題型一：雙曲線的定義、條件
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：雙曲線的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
題型六：求雙曲線的離心率
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
題型九：雙曲線中的范圍與最值問題
題型十：焦點三角形
【知識點梳理】
知識點一：雙曲線的定義
在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于0且)的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．
知識點詮釋：
1、 雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；
2、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：()，則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若()，則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
3、 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線(包括端點)；
4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
5、若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識點二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
方程Ax2+By2=C(A、B、C均不為零)表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．
當(dāng)時，雙曲線的焦點在x軸上；
當(dāng)時，雙曲線的焦點在y軸上．
知識點詮釋：
3、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標(biāo)軸上．
4、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．
6、對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識點三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．
知識點四：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線(a＞0，b＞0)的簡單幾何性質(zhì)
范圍
雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的．因此雙曲線上點的橫坐標(biāo)滿足x≤-a或x≥a．
對稱性
對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線(a＞0，b＞0)是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心．
頂點
①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點．
②雙曲線(a＞0，b＞0)與坐標(biāo)軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標(biāo)分別為
A1(-a，0)，A2(a，0)，頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點．
③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設(shè)B1(0，-b)，B2(0，b)為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸．實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a(chǎn)叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長．
①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．
②雙曲線的焦點總在實軸上．
③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．
離心率
①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．
②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率．
由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊．所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度．
③等軸雙曲線，所以離心率．
漸近線
經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形(如圖)，矩形的兩條對角線所在直線的方程是．
我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．
知識點四：雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．
對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識點五：雙曲線的漸近線
(1)已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則其漸近線方程為
已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．
(2)已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．
(3)與雙曲線有公共漸近線的雙曲線
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(，焦點在軸上，，焦點在y軸上)
(4)等軸雙曲線的漸近線
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．
知識點六：雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
雙曲線，如圖：
(1)實軸長，虛軸長，焦距
(2)離心率：；
(3)頂點到焦點的距離：，；
【典例例題】
題型一：雙曲線的定義、條件
例1．(2023·高二課時練習(xí))平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是( )
A．雙曲線B．兩條射線C．一條線段D．一條直線
【答案】B
【解析】如圖：
設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，
則若在線段(不包含兩端點)上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長線上或線段的反向延長線上(均包含兩端點)，
則有.
故選：B
例2．(2023·高二課時練習(xí))到兩定點、的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡( )
A．橢圓B．直線C．雙曲線D．兩條射線
【答案】D
【解析】因為，，
故的軌跡是已、為端點的兩條射線，
故選：D.
例3．(2023·高二課時練習(xí))已知動點滿足，則動點P的軌跡是( )
A．雙曲線B．雙曲線左支
C．雙曲線右支D．一條射線
【答案】C
【解析】因為 的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，
又因為，
所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．
故選：C
例4．(2023·四川成都·高二成都實外校考階段練習(xí))方程所表示的曲線是( )
A．圓的一部分B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．直線的一部分
【答案】C
【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于的值只能取大于等于1的數(shù)，推斷出方程表示的曲線為雙曲線的一部分．兩邊平方，
可變?yōu)椋?br>即，
表示的曲線為雙曲線的一部分；
故選：C．
例5．(2023·重慶巫山·高二?？计谀?在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，動點Р滿足，則動點P的軌跡是( )
A．橢圓B．拋物線
C．雙曲線D．雙曲線的一支
【答案】D
【解析】因為，，所以，若動點Р滿足，則動點P的軌跡是以、為焦點的雙曲線.
而題目中動點Р只滿足，有，所以動點P的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支.
故選：D
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例6．(2023·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí))求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點在軸上，離心率為，兩頂點間的距離為6；
(2)以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點.
【解析】(1)設(shè)雙曲線的方程為.
由，，得，，，
所以雙曲線的方程為.
(2)由題意可知，雙曲線的焦點在軸上.
設(shè)雙曲線的方程為，則，，，
所以雙曲線的方程為.
例7．(2023·高二單元測試)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，經(jīng)過點；
(2)焦點軸上，且過點，.
