　　　　　　 B．216種
C．240種 D．288種
解：第一類：甲在最左端，有A＝120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96(種)排法．所以共有120＋96＝216(種)排法．
6、甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是(　C　)
A.90 B.120 C.210 D.216
解:因為甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，且每級臺階最多站2人，所以可分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一級臺階上，共有CA＝120(種)站法；第二類，有2人站在同一級臺階上，剩余1人獨自站在一級臺階上，共有CCA＝90(種)站法.綜上，每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法種數(shù)是120＋90＝210.故選C.
7、已知m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝(　B　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解:由題意可知，a＝C，b＝C.
∵13a＝7b，
∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
8、某工程隊有6輛不同的工程車，按下列方式分給工地進行作業(yè)，每個工地至少分1輛工程車，則下列結(jié)論正確的是(　D　)
A．分給甲、乙、丙三地每地各2輛，有120種分配方式
B．分給甲、乙兩地每地各2輛，分給丙、丁兩地每地各1輛，有360種分配方式
C．分給甲、乙、丙三地，其中一地分4輛，另兩地各分1輛，有60種分配方式
D．分給甲、乙、丙、丁四地，其中兩地各分2輛，另兩地各分1輛，有1 080種分配方式
解：選D.對A，先從6輛工程車中分給甲地2輛，有C種方法，再從剩余的4輛工程車中分給乙地2輛，有C種方法，最后的2輛分給丙地，有C種方法，所以不同的分配方式有CCC＝90(種)，故A錯誤；對B，6輛工程車先分給甲、乙兩地每地各2輛，有CC種方法，剩余2輛分給丙、丁兩地每地各1輛，有A種方法，所以不同的分配方式有CCA＝180(種)，故B錯誤；對C，先把6輛工程車分成3組：4輛、1輛、1輛，有C種方法，再分給甲、乙、丙三地，所以不同的分配方式有CA＝90(種)，故C錯誤；對D，先把6輛工程車分成4組：2輛、2輛、1輛、1輛，有·種方法，再分給甲、乙、丙、丁四地，所以不同的分配方式有··A＝1 080(種)，故D正確．
二、多項選擇題
9、對于二項式(n∈N*)，以下判斷正確的有(　AD　)
A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項
B.對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項
C.對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項
D.存在n∈N*，展開式中有x的一次項
解：該二項展開式的通項為Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，當(dāng)n＝4k時，展開式中存在常數(shù)項，A正確，B錯誤；當(dāng)n＝4k－1時，展開式中存在x的一次項，D正確，C錯誤.
10、若3男3女排成一排，則下列說法錯誤的是(　BC　)
A.共計有720種不同的排法
B.男生甲排在兩端的共有120種排法
C.男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為120種
D.男女生相間排法總數(shù)為72種
11、若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，則(　ACD　)
A.a0＝1
B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C.a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
D.＋＋＋…＋＝－1
解:由題意，當(dāng)x＝0時，a0＝12 021＝1；
當(dāng)x＝1時，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，
當(dāng)x＝－1時，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，
a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝；
＋＋…＋＝a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
當(dāng)x＝時，0＝a0＋a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
所以a1×＋a2×＋…＋a2 021×＝－a0＝－1.
12、現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結(jié)論正確的是(　BCD　)
A.若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法
B.若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有18種
C.若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有144種
D.若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種
解：　若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(種)放法，故A錯誤；
若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒，則一個盒子放3個小球，另一個盒子放1個小球或兩個盒子均放2個小球，共有C(A＋1)＝18(種)放法，故B正確；
若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒，則兩個盒子中各放1個小球，另一個盒子中放2個小球，共有C·＝144(種)放法，故C正確；
若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同，若(2，1，4，3)代表編號為1，2，3，4的盒子放入的小球編號分別為2，1，4，3，列出所有符合要求的情況：(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共9種放法，故D正確.故選BCD.
三、填空題
13、在(1－)7＋的展開式中，若x2的系數(shù)為19，則a＝___2_____.
解:　(1－)7＋的展開式中含x2的項為C(－)6＋C()5＝Cx2＋Cx2a，則aC＋C＝19，解得a＝2.
14、如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有_____180_______種不同的著色方法．
解：第一步：對Ⅰ著色，不同的選擇有5種，
第二步：對Ⅱ著色，不同的選擇有4種，
第三步：對Ⅲ著色，不同的選擇有3種，
第四步：對Ⅳ著色，因為Ⅳ與Ⅱ，Ⅲ相接，故著色與Ⅱ，Ⅲ都不能同色，不同的選擇有3種．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的著色方法有5×4×3×3＝180(種)．
15、的展開式中常數(shù)項是____－1 683____.
