班級              姓名             學(xué)號             分?jǐn)?shù)           第六章  計數(shù)原理（B卷·能力提升練）（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若的展開式中常數(shù)項為，則正整數(shù)的值為（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】二項式展開式的通項為，所以且，顯然且為整數(shù)，即為的倍數(shù)，故排除B、C，又為的因數(shù)，所以或，當(dāng)時，此時，不符合題意；當(dāng)時，此時符合題意.故選：A2．（2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）展開式中含的系數(shù)是（    ）A．28 B． C．84 D．【答案】C【解析】展開式的通項為，.當(dāng)選取時，由已知可得，應(yīng)選取展開式中含的項，由，可得；當(dāng)選取時，由已知可得，應(yīng)選取展開式中含的項，由，可得；當(dāng)選取時，由已知可得，應(yīng)選取展開式中含的項，由，可得.所以，展開式中含的系數(shù)是.故選：C.3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）將4個6和2個8隨機(jī)排成一行，則2個8不相鄰的情況有（    ）A．480種 B．240種 C．15種 D．10種【答案】D【解析】將2個8插空放入不相鄰的5個空位（4個6之間有5個空位）中有方法，故2個8不相鄰的情況有種.故選：D4．（2023·北京·高二北京市十一學(xué)校?？计谀]有一個冬天不可逾越，沒有一個春天不會來臨．某街道疫情防控小組選派7名工作人員到A，B，C三個小區(qū)進(jìn)行調(diào)研活動，每個小區(qū)至少去1人，恰有兩個小區(qū)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式共有（    ）A．1176 B．2352 C．1722 D．1302【答案】A【解析】根據(jù)題意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三種情況分為三組，然后把三組成員分配到A，B，C三個小區(qū)；當(dāng)按照3，3，1的方法分配則有；當(dāng)按照2，2，3的方法分配則有；當(dāng)按照1，1，5的方法分配則有；把三組成員分配到A，B，C三個小區(qū)的方法為所以根據(jù)分步計數(shù)原理可得一共有：種不同的安排方式.故選：A5．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為，則展開式中含的項的系數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令可得展開式中所有項的系數(shù)之和為，故，又，即展開式的通項為，則展開式中含有的系數(shù)為．故選：C．6．（2023·高三課時練習(xí)）在（為正整數(shù)）的展開式中，的一次項的系數(shù)為（    ）.A． B． C． D．【答案】B【解析】從中取，其它取相乘，得一次項為，從中取，其它取相乘，得一次項為，，從中取，其它取相乘，得一次項為，所以在（為正整數(shù)）的展開式中，的一次項為，所以的一次項的系數(shù)為.故選：B7．（2023·全國·模擬預(yù)測）某校高三年級進(jìn)行校際模擬聯(lián)考，某班級考試科目為語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，生物，已知考試分為三天進(jìn)行，且數(shù)學(xué)與物理不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一科考試.則不同的考試安排方案共有（    ）A．720種 B．3168種 C．1296種 D．5040種【答案】D【解析】若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：.若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：，若三天考試科目數(shù)量為，則安排方法數(shù)為：，所以不同的考試安排方案共有種.故選：D8．（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，可得，則，二項式的展開式通項為，則且．當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，因此，．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（2023·山東東營·高二統(tǒng)考期末）某高一學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門課程中選三門作為選科科目，則下列說法正確的有（    ）A．若不選擇政治，選法總數(shù)為種B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為種【答案】AC【解析】對于A, 若不選擇政治，選法總數(shù)為種,正確；對于B，若物理和化學(xué)選一門，選法總數(shù)為，若物理和化學(xué)都選，則選法數(shù)有種，故物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為種，而，B錯誤；對于C, 若物理和歷史不能同時選，即六門課程中任意選3門有種選法，減去物理和歷史同時選的選法數(shù)，故選法總數(shù)為種，C正確；對于D,當(dāng)物理和化學(xué)中只選物理時，有種選法；當(dāng)物理和化學(xué)中只選化學(xué)時，有種選法；當(dāng)物理和化學(xué)中都選時，有種選法，故物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為種，而，D錯誤，故選：10．