【解析】(1)當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為，
將代入，得．
又點在雙曲線上，
有，由此得，不合題意，舍去．
當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為0)，
∵a=4，故，
把點坐標(biāo)代入，得，解得．
故所求雙曲線方程為．
(2)設(shè)雙曲線方程為，將已知點坐標(biāo)代入，
得，解得．
∴所求方程為．
例8．(2023·全國·高二專題練習(xí))求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)，，焦點在x軸上；
(2)焦點為?，經(jīng)過點.
【解析】(1)由題設(shè)知，，，由，得.
因為雙曲線的焦點在x軸上，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)由已知得，且焦點在y軸上.因為點在雙曲線上，
所以點A與兩焦點的距離的差的絕對值是常數(shù)2a，
即，
則，.
因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
例9．(2023·全國·高二專題練習(xí))求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；
(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點；
(3)經(jīng)過點，.
【解析】(1)因為雙曲線的焦點在軸上，故可設(shè)方程為：，
又焦點為，，故可得，
又雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2，即，則，
又.
故雙曲線方程為：.
(2)因為雙曲線焦點在軸上，故可設(shè)雙曲線方程為，
又其焦距為10，故可得；
又該雙曲線過點，則，故，
故雙曲線方程為：.
(3)不妨設(shè)雙曲線方程為：，
因其過點，，故可得，
聯(lián)立方程組可得：，
故所求雙曲線方程為：.
例10．(2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(1)短軸長為，離心率的橢圓；
(2)與雙曲線具有相同的漸近線，且過點的雙曲線．
【解析】(1)由題意可知，解得.
若橢圓的焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
若橢圓的焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
(2)設(shè)所求雙曲線方程為，
將點代入所求雙曲線方程得，
所以雙曲線方程為，即．
題型三：雙曲線的綜合問題
例11．(多選題)(2023·河南南陽·高二南陽中學(xué)校考階段練習(xí))已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，若四邊形為矩形且，則下列正確的是( )
A．B．E的漸近線方程為
C．矩形的面積為D．E的離心率為
【答案】AD
【解析】不妨設(shè)點A在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形為矩形，

由雙曲線的定義可得：，則，
對A：∵四邊形為矩形，則，A正確；
對B：由選項A可得：，則，，
注意到雙曲線E的焦點在x軸上，則E的漸近線方程為，B錯誤；
對C：矩形的面積為，C錯誤；
對D：由A選項知，，所以，D正確.
故選：AD.
例12．(多選題)(2023·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是( )
A．
B．雙曲線的漸近線方程為
C．存在點，滿足
D．點到兩漸近線的距離的乘積為
【答案】BD
【解析】對于A選項，因為，，則，
所以，雙曲線的方程為，則，A錯；
對于B選項，雙曲線的漸近線方程為，B對；
對于C選項，若存在點，使得，則點必在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義可得，可得，
設(shè)點，則，則
，矛盾，
故不存在點，使得，C錯；
對于D選項，設(shè)點，則，
則點到直線的距離為，
點到直線的距離為，
所以，，D對.
故選：BD.
例13．(多選題)(2023·江西吉安·高二永豐縣永豐中學(xué)?？计谥?雙曲線C：的左右焦點分別是，，左右頂點分別是A，B，兩漸近線分別是，，M在雙曲線C上，其中O是坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是( )
A．焦點到漸近線的距離是3
B．若，則的面積是9
C．直線的斜率為，直線的斜率為，則
D．過右頂點B作的平行線交于P點，若的面積為3，則雙曲線的離心率為
【答案】ABD
【解析】因為焦點到漸近線的距離是，故A正確；
時，則，故，
由勾股定理得 得，
則，所以，
由三角形的面積公式可得，故B正確；
當(dāng)時，，當(dāng)M在右頂點時，，故不是定值，故C錯誤；
過右頂點B作的平行線交：于P點，則，故，
則的面積為，解得，則雙曲線的離心率為，故D正確，
故選：ABD.
