第15講拋物線（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：拋物線的定義
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：拋物線的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
題型六：拋物線中的范圍與最值問題
題型七：焦半徑問題
【知識點梳理】
知識點一：拋物線的定義
定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線(不經(jīng)過點)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
知識點詮釋:
(1)上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值
(2)定義中的隱含條件：焦點F不在準(zhǔn)線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.
(3)拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化.
知識點二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：
根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式
，，，。
知識點詮釋：
①只有當(dāng)拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標(biāo)軸時，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②拋物線的焦點在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負(fù)方向(向下)
③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)是焦點的對應(yīng)坐標(biāo)的4倍.
④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型(一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點的位置或開口方向定型)，然后求一次項的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.
⑤在求拋物線方程時，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況。
知識點三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線y2=2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。
對稱性：關(guān)于x軸對稱
拋物線y2=2px(p＞0)關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對稱軸。
頂點：坐標(biāo)原點
拋物線y2=2px(p＞0)和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標(biāo)是(0，0)。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比
知識點詮釋：
(1)與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；
(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
【典例例題】
題型一：拋物線的定義
例1．(2023·高二課時練習(xí))若P為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則以|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為( )
A．相交B．相離
C．相切D．不確定
例2．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)若拋物線上一點到軸的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為( )
A．B．C．D．
例3．(2023·浙江臺州·高二期末)已知拋物線的焦點為F，是C上一點，，則( )
A．1B．2C．3D．4
例4．(2023·四川德陽·高二四川省廣漢中學(xué)校考階段練習(xí))拋物線的方程為，拋物線上一點P的橫坐標(biāo)為，則點P到拋物線的焦點的距離為( )
A．2B．3C．4D．5
例5．(2023·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知為拋物線：的焦點，縱坐標(biāo)為5的點在C上，，則( )
A．2B．3C．5D．6
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例6．(2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí))點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A．B．或
C．或D．
例7．(2023·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥?準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A．B．
C．D．
例8．(2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中)準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A．B．C．D．
例9．(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí))經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A．或B．或
C．或D．或
例10．(2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中)若拋物線上一點到其準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．C．D．
例11．(2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．C．D．
例12．(2023·廣東惠州·高二博師高中?？茧A段練習(xí))已知拋物線的焦點為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．B．C．D．
題型三：拋物線的綜合問題
例13．(多選題)(2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的( )
A．點的坐標(biāo)為
B．若直線經(jīng)過焦點，則
C．若，則線段的中點到軸的距離為
D．若直線經(jīng)過焦點且滿足，則直線的傾斜角為
例14．(多選題)(2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考階段練習(xí))斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于兩點則下列結(jié)論正確的有( )
A．B．拋物線的準(zhǔn)線方程為
C．D．
例15．(多選題)(2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末)已知點，點，點在拋物線上，則( )
A．當(dāng)時，最小值為1B．當(dāng)吋，的最小值為4
C．當(dāng)時，的最小值為3D．當(dāng)吋，的最大值為2
例16．(多選題)(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末)已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，直線過點且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則( )
A．B．C．直線的方程為D．
例17．(多選題)(2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末)已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則下列說法正確的是( )
A．拋物線的方程為B．線段的中點到y(tǒng)軸的距離為
C．線段的長度為D．
題型四：軌跡方程
例18．(2023·安徽蕪湖·高二校聯(lián)考期中)若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是( )
A．B．
C．D．
例19．(2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知圓的方程為，若拋物線過點A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
例20．(2023·全國·高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
例21．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )
A． B．C． D．
例22．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知在平面直角坐標(biāo)系中有一定點，動點到y(tǒng)軸的距離為d，且，則動點P的軌跡方程為( )
A．B．C．D．
例23．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))與圓：外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是( )
A．B．()和()
C．()D．()和()
例24．(2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考期中)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點P是拋物線C上一動點，則線段FP的中點Q的軌跡方程是( )
A．B．
C．D．
例25．(2023·高二課時練習(xí))已知動圓⊙經(jīng)過定點，且和直線相切，則點的軌跡方程為( )
A．B．C．D．
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
例26．(2023·高二課時練習(xí))拋物線上一點到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點的橫坐標(biāo)是__________．
例27．(2023·高二課時練習(xí))一個正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積為__________．
例28．(2023·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線交于兩點，線段中點的縱坐標(biāo)為，則__________.
例29．(2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))拋物線在第一象限上一點，滿足，為該拋物線的焦點，則直線的斜率為______.
例30．(2023·山東德州·高二統(tǒng)考期末)如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．
例31．(2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末)過點的直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方，若，則直線的斜率___________.
例32．(2023·陜西漢中·高二校考期中)已知拋物線：經(jīng)過點，若點到拋物線的焦點的距離為4，則______
題型六：拋物線中的范圍與最值問題
例33．(2023·上海虹口·高二上外附中?？计谥?已知點在拋物線上，則點到直線的距離的最小值是__________．
例34．(2023·廣東廣州·高二仲元中學(xué)校考階段練習(xí))已知點為拋物線上的動點，點為圓上的動點，則點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為__________.
例35．(2023·廣東汕頭·高二?？计谥?已知M為拋物線上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點，則的最小值為__________．
例36．(2023·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥?已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為______________.
例37．(2023·廣東江門·高二?？茧A段練習(xí))已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為_____.