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）設(shè)，則（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于選項A，令得，所以選項A錯誤；分別令和得和，所以選項B和選項C正確；對于選項 D，，選項D正確；故：BCD．11．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考期末）在二項式展開式中，下列說法正確的是（　?。?/span>A．第三項的二項式系數(shù)為20 B．所有項的二項式系數(shù)之和為64C．有理項共有4項 D．常數(shù)項為第五項【答案】BCD【解析】二項式展開式通項公式為,對于:第三項的二項式系數(shù)為,故錯誤;對于:所有項的二項式系數(shù)之和為,故正確;對于:展開式中當(dāng)時,共有4項有理項,故正確;對于:當(dāng)展開式通項為常數(shù)項時, ,令,則,則常數(shù)項為第五項,故正確.故選: 12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i（，2，…，6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲n次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處，則（    ）A．若時，則共有3種不同走法 B．若時，則共有5種不同走法C．若時，則共有25種不同走法 D．若時，則共有27種不同走法【答案】BD【解析】由題意知正方形（邊長為2個單位）的周長是．當(dāng)時，骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，列舉出在點(diǎn)數(shù)中兩個數(shù)字能夠使得和為的有，，共種組合，拋擲骰子是有序的，所以共種結(jié)果，故A錯誤，B正確；若時，三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為，的有，，，，，，共有種組合，前種組合，，每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果，其中，，，，各有種結(jié)果，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2023·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）若展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則其展開式中常數(shù)項為__________.【答案】7【解析】由題意，所以展開式第項為，令，得，故常數(shù)項為.故答案為：7.14．（2023春·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從1，2，3，0這四個數(shù)中取三個組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)的和為___________．【答案】3864【解析】分三種情況：（1）在所有不含0的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為，十位上的所有數(shù)字之和為，百個位上的所有數(shù)字之和為，所以所有不含0的三位數(shù)的和為；（2）在含0且0在十位上的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為，個位上的所有數(shù)字之和為，所以含0且0在十位上的三位數(shù)的和為；（3）在含0且0在個位上的三位數(shù)中，百位上的所有數(shù)字之和為，十位上的所有數(shù)字之和為，所以含0且0在個位上的三位數(shù)的和為；那么可得符合條件的這些三位數(shù)之和為．故答案為：15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）上級將5名農(nóng)業(yè)技術(shù)員分派去3個村指導(dǎo)農(nóng)作物種植技術(shù)，要求每村至少去一人，一人只能去一個村，則不同的分派種數(shù)有______．（數(shù)字作答）【答案】【解析】把5人分成三組，有“3，1，1”和“2，2，1”兩種情況，所以不同的分派種數(shù)有.故答案為：.16．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谀┪覀冎溃?/span>，相當(dāng)于從兩個不同的角度考察組合數(shù)：①從個不同的元素中選出個元素并成一組的選法種數(shù)是；②對個元素中的某個元素，若必選，有種選法，若不選，有種選法，兩者結(jié)果相同，從而得到上述等式，試根據(jù)上述思想化簡下列式子：__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，從個不同元素中選出個元素并成一組的選法種數(shù)是，若對其中的某個元素分別選或不選，則個元素一個都沒有選，有種選法；有一個元素被選取，有種選法；有兩個元素被選取，有種選法；有三個元素被選取，有種選法；有個元素被選取，有種選法；所以，，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？计谀┮阎?/span>，且．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴，解得（舍）或，∴.（2）由第（1）問，，∴①，令①式中，則，∴，令①式中，則，即，∴.（3）令第（2）問①式中，則，∴②，由第（2）問，③，②，③兩式相加，得，∴.18．（12分）（2023·江西南昌·高二南昌市外國語學(xué)校?？计谀?/span>1）解不等式；（2）若，求正整數(shù)n；（3）從正方體的8個頂點(diǎn)中選取4個作為四面體的頂點(diǎn)，可得到多少個不同的四面體？