例14．(多選題)(2023·全國·高二期中)已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點關(guān)于的一條漸近線的對稱點恰好在上，若直線交的左半支于點，則( )
A．的漸近線方程為B．的面積為
C．D．是等腰三角形
【答案】AC
【解析】如圖，設(shè)與漸近線交于點，為雙曲線的右焦點，則為線段的中點，
又因為為的中點，所以，，
雙曲線的左焦點為，則點到直線的距離為，
即，則，由雙曲線的定義可得，則，
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，
所以，雙曲線的漸近線方程為，A對；
，，
所以，，B錯；
設(shè)，則，，
在直角中有，，即，
解得，則，，所以，C對；
設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
因為，為的中點，所以，，，
因為，為線段上一點(不與線段端點重合)，則為銳角，
故為鈍角，則在中，，所以，，
所以，不是等腰三角形，D錯.
故選：AC.
例15．(多選題)(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)已知、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的動點，，，點到雙曲線一條漸近線的距離為，則下列選項正確的有( )
A．雙曲線的實軸長為B．雙曲線的離心率為
C．的最小值為D．
【答案】BCD
【解析】對于A選項，由雙曲線的定義可得，可得，
所以，雙曲線的實軸長為，A錯；
對于B選項，因為，則，所以，雙曲線的離心率為，B對；
對于C選項，因為，故點在雙曲線的右支上，
易知，則雙曲線的方程為，
設(shè)點，則，易知點，且，可得，
所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C對；
對于D選項，雙曲線的漸近線方程為，即，
所以，雙曲線的焦點到漸近線的距離為，D對.
故選：BCD.
例16．(多選題)(2023·安徽合肥·高二?？计谀?已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是( )
A．該雙曲線的離心率為
B．若，則的面積為
C．點到兩漸近線的距離乘積為
D．直線和直線的斜率乘積為
【答案】ACD
【解析】由雙曲線方程得，，，雙曲線的離心率為，A正確；
若，不妨設(shè)，，，B錯誤；
設(shè)，則，，漸近線方程為，
點到兩漸近線的距離乘積為，C正確；
，，，D正確；
故選：ACD
例17．(多選題)(2023·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谀?已知曲線分別是曲線C的左、右焦點，則下列說法中正確的有( )
A．若，則曲線C的兩條漸近線所成的夾角為
B．若曲線C的離心率，則
C．若，則曲線C上不存在點P使得
D．若，P為曲線C上一個動點，則面積的最大值為
【答案】BC
【解析】對于A選項，當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，漸近線方程為，
故漸近線的傾斜角分別為，所以曲線的兩條漸近線所成的銳角為，故A選項錯誤；
對于B選項，離心率，則曲線為焦點在軸上的雙曲線，，故，
所以，所以，故B選項正確；
對于C選項，若，則曲線表示焦點在軸上的橢圓，此時，
設(shè)橢圓的短軸的一個頂點坐標(biāo)為，
則，故為銳角，
所以曲線上不存在點，使得，故C選項正確；
對于D選項，若，則曲線表示焦點在軸上的橢圓，
此時，為上一個動點，
則面積的最大值為，故D選項錯誤.
故選：BC
例18．(多選題)(2023·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí))若是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，共焦點，，，，的離心率分別為，，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．，B．
C．若，則D．若，則的最小值為2
【答案】BC
【解析】依題意，，解得，A不正確；
令，由余弦定理得： ，
因為在橢圓中，在雙曲線中，，
所以，故B選項正確；
當(dāng)時，，即，
所以，即，
所以，，故C選項正確；
當(dāng)時，，即，
所以，，有，
因為，
所以，，解得，D不正確；
故選：BC
題型四：軌跡方程
例19．(2023·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí))已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由點，，可得，
又由，可得，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，
且，可得，則，
所以點的軌跡方程為.
故選：C.
例20．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)已知，若動點P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，因為，所以，
又因為直線與直線的斜率之積為，所以，
整理得.
故選：C.
例21．(2023·廣東·高二統(tǒng)考期末)動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圓N：的圓心為，半徑為，且
設(shè)動圓的半徑為，則，即.
即點在以為焦點，焦距長為，實軸長為，
虛軸長為的雙曲線上，且點在靠近于點這一支上，
故動圓圓心P的軌跡方程是
故選：A
例22．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末)是一個動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形(為原點)的面積為4，則動點的軌跡方程是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，根據(jù)題意可知點在和相交的右側(cè)區(qū)域，
所以點到直線的距離，到直線的距離，
，即.
所以動點M的軌跡方程：.
