班上有25名男生，20名女生，要從中選擇1人擔(dān)任班長(zhǎng)， 一共有多少種不同的選法？
分析: 可以從25名男生中選擇一位擔(dān)任班長(zhǎng)，共有25種不同的選法；也可以從20名女生中選擇一位擔(dān)任班長(zhǎng)，共有20種不同的選法.所以共有25+20=45種不同的選法.
要完成一項(xiàng)工作，有兩種方法可以完成，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選擇一人來完成這項(xiàng)工作，有多少種不同的選法？
分析:會(huì)使用第一種方法的有5個(gè)人，所以可以有5種選法；會(huì)使用第二種方法的有4個(gè)人，可以有4種選法.所以，要完成該項(xiàng)工作，總共可以有5+4=9種不同的選法.
思考：上述兩個(gè)問題有什么共同特征？
回答：要完成上述兩件事情（選出班長(zhǎng)、完成一項(xiàng)工作），都有不同的方案（每種方案包含多種方法）可以獨(dú)立完成需求.
完成一件事，有n類辦法. 在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N= m1+m2+… + mn種不同的方法
每類中的任意一種方法都能獨(dú)立完成這件事情.
新學(xué)期開學(xué)，甲、乙、丙3位同學(xué)從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入?。梢赃x擇相同的宿舍），可以有多少種不同的入住方法？
分析: 甲同學(xué)可以從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住，有5種方法；乙同學(xué)也可以從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住，有5種方法；丙同學(xué)也可以從5個(gè)宿舍中挑選一個(gè)入住，有5種方法.共有5 x 5 x 5 = 125種不同的方法.
班上有25名男生，20名女生，要分別從男生和女生中各選擇1名擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，一共有多少種不同的選法？
分析: 從25名男生中選擇1名擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，有25種不同的選法；從20名女生中選擇1名擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，有20種不同的選法.故共有25 x 20 = 500種不同的選法.
回答：要完成上述兩件事情（選宿舍、選課代表），要將每一位學(xué)生都安排好宿舍或者要從男生和女生種都選擇一名數(shù)學(xué)課代表，那么這件事情才算完成.
完成一件事，有n個(gè)步驟. 在第1步中有m1種不同的方法，在第2步中有m2種不同的方法，…，在第n步中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N= m1 x m2 x… x mn種不同的方法.
　只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事情.
例4 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法？
解：從3幅不同的畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，要分兩步完成： 1、從3幅畫中選出1幅掛在左邊墻上，有3種選法； 2、從剩下的2幅畫中選出1幅掛在右邊墻上，有2種選法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3x2=6種不同的掛法.
例5 給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)字符要求用數(shù)字1～9，最多可以給多少個(gè)程序模塊命名？
分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符.
解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符共有7+6＝13種不同的選法.
即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.
　后兩個(gè)字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.
　根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是13×9×9＝1053，
例6 電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由８?jìng)€(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.（1）1個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？
分析：（1）由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可.
解：（1）用如右圖表示1個(gè)字節(jié).1個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是2x2x2x2x2x2x2x2=28=256
（2）由（1）知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)為 256 x 256=65536.
該值大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.
例7 計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成，如圖，這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。(1)這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？(2)為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？
分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成.因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.
解：(1)由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91條；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81條；
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91 x 81 = 7371條
(2)在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.
再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：3 x 2 = 6.如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常.
這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）
例8 通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編碼由兩部分組成：第一部分為由漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代碼，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào).其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O、I之外的24個(gè)英文字母組成；（2）最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？
解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.
（1）當(dāng)沒有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字.確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為：10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10000.
（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.
當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為24 x 10 x 10 x 10 x10 = 240000.
同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為240000 + 240000 + 240000 + 240000 + 240000 = 1200000.
（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。
當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為 24 x 24 x 10 x 10 x 10 =576000.
同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.則這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000x10=5760000張.
綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為
100000 + 1200000 + 5760000 = 7060000
1.用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A.243 B.252 C.261 D.279
2.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(　　) A.72種 B.48種 C.24種 D.12種
3.如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).
4.某班一天上午有4節(jié)課，每節(jié)都需要安排1名教師去上課，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6名教師中安排4人分別上一節(jié)課，第一節(jié)課只能從A，B兩人中安排一個(gè)，第四節(jié)課只能從A，C兩人中安排一人，則不同的安排方案共有___ _種.
5.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．
6.將編號(hào)1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3的盒子中,要求不允許有空盒子,且球與盒子的編號(hào)不能相同,則不同的放球方法有（ ） A． 6種 B． 9種 C． 12種 D． 18種
7.(2016全國(guó)Ⅱ卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　)
A.24 B.18 C.12 D.9
8.從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． 其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A．24 B．18 C．12 D．6
由于題目要求的是奇數(shù)，那么對(duì)此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．
6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

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6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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