例38．(2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)?？计谥?已知拋物線：，，為上一點，則取最小值時點的坐標(biāo)為________．
例39．(2023·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí))是拋物線的焦點，P是拋物線上任一點，A(3，1)是定點，則的最小值是___________．
例40．(2023·高二課時練習(xí))若點的坐標(biāo)為，F(xiàn)為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標(biāo)應(yīng)為__________．
例41．(2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)校考期中)已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標(biāo)為_________
例42．(2023·湖南·高二校聯(lián)考期中)已知點P為拋物線C：上的動點，直線l：，點為圓M：上的動點，設(shè)點P到直線l的距離為d，則的最小值為________．
題型七：焦半徑問題
例43．(2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，若，則________．
例44．(2023·北京·高二北京師大附中?？计谥?若拋物線的焦點為，點在此拋物線上且橫坐標(biāo)為，則________.
例45．(2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末)已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于點M，且，則_______.
例46．(2023·吉林白城·高二?？茧A段練習(xí))過拋物線的焦點F作直線l交拋物線C于兩點，若，則__________．
例47．(2023·云南紅河·高二?？茧A段練習(xí))過拋物線M：焦點的直線交拋物線M于A，B兩點，若線段AB的中點P到M的準(zhǔn)線的距離等于9，則__________．
例48．(2023·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谀?若拋物線上一點P到焦點的距離為4，則點P到原點的距離為______．
例49．(2023·福建漳州·高二統(tǒng)考期末)拋物線的焦點為，過原點的直線交于另一點，若，則______.
例50．(2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為，點，在上，，則線段的中點到準(zhǔn)線的距離為___________.
例51．(2023·內(nèi)蒙古通遼·高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，交于兩點，且滿足，則_____________________.
例52．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí))已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，MN垂直x軸于點N，若，則的面積為_________.
例53．(2023·河南安陽·高二統(tǒng)考期中)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線必經(jīng)過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則______．
例54．(2023·高二課時練習(xí))已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，為坐標(biāo)原點，若的面積為2，則到直線的距離為______.
例55．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知拋物線的焦點為F，點在點F的右邊，若C上的點Q滿足，則_____________．
例56．(2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第一中學(xué)?？计谀?設(shè)O為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，若，則的面積為____________．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．(2023·高二課時練習(xí))拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是( )
A．B．C．D．
2．(2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末)過拋物線的焦點作直線，交拋物線于，兩點，若，則( )
A．1B．2C．3D．4
3．(2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末)已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
4．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥?已知拋物線，直線交該拋物線于兩點．若線段的中點坐標(biāo)為，則直線斜率為( )
A．B．C．D．
5．(2023·高二單元測試)已知AB是經(jīng)過拋物線的焦點的弦，若點A、B的橫坐標(biāo)分別為1和，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．B．C．D．
6．(2023·高二課時練習(xí))已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有( )
A．1條B．2條C．3條
D．1條、2條或3條
7．(2023·高二課時練習(xí))拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離是6，則拋物線的方程為( )
A．B．
C．D．或
8．(2023·高二課時練習(xí))過拋物線的焦點F作傾斜角為的弦AB，則的值為( )
A．B．C．D．
二、多選題
9．(2023·高二課時練習(xí))設(shè)拋物線的焦點為，點為上一點，若，則直線的傾斜角可能是( )
A．B．C．D．
10．(2023·高二課時練習(xí))對拋物線，下列描述正確的是( )
A．開口向上，焦點為
B．開口向右，準(zhǔn)線方程為-
C．開口向右，焦點為
D．開口向上，準(zhǔn)線方程為
11．(2023·湖北·高二校聯(lián)考期中)已知拋物線：的焦點為，為上一點，且，直線交于另一點，記坐標(biāo)原點為，則( )
A．B．C．D．
12．(2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥?已知拋物線的焦點為F，點P在準(zhǔn)線上，過點F作PF的垂線且與拋物線交于A，B兩點，則( )
A．最小值為2B．若，則
C．若，則D．若點P不在x軸上，則
三、填空題
13．(2023·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)校考期末)已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，則__________．
14．(2023·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí))拋物線上的點到焦點的距離為，則點的縱坐標(biāo)為________.
15．(2023·高二課時練習(xí))拋物線的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點A，過點A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是____.
16．(2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知點F為拋物線的焦點，，點P為拋物線上一動點，則的最小值為______．
四、解答題
17．(2023·高二課時練習(xí))根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)準(zhǔn)線方程是；
(2)過點；
(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為.
18．(2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末)已知直線l與拋物線C：交于A，B兩點．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，線段AB中點的縱坐標(biāo)為2，求AB的長；
(2)若直線l經(jīng)過點，求的值．
19．(2023·四川成都·高二成都外國語學(xué)校校考階段練習(xí))已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.
(1)求的值；
(2)直線交拋物線于、兩點，求弦長.
20．(2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末)已知圓，點是圓上的動點，是拋物線的焦點，為的中點，過作交于，記點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過的直線交曲線于點、，若的面積為(為坐標(biāo)原點)，求直線的方程．
21．(2023·廣東佛山·高二石門中學(xué)校考階段練習(xí))已知為拋物線的焦點，為拋物線在第一象限上的一點，且軸，．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線與拋物線交于、兩點，且以為直徑的圓過點，證明：直線過定點．
22．(2023·高二校考單元測試)已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且線段AB恰好被點平分.
(1)求直線l的方程；
(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關(guān)于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2=2px(p＞0)
y2=－2px(p＞0)
x2=2py(p＞0)
x2=－2py(p＞0)
頂點
O(0，0)
范圍
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
對稱軸
x軸
y軸
焦點
離心率
e=1
準(zhǔn)線方程
焦半徑

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