故選：C.
例23．(2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知，，，以C為焦點的橢圓過A、B兩點，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為，，，
所以，，，
因為 都在橢圓上，
所以，，
故的軌跡是以，為焦點的雙曲線的下支，
又，，即，，所以，
因此的軌跡方程是().
故選：A.
例24．(2023·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谀?一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心P的軌跡方程是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圓：的圓心，半徑為，
當(dāng)動圓與圓相外切時， 則，即
當(dāng)動圓與圓相內(nèi)切時，因為定點在圓外，所以只能是圓內(nèi)切于動圓，所以，即
綜上所述：，又，
所以動點的軌跡是以、為焦點的雙曲線，
因為，，所以，，
所以，
所以動圓圓心P的軌跡方程是.
故選：D
例25．(2023·北京延慶·高二統(tǒng)考期末)已知，，動點P滿足，則動點P的軌跡方程為( )．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，，，則，
動點滿足，其中，
則的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上半支，
其中，，即，則，
所以雙曲線的方程為：，
故選：D．
例26．(2023·山東濟南·高二濟南市章丘區(qū)第四中學(xué)?？计谀?已知一個動圓P與兩圓和都外切，則動圓P圓心的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)動圓半徑為，
由于動圓P與兩圓和都外切，
所以，，
即，
可知動圓P圓心的軌跡為以為焦點，實軸長為4的雙曲線的左支，
即，，，
所以動圓P圓心的軌跡方程為，
故選：A.
例27．(2023·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別是、，且，所在直線的斜率之積等于2，則頂點C的軌跡方程是( )
A．()B．
C．D．()
【答案】A
【解析】設(shè)，，
所以，整理為：，，
故選：A
例28．(2023·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
∵是圓上一動點，點的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點，
∴，，
∵是圓上一動點，∴，∴，
∴，，，
∴點的軌跡為以F1、F2為焦點的雙曲線，且，，得，
∴點的軌跡方程為.
故選：C.
題型五：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
例29．(2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)已知是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，則該雙曲線的焦距為( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因為是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，
所以，即，即，
又因為，
解得，所以c=2，
所以該雙曲線的焦距為.
故選：D
例30．(2023·高二課時練習(xí))雙曲線的焦點坐標(biāo)為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為雙曲線方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，
由于焦點在軸上，所以焦點坐標(biāo)為：.
故選：C.
例31．(2023·高二課時練習(xí))已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的方程為，
因為，所以，則，
所以漸近線方程為.
故選：C.
例32．(2023·湖南衡陽·高二衡陽市八中?？茧A段練習(xí))已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為( )
A．30B．24C．15D．12
【答案】A
【解析】依題意，右焦點到漸近線的距離，解得，
所以雙曲線C的焦距為30.
故選：A.
例33．(2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末)設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】雙曲線 的漸近線方程為： ，
又 ；
故選：A.
例34．(2023·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí))已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的漸近線方程為( ).
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】已知雙曲線的一個焦點為，得，則 ，
即，所以雙曲線的漸近線方程為，
即.
故選：D.
題型六：求雙曲線的離心率
例35．(2023·四川成都·高二成都七中?？茧A段練習(xí))已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，雙曲線的一條漸近線方程為，
所以.
故選：D
例36．(2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥?與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】橢圓的焦點為．
因為所求雙曲線的離心率，
所以其實半軸長為2，虛半軸長為，
故所求雙曲線的方程為．
故選：B
例37．(2023·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知雙曲線：的一條漸近線過點，則的離心率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知漸近線方程為，所以在上，故，
故離心率為，
故選：B
例38．(2023·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末)若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數(shù)的值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題設(shè)且，故，
所以，雙曲線漸近線為，其中一條與平行，
所以，則.
故選：A
例39．(2023·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考期中)設(shè)雙曲線()的半焦距為c，直線l過兩點，且原點到直線l的距離為，則雙曲線的離心率( )
A．2B．C．2和D．2和
【答案】A
【解析】令，依題意，在中，，且，如圖，
顯然，由，得，
整理得，而，解得，
所以雙曲線的離心率.
