題型一：直線與橢圓的位置關系
題型二：橢圓的弦
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：直線與雙曲線的位置關系
題型五：雙曲線的弦
題型六：雙曲線的綜合問題
題型七：直線與拋物線的位置關系
題型八：拋物線的弦
題型九：拋物線的綜合問題
【知識點梳理】
知識點一：直線與橢圓的位置關系
平面內點與橢圓的位置關系
橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點M(x，y)，
若點M(x，y)在橢圓上，則有；
若點M(x，y)在橢圓內，則有；
若點M(x，y)在橢圓外，則有.
直線與橢圓的位置關系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點)；
②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；
③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．
直線與橢圓的相交弦
設直線交橢圓于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
知識點三、直線與雙曲線的位置關系
直線與雙曲線的位置關系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．
直線與雙曲線的相交弦
設直線交雙曲線于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
雙曲線的中點弦問題
遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.
在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；
涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.
解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.
知識點四、直線與拋物線的位置關系
直線與拋物線的位置關系
將直線的方程與拋物線的方程y2=2px(p＞0)聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；
若
①Δ＞0 直線和拋物線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．
直線與拋物線的相交弦
設直線交拋物線于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
拋物線的焦點弦問題
已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
焦點弦長
②
③，其中|AF|叫做焦半徑，
④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。
【典例例題】
題型一：直線與橢圓的位置關系
例1．(2023·全國·高三對口高考)若直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為( )
A．B．C．D．
例2．(2023·全國·高三對口高考)若直線被圓所截的弦長不小于2，則l與下列曲線一定有公共點的是( )
A．B．
C．D．
例3．(2023·高二課時練習)已知直線y=kx-1與焦點在x軸上的橢圓C:總有公共點，則橢圓C的離心率取值范圍是( )
A．B．C．D．
例4．(2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為( )
A．相交B．相切C．相離D．不確定
例5．(2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學?？计谥?直線：與橢圓的位置關系是( )
A．相交B．相切C．相離D．相切或相交
題型二：橢圓的弦
例6．(2023·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？奸_學考試)過橢圓：的右焦點且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長為______
例7．(2023·內蒙古包頭·高二包頭市第六中學校考期末)已知橢圓的左焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點，則__________．
例8．(2023·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學?？茧A段練習)是過橢圓右焦點的弦，則弦長的最小值為______
例9．(2023·上海金山·高二上海市金山中學?？计谀?已知橢圓，斜率為1的直線過點其左焦點，且與橢圓交于、兩點，則弦長_____．
例10．(2023·高二課時練習)橢圓的焦點為、，過O作直線交橢圓于A、B兩點，若的面積為20，則直線AB的方程為______．
例11．(2023·廣西欽州·高二?？茧A段練習)已知橢圓中，，離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線與橢圓交于、兩點，求.
例12．(2023·全國·高二專題練習)橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓C經(jīng)過點且長軸長為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦長|AB|．
題型三：橢圓的綜合問題
例13．(2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末)已知圓S：，點P是圓S上的動點，T是拋物線的焦點，Q為PT的中點，過Q作交PS于G，設點G的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過的直線l交曲線C于點M，N，若在曲線C上存在點A，使得四邊形OMAN為平行四邊形(O為坐標原點)，求直線l的方程．
例14．(2023·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末)已知橢圓：()上任意一點到兩個焦點的距離之和為，且離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作直線交橢圓于，兩點，點為線段的中點，求直線的方程．
例15．(2023·四川雅安·高二雅安中學校考期中)已知圓：經(jīng)過橢圓：的兩個焦點和兩個頂點，點，直線：與橢圓交于兩點，且直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求的值．
例16．(2023·四川廣安·高二廣安二中校考期中)若橢圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)不過原點O的直線與橢圓E交于A、B兩點，求面積的最大值以及此時直線l的方程．
例17．(2023·廣東廣州·高二廣東番禺中學?？计谀?已知橢圓的右焦點，長半軸長與短半軸長的比值為2．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設為橢圓的上頂點，直線與橢圓相交于不同的兩點，，若，求直線的方程．
例18．(2023·江蘇南京·高二?？茧A段練習)在平面直角坐標系中，橢圓：的左頂點到右焦點的距離是3，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于，兩點．已知點，求的值．
題型四：直線與雙曲線的位置關系
例19．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀?已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
例20．(2023·山東聊城·高二?？计谀?直線與雙曲線相交，有且只有1個交點，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