【解析】（1）因為，得，且，所以或或或或或或，由排列數(shù)公式得，得，當(dāng)或或或或或時，不滿足；當(dāng)時，滿足.綜上所述：.所以不等式的解集為.（2）因為，所以，即，所以，即，因為且，所以且，當(dāng)時，，滿足方程；當(dāng)且時，，不滿足方程；當(dāng)，且時，，不滿足方程.所以有唯一解.所以的解為.（3）從8個頂點(diǎn)中任取4個有種方法，從中去掉6個表面和6個對角面，所以共有.19．（12分）（2023·北京·高二北京市十一學(xué)校校考期末）在下列三個條件中任選一個條件，補(bǔ)充在問題中的橫線上，并解答．條件①：展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22；條件②：展開式中所有項的二項式系數(shù)之和減去展開式中所有項的系數(shù)之和等于64；條件③：展開式中常數(shù)項為第三項．問題：已知二項式，若______，求：(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)展開式中所有的有理項；(3)展開式中所有項的系數(shù)之和．【解析】（1）選①，由，得（負(fù)值舍去）．選②，令，可得展開式中所有項的系數(shù)之和為0．由得．選③，設(shè)第項為常數(shù)項，，由，得．由得展開式的二項式系數(shù)最大為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為．（2）設(shè)第項為有理項，，因為，，，所以，則有理項為，，，．（3）在中，令，即，所以展開式中所有項的系數(shù)之和為.20．（12分）（2023·高二課時練習(xí)）有3名男生和4名女生，根據(jù)下列不同的要求，求不同的排列方法種數(shù)．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．【解析】（1）元素分析法．先安排甲，左、右、中三個位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法，由乘法原理得共有（種）排法；（2）位置分析法．先排最左邊，除去甲外有種排法，余下的6個位置全排有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法種，則符合條件的排法共有（種）；（3）捆綁法．將男生看成一個整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有（種）排法；（4）插空法．先排男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有（種）排法；（5）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（種）排法；（6）定序排列．7名學(xué)生排成一行，分兩步：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對甲、乙、丙進(jìn)行全排列．由乘法原理得，所以（種）；（7）與無任何限制的排列相同，即7個元素的全排列，有（種）排法；（8）從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間，有種排法，甲、乙互換位置，有種排法，甲、乙及中間3人看作一個整體和其余2人一起共3個元素排成一排，有種排法，所以共有（種）排法．21．（12分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）一場班級元旦晚會有2個唱歌節(jié)目和；2個相聲節(jié)目1和2.要求排出一個節(jié)目單，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目.列出所有可能的排列.（2）7個人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少不同的種排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）從4名男青年教師和5名女青年教師中選出4名教師參加新教材培訓(xùn)，要求至少有2名男教師和1名女教師參加，有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字表示）【解析】（1）歌唱節(jié)目記為，相聲節(jié)目記為1，2，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目的排列為：.（2）甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個元素與除甲乙丙丁戊外的兩個元素排列，然后排其內(nèi)部順序，再在3個元素形成的4個空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有（種）.（3）選2名男教師與2名女教師，共有(種)，選3名男教師與1名女教師，共有(種)，所以共有60+20=80（種）.22．（12分）（2023·高二課時練習(xí)）有n個人，每個人都以同樣的概率被分配到N個房間中的任意一間去，分別求下列事件的概率．(1)指定的n間房中各有一人；(2)恰有n間房，其中各有一人；(3)指定的某間房中恰有人．【解析】（1）由題意每個人都以同樣的概率被分配到N個房間中的任意一間去，有種方法，指定的n間房中各有一人，恰有種方法，∴指定的n間房中各有一人的概率為：（2）由題意及（1）得每個人都以同樣的概率被分配到N個房間中的任意一間去，有種方法，恰有n間房，共有種選法，其中各有一人，有種方法，∴恰有n間房，其中各有一人的概率為：（3）由題意及（1）（2）得每個人都以同樣的概率被分配到N個房間中的任意一間去，有種方法，指定的某間房中恰有人，則其他房間有人從總?cè)藬?shù)中抽取人，有種選法，剩下的人選擇剩下的房間有種方法，∴指定的某間房中恰有人的概率為 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