故選：A
例40．(2023·遼寧朝陽·高二北票市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))以雙曲線C：的實軸與虛軸端點為頂點的四邊形各邊中點恰在雙曲線的漸近線上，則雙曲線C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得實軸的頂點為虛軸的頂點為，故4個中點為，
雙曲線的漸近線為，
因此不妨考慮點在直線上，
所以，，
雙曲線C的離心率，
故選：A.
例41．(2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))分別為雙曲線的左，右焦點，過的直線與雙曲線左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，解得，則，
在中，由勾股定理得，化簡得，所以的離心率，
故選:A.
例42．(2023·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)?？计谥?過雙曲線的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A．若(O為坐標(biāo)原點)，則該雙曲線的離心率為( )
A．B．C．2D．或2
【答案】B
【解析】在中，因為，
所以，則，
所以，
故選：B
例43．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谥?已知雙曲線()的左右焦點分別是，，點在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線為，設(shè)，，則，
因為點在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，
所以點在漸近線上，所以，即，
所以雙曲線的離心率.
故選：A
例44．(2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】對于雙曲線，其漸近線為，即，
對于雙曲線，其漸近線為，即，
因為雙曲線與雙曲線的漸近線相同，所以，即雙曲線，
設(shè)雙曲線的半實軸長為，半虛軸長為，半焦距為，
則，，，即，，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A.
例45．(2023·甘肅武威·高二武威第六中學(xué)校考期中)若雙曲線的漸近線為，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)知：，即，
所以.
故選：B
例46．(2023·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線的方程為，且雙曲線的一條漸近線的傾斜角滿足，則該雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，解得或，
又因為，所以，
即，
所以該雙曲線的離心率.
故選：B.
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
例47．(2023·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試)雙曲線的左焦點為，，為雙曲線右支上一點，若存在，使得，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取雙曲線的右焦點，由雙曲線定義，如圖所示，
故存在點使得等價為存在點使得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，
則，由，解得，而，故離心率.
故選：B
例48．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中?？计谥?已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，為等腰三角形，且頂角為135°，則E的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線方程為 ()，
如圖所示：
因為為等腰三角形，且頂角為135°，
所以，
過點M作MN⊥x軸，垂足為N，
在BMN中，則，
故點M的坐標(biāo)為，
代入雙曲線方程得，
解得，即，
即，解得，
故選：D
例49．(2023·高二課時練習(xí))已知雙曲線的焦距大于，則該雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知，即．
又，且，所以，則．
故選：B.
例50．(2023·高二課時練習(xí))已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，又，所以，，
又，即，，所以離心率．
故選：C．
例51．(2023·高二課時練習(xí))已知雙曲線的右頂點到其漸近線的距離不大于，其離心率的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，雙曲線的右頂點坐標(biāo)為 ，其中一條漸近線方程為，所以，得，即，又因為雙曲線的離心率，所以離心率的取值范圍為.
故選：C
例52．(2023·高二課時練習(xí))已知點F是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．B．(1，2)
C．D．
【答案】D
【解析】因為雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
所以，
因為是鈍角三角形，
所以是鈍角，
即，
因為過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，
所以，又，
所以，即，
即，
解得或(舍去)，
所以雙曲線的離心率的取值范圍是，
故選：D
例53．(2023·天津西青·高二統(tǒng)考期末)已知過雙曲線右焦點且傾斜角為的直線與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為過雙曲線右焦點且傾斜角為的直線與雙曲線右支有兩個交點，
所以，
所以
因為，
所以，
故選：B
例54．(2023·高二課時練習(xí))若雙曲線()的右支上到原點和右焦點距離相等的點有兩個，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線右支上一點坐標(biāo)為，則，
該點到右焦點的距離和到原點的距離相等，
由兩點間距離公式：得，
這樣的點有兩個，，，得.
故選：C．
例55．(2023·高二單元測試)已知雙曲線的右支上恰好有兩點到O(坐標(biāo)原點)?F(右焦點)的距離相等，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．B．C．(1，2)D．
【答案】D
【解析】雙曲線的右焦點，
若雙曲線的右支上恰好有兩點到O(坐標(biāo)原點)?
F(右焦點)的距離相等，
則線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個交點，
所以，所以，
所以雙曲線的離心率e的取值范圍是.