例21．(2023·湖北·高二統(tǒng)考期末)曲線與直線的公共點的個數(shù)為( )
A．B．C．D．
例22．(2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期末)過點作直線l與雙曲線交于點A，B，若P恰為AB的中點，則直線l的條數(shù)為( )
A．0B．1C．2D．不能確定
例23．(2023·安徽合肥·高二?？计谀?直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為( )
A．或B．
C．D．
例24．(2023·四川宜賓·高二?？茧A段練習)若直線與曲線有且只有一個交點，則滿足條件的直線有( )
A．條B．條C．條D．條
題型五：雙曲線的弦
例25．(2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線的左焦點為，過點作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點.
(1)求的值；
(2)求.
例26．(2023·四川遂寧·高二射洪中學?？计谥?已知雙曲線的焦點為，，且該雙曲線過點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過左焦點作斜率為的弦AB，求AB的長；
(3)求的周長．
例27．(2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谀?已知雙曲線C的焦點在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．
(1)求C的標準方程；
(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點，求．
例28．(2023·安徽·高二校聯(lián)考期中)已知雙曲線：的左右頂點分別為，，點，在雙曲線上．
(1)求直線，的斜率之積；
(2)若直線MN的斜率為2，且過點，求的值．
例29．(2023·高二單元測試)已知雙曲線C的焦點在x軸上，焦距為10，且它的一條漸近線方程為
(1)求C的標準方程；
(2)過C的右頂點，斜率為2的直線l交C于A，B兩點，求
例30．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習)雙曲線C的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線C的一條準線方程為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若雙曲線C的一弦中點為，求此弦所在的直線方程.
題型六：雙曲線的綜合問題
例31．(2023·福建福州·高二?？计谥?已知是雙曲線上的兩點．
(1)若是坐標原點，直線經(jīng)過的右焦點，且，求直線的方程；
(2)若線段的中點為，求直線的方程．
例32．(2023·高二單元測試)已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)經(jīng)過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.
例33．(2023·福建泉州·高二石獅市第一中學校考期中)已知雙曲線：過點，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．
例34．(2023·高二單元測試)已知點在雙曲線上．
(1)求正數(shù)的值；
(2)求雙曲線C上的動點P到定點的距離的最小值．
例35．(2023·江西宜春·高二校聯(lián)考階段練習)已知雙曲線C1過點(4，-6)且與雙曲線C2：共漸近線，點Р在雙曲線C1上(不包含頂點).
(1)求雙曲線C1的標準方程；
(2)記雙曲線C1與坐標軸交于A，B兩點，求直線PA，PB的斜率之積.
例36．(2023·遼寧錦州·高二校考期中)已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點；且的一條漸近線與直線平行.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線右支相切(切點不為右頂點)，且分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，為坐標原點，試判斷的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，請說明理由.
例37．(2023·內蒙古包頭·高二包頭市第四中學?？计谀?已知點在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點重合(如圖)．
(1)寫出該拋物線的方程和焦點的坐標；
(2)求線段中點的坐標．
例38．(2023·海南?？凇じ叨？计谥?已知雙曲線(，)中，離心率，實軸長為4
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點，且在雙曲線存在點，使得，求的值.
題型七：直線與拋物線的位置關系
例39．(2023·高二課時練習)已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有( )
A．1條B．2條C．3條
D．1條、2條或3條
例40．(2023·高二?？紗卧獪y試)過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線( )
A．有且只有一條
B．有且只有兩條
C．有且只有三條
D．有且只有四條
例41．(2023·廣西桂林·高二桂林十八中?？计谥?已知直線與拋物線相切，則( )
A．B．C．1D．
例42．(2023·上海浦東新·高二上海市進才中學?？计谀?已知拋物線：，點是經(jīng)過拋物線焦點的直線與拋物線的交點，且，則這樣的直線( )
A．有且僅有一條B．有且僅有兩條
C．有無窮多條D．不存在
題型八：拋物線的弦
例43．(2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥?過拋物線焦點且斜率為1的直線與此拋物線相交于兩點，則_______.
例44．(2023·云南·高二校聯(lián)考階段練習)已知為坐標原點，拋物線的焦點為，直線與交于兩點，且的中點到軸的距離為3，則的最大值為__________.
例45．(2023·陜西渭南·高二?？茧A段練習)過拋物線：的焦點的直線交拋物線于、兩點，且，則弦的長為______.
例46．(2023·天津寧河·高二校考階段練習)過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標為1，則等于__________.
例47．(2023·浙江寧波·高二效實中學?？计谥?已知拋物線的焦點為，過的弦滿足，則的值為______．
例48．(2023·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末)已知拋物線的方程為，為拋物線的焦點，傾斜角為的直線過點交拋物線于，兩點，則線段的長為______.
例49．(2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習)已知拋物線的焦點到準線的距離為4，直線過點且與拋物線交于兩點，若是線段的中點，則弦長為__________.
例50．(2023·廣東廣州·高二?？计谀?斜率為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則___________.
題型九：拋物線的綜合問題
例51．(2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谥?已知拋物線是拋物線上的點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程.