解：　表示五個相乘，則展開式中的常數(shù)項由三種情況產(chǎn)生，第一種是從五個中分別抽取2x，2x，，，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·22·(－3)＝－360；第二種情況是從五個中都抽?。?，則此時的常數(shù)項為(－3)5＝－243；第三種情況是從五個中分別抽取2x，，－3，－3，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·21·(－3)3＝－1 080，則展開式中常數(shù)項為－360－243－1 080＝－1 683.
16、某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有___114_____種不同的安排方法.(用數(shù)字作答)
解：5個人住3個房間，每個房間至少住1人，則有(3，1，1)和(2，2，1)兩種，當(dāng)為(3，1，1)時，有C·A＝60(種)，A，B住同一房間有C·A＝18(種)，故有60－18＝42(種)，當(dāng)為(2，2，1)時，有·A＝90(種)，A，B住同一房間有C·A＝18(種)，故有90－18＝72(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有42＋72＝114(種).
四、解答題
17、已知集合，表示平面上的點，問：
（1）P可表示平面上多少個第二象限的點？
（2）P可表示多少個不在直線上的點？
解：（1）因為P表示平面上第二象限的點，故可分兩步：
第一步，確定a，a必須小于0，則有3種不同的情況；
第二步，確定b，b必須大于0，則有2種不同的情況；
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，第二象限的點共有（個）．
（2）因為P表示不在直線上的點，故可分兩步：
第一步，確定a，有6種不同的情況；
第二步，確定b，有5種不同的情況．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不在直線上的點共有（個）．
18、已知的展開式中的系數(shù)是-35，
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）令時，，①
令時，.
∴.
（2）令時，.②
①-②得.
19、已知有6本不同的書.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
（3）分給甲?乙?丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？
解：（1）6本書平均分成3堆，不同的分堆方法的種數(shù)為.
（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，不同的分堆方法的種數(shù)為
（3）在（2）的分堆中，甲?乙?丙三人任取一堆，不同的分配方法的種數(shù)為.

20、有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個小球和標(biāo)號為1，2，3，4的4個盒.
（1）從6個小球中選出4個放入4個盒中，每盒只放1個小球.
①求奇數(shù)號盒只放奇數(shù)號小球的不同放法種數(shù)；
②求奇數(shù)號小球必須放在奇數(shù)號盒中的不同放法種數(shù).
（2）若不許空盒且將6個小球都放入4個盒中，求所有不同的放法種數(shù).
解：（1）①因為奇數(shù)號盒只放奇數(shù)號小球，每盒只放一個小球，所以先從3個奇數(shù)號小球中任取2個放入奇數(shù)號盒中，有種放法；再將剩余的4個小球中的2個放入余下的2個盒中，有種放法.從而不同的放法種數(shù)為.
②因為奇數(shù)號小球必須放在奇數(shù)號盒中，每盒只放一個小球，所以分兩類討論：
第一類，取1個奇數(shù)號小球和3個偶數(shù)號小球放入盒中，共有種放法；
第二類，取2個奇數(shù)號小球和2個偶數(shù)號小球放入盒中，共有種放法.
從而不同的放法種數(shù)為.
（2）由于不許空盒且將6個小球都放入盒中，所以考慮對6個小球先進行分組再放入盒中，分兩類：
第一類，將6個小球分成1，1，2，2四組的不同分法種數(shù)為，再放入4個盒中，有種放法；
第二類，將6個小球分成1，1，1，3四組的不同分法種數(shù)為，再放入4個盒中，有種放法.
從而所有不同的放法種數(shù)為.

21、在①只有第八項的二項式系數(shù)最大；②奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47；③各項系數(shù)之和為414；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由.
設(shè)二項式，若其展開式中，________，是否存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.
解　若選填條件①，即只有第八項的二項式系數(shù)最大，則n＝14；
若選填條件③，即各項系數(shù)之和為414，則4n＝414，即n＝14.
二項式展開式的通項：
Tk＝C·()15－k·＝3k－1·C·x.
由21－7k＝0，得k＝3.
即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是展開式中的常數(shù)項；
若選填條件②，即奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47，則2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二項式展開式的通項：
Tk＝C·()16－k·
＝3k－1·C·x.
由22－7k＝0，得k＝?Z，即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項.
22、已知10件不同的產(chǎn)品中有4件次品，現(xiàn)對它們一一測度，直至找到所有4件次品為止．
（1）若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
（2）若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？
解：（1）若恰在第2次測試時，才測到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐個抽取測試，
第2次測到第一件次品有4種方法；
第8次測到最后一件次品有3種方法；
第3至第7次抽取測到最后兩件次品共有種方法；剩余4次抽到的是正品，共有＝86400種抽法．
（2）檢測4次可測出4件次品，不同的測試方法有種，
檢測5次可測出4件次品，不同的測試方法有種；
檢測6次測出4件次品或6件正品，則不同的測試方法共有種．
由分類計數(shù)原理，知滿足條件的不同測試方法的種數(shù)為＝8520種.