故選：D
例56．(2023·上海普陀·高二?？计谥?若雙曲線上不存在點P使得右焦點F關(guān)于直線OP(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則該雙曲線的焦距與實軸比值的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】按照正難則反，考慮存在點P使得右焦點F關(guān)于直線OP(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，因此只要在這個雙曲線上存在點P使得OP斜率為1即可，所以只要漸近線 的斜率大于1，
所以，所以離心率e>，
∴其在大于1的補集為
故選：C
例57．(2023·高二課時練習(xí))若雙曲線與直線沒有公共點，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】雙曲線的漸近線，
雙曲線與直線沒有公共點，則.
又因為雙曲線離心率大于1，所以C選項符合題意.
故選：C
例58．(2023·高二課時練習(xí))已知雙曲線=1(a>0，b>0)的左?右焦點分別為F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點P在雙曲線的右支上，且滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1，)D．(2，)
【答案】D
【解析】，
，
，，
，
解得，
.
故選：D
例59．(2023·浙江·高二期末)設(shè)雙曲線的左右焦點分別為.過左焦點的直線與雙曲線的左支交于點，交雙曲線的右支于點，若滿足，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，所以.
由雙曲線的定義可知，，
所以.
所以在中，有，即，
解得.
因為，所以，即，所以有，即.
所以有.
故選：B.
例60．(2023·全國·高二期末)若雙曲線上存在四個點A，B，C，D滿足四邊形是正方形，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，由題知：，解得：，
因為四邊形是正方形，所以，解得.
又因為，所以，解得，
所以.
故選：D
例61．(2023·云南曲靖·高二?？计谀?過雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點F引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( )
A．(，+∞)B．(，+∞)C．(2，+∞)D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由題意雙曲線C：的漸近線，右焦點，
不妨設(shè)過右焦點與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為
與聯(lián)立得，所以，，所以交點坐標(biāo)為，因為交點在第二象限，所以，因為，，，所以，，所以，即，因為，所以，即
故選：A
例62．(2023·河南新鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考期末)雙曲線：(，)右焦點為，過傾斜角為的直線與雙曲線右支交于，兩點，則雙曲線離心率的范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為過的直線的傾斜角為，
所以直線斜率，
因為直線與雙曲線右支交于，兩點，
如圖所示：
由圖象知：，
所以，
又，
所以.
故選：A.
例63．(2023·全國·高二專題練習(xí))雙曲線的左右焦點分別為，P，Q是該雙曲線右支上不同的兩點，滿足，則此雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意畫出草圖如下所示：設(shè)與雙曲線交于點，
因為，由對稱性可得，因為
所以，即，由題易知，即
所以
故選：D
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
例64．(2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，，若C的離心率為，則的值為______．
【答案】3
【解析】由及雙曲線的定義可得，
所以，，因為，在中，
由余弦定理可得，
即，所以，
即，解得或(舍去).
故答案為：3
例65．(2023·江蘇·高二統(tǒng)考期末)設(shè)為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為_____________
【答案】
【解析】因為表示雙曲線的方程，
所以有，因此，
因為，
所以由
，
即k的取值范圍為，
故答案為：.
例66．(2023·全國·高二專題練習(xí))焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.
【答案】
【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，
所以，，解得.
故答案為：.
例67．(2023·全國·高二專題練習(xí))若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】因為，所以，
所以，所以，解得，
則，故虛軸長.
故答案為：.
例68．(2023·高二課時練習(xí))中心在坐標(biāo)原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為________.
【答案】
【解析】由題意，社區(qū)向的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，且焦點在y軸上，
可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
例69．(2023·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí))已知雙曲線的離心率為2，則點到的漸近線的距離為______.
【答案】3
【解析】由題意，雙曲線的離心率為2，
即，解得，
所以雙曲線的一條漸近線的方程為，即，
所以點到的漸近線的距離為.
例70．(2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中)設(shè)雙曲線的離心率為，其漸近線與圓相切，則________.
【答案】
【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即，
且，圓心到漸近線的距離為，
化簡得，解得，故答案為．
題型九：雙曲線中的范圍與最值問題
例71．(2023·全國·高二專題練習(xí))已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.