例52．(2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的焦點為F，點F到拋物線準線距離為4．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)已知的三個頂點都在拋物線E上，頂點，重心恰好是拋物線E的焦點F．求所在的直線方程．
例53．(2023·內蒙古呼倫貝爾·高二?？奸_學考試)已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且被拋物線所截得的弦的長為．
(1)求拋物線的方程；
(2)求以拋物線的準線與軸的交點為圓心，且與直線相切的圓的方程．
例54．(2023·江蘇·高二專題練習)已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．
(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；
(2)設直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．
例55．(2023·重慶·高二校聯(lián)考期末)已知拋物線的焦點為、為拋物線上兩個不同的動點，當過且與軸平行時的面積為2．
(1)求拋物線的方程；
(2)分別過作垂直于軸，若，求與軸的交點的橫軸標的取值范圍．
例56．(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中)在平面直角坐標系中，拋物線上一點P的橫坐標為4，且點P到焦點F的距離為5．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線于A，B兩點(位于對稱軸異側)，且，求證：直線l必過定點．
例57．(2023·寧夏銀川·高二銀川九中?？茧A段練習)已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸上，且拋物線上的點到焦點的距離是5.
(1)求該拋物線的標準方程；
(2)若過點的直線與該拋物線交于，兩點，求證：為定值.
例58．(2023·河南濮陽·高二校考階段練習)已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．
【過關測試】
一、單選題
1．(2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末)已知直線與拋物線交于A，B兩點，若D為線段AB的中點，O為坐標原點，則直線OD的斜率為( )
A．B．C．D．
2．(2023·高二課時練習)過橢圓的中心作直線與橢圓交于A、B兩點，為橢圓的左焦點，則面積的最大值為( )
A．6B．12C．24D．48
3．(2023·高二課時練習)橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為，則等于( )
A．B．C．D．
4．(2023·高二課時練習)拋物線與直線交于A，B兩點，且這兩點的橫坐標分別為，直線與x軸交點的橫坐標是，則( )
A．B．
C．D．
5．(2023·四川成都·高二成都七中?？计谥?已知橢圓的左右焦點分別為，，拋物線與橢圓C有相同的焦點，點P為拋物線E與橢圓C在第一象限內的交點，直線與拋物線E相切，則橢圓C的長軸長為( )
A．B．C．4D．
6．(2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中)過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是( )
A．B．
C．D．
7．(2023·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學?？茧A段練習)已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則( )
A．32B．C．D．8
8．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學?？计谀?在平面直角坐標系中，已知點，在橢圓上，且直線，的斜率之積為，則( )
A．1B．3C．2D．
二、多選題
9．(2023·高二課時練習)若直線與拋物線只有一個公共點，則實數(shù)k的值可以為( )
A．B．0C．8D．-8
10．(2023·貴州·高二遵義一中校聯(lián)考階段練習)已知是橢圓的右焦點，是上的一個動點，則下列說法正確的是( )
A．橢圓的長軸長是4
B．的最大值是2
C．的面積的最大值為，其中為坐標原點
D．直線與橢圓相切時，
11．(2023·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末)已知拋物線：，過點的直線交于，兩點，為坐標原點，則下列說法正確的有( )
A．若直線的斜率為2，則的面積為12
B．的最小值為
C．
D．若，則
12．(2023·廣東廣州·高二廣州市從化區(qū)從化中學?？计谀?已知雙曲線過點且漸近線方程為,則下列結論正確的是( )
A．直線與有兩個公共點B．的離心率為
C．的方程為D．曲線經(jīng)過的一個焦點
三、填空題
13．(2023·高二課時練習)設P是雙曲線右支上任一點，過點P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E、F，則的值為________．
14．(2023·高二課時練習)過拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，則的值是________．
15．(2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，其中與拋物線的焦點重合，點P在雙曲線C的右支上，若，且，則的面積為_______.
16．(2023·江西·高二臨川一中校聯(lián)考階段練習)已知橢圓與雙曲線，過橢圓上一點作橢圓的切線與軸交于點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，且為的中點，則雙曲線的離心率為__________.
四、解答題
17．(2023·全國·高二專題練習)設，分別是橢圓：的左，右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為．若直線的斜率為，求的離心率；
18．(2023·四川內江·高二威遠中學校校考階段練習)已知拋物線，其焦點F到準線的距離為2.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若O為坐標原點，斜率為2且過焦點F的直線l交此拋物線于A、B兩點，求的面積.
19．(2023·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中)已知曲線上任意一點到點的距離比它到直線的距離大1.
(1)求曲線的方程；
(2)若直線與曲線交于，兩點，求證：.
20．(2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，為橢圓的左右頂點，直線交橢圓于，兩點，設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
21．(2023·寧夏中衛(wèi)·高二中衛(wèi)中學?？茧A段練習)已知點在橢圓上，且長軸長為4.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線與橢圓相交于、兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求點的坐標.
22．(2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習)已知雙曲線的離心率為，左焦點到雙曲線的漸近線的距離為，過點作直線與雙曲線的左、右支分別交于點、，過點作直線與雙曲線的左、右支分別交于點、，且點、關于原點對稱．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設，試用表示點的橫坐標；
(3)求證：直線過定點．

相關試卷

第13講 橢圓（十大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義：

這是一份第13講 橢圓（十大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義，文件包含第13講橢圓十大題型教師版-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義docx、第13講橢圓十大題型學生版-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共82頁， 歡迎下載使用。

第12講 直線與圓、圓與圓的位置關系（十大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義：

這是一份第12講 直線與圓、圓與圓的位置關系（十大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義，文件包含第12講直線與圓圓與圓的位置關系十大題型教師版-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義docx、第12講直線與圓圓與圓的位置關系十大題型學生版-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共60頁， 歡迎下載使用。

第10講 直線的交點坐標與距離公式（九大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義：

這是一份第10講 直線的交點坐標與距離公式（九大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義，文件包含第10講直線的交點坐標與距離公式九大題型教師版-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義docx、第10講直線的交點坐標與距離公式九大題型學生版-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共45頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

第09講 直線的方程（十大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義

第09講 直線的方程（十大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義
第08講 直線的傾斜角與斜率（七大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義

第08講 直線的傾斜角與斜率（七大題型）-2024年高中數(shù)學新高二暑期銜接講義
第15講 直線和圓錐曲線的位置關系（九大題型）-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（蘇教版）

第15講 直線和圓錐曲線的位置關系（九大題型）-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（蘇教版）
第16講 直線和圓錐曲線的位置關系-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（人教A版2019）

第16講 直線和圓錐曲線的位置關系-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（人教A版2019）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部