【答案】/
【解析】

由雙曲線方程知：，，，則，，
由雙曲線定義知：，
(當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取等號)，
又，.
故答案為：.
例72．(2023·河南安陽·高二?？茧A段練習(xí))已知雙曲線的方程為，如圖所示，點，是圓上的點，點為其圓心，點在雙曲線的右支上，則的最小值為______
【答案】.
【解析】由雙曲線，可得，則，
如圖所示，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點是雙曲線的焦點，
根據(jù)雙曲線的定義，可得，
所以，
又由是圓上的點，圓的圓心為，半徑為，
所以，所以，
當(dāng)點在線段上時，取得等號，即的最小值為.
故答案為：.
例73．(2023·山東淄博·高二?？计谥?已知為雙曲線的右支上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為________.
【答案】9
【解析】，，，則
故雙曲線的兩個焦點為，，
，也分別是兩個圓的圓心，半徑分別為，
所以，
則
，
故答案為：9
例74．(2023·高二課時練習(xí))若是雙曲線的右支上的一點,分別是圓和 上的點,則的最大值為_____________.
【答案】
【解析】雙曲線中，
，，，
，，
因為分別是圓和 上的點，所以，
，
，，
，
所以
故答案為：．
例75．(2023·江西南昌·高二南昌市外國語學(xué)校?？计谥?已知是雙曲線的右焦點，動點在雙曲線左支上，為圓上一點，則的最小值為_______________.
【答案】9
【解析】記雙曲線的左焦點為，則，根據(jù)雙曲線的定義可得，先求出，再由圓的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.記雙曲線的左焦點為，則，
根據(jù)雙曲線的定義可得，
則，
因此，
當(dāng)，，三點共線時，取等號；
又為圓的圓心，即，且該圓的半徑為，
則，即，
因為為圓上一點，
根據(jù)圓的性質(zhì)可得，，
即，，，四點共線時，取得最小值.
故答案為：.
例76．(2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期中)為雙曲線右支上一點，為雙曲線的左焦點，點，則的最小值為_______.
【答案】
【解析】是雙曲線的左焦點，則，右焦點為，
由雙曲線的定義可得.
故答案為：
例77．(2023·河北衡水·高二階段練習(xí))已知雙曲線：的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則周長最小值為______．
【答案】
【解析】解由雙曲線的方程知：，，，，
周長為，
設(shè)左焦點為，且是雙曲線的左支上一點，由雙曲線的定義得：
(當(dāng)三點共線時等號成立)
的最小值為，
故周長的最小值為，
故答案為：
題型十：焦點三角形
例78．(2023·安徽滁州·高二?？计谀?若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】聯(lián)立方程得,①
若直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，則方程①有兩個不等的負根.
所以
解得.
故答案為：.
例79．(2023·高二課時練習(xí))已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.
【答案】16
【解析】雙曲線，所以，，所以，，

是雙曲線左支上的點，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面積為.
故答案為：.
例80．(2023·上海普陀·高二?？计谥?點為雙曲線上的點，、為左、右焦點，若，則的面積是__．
【答案】
【解析】由題意得，，且，
由余弦定理得
，
所以,
所以的面積,
故答案為：
例81．(2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點，，點M是橢圓C與雙曲線E的一個公共點，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦半距為.
令，
，即
因為點M在雙曲線E上，所以即,
，即
又因為點M在橢圓C上，所以，即.
因為橢圓C與雙曲線E：有相同的焦點，，
所以，，所以橢圓方程為.
故答案為：
例82．(2023·高二課時練習(xí))已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為________.
【答案】16
【解析】因為是雙曲線下支上的點，所以，兩邊平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案為：
例83．(2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥?已知，為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則______．
【答案】/
【解析】，，則，，，
.
故答案為：.
例84．(2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥?已知雙曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，若則等于________.
【答案】8
【解析】雙曲線的實軸長
過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，
則，
又,
則
故答案為：8
例85．(2023·江蘇徐州·高二?？计谥?設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為、，P為雙曲線上一點，若，則______．
【答案】0
【解析】由題意得，，聯(lián)立
，
因此，則．
故答案為：0.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．(2023·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))與雙曲線有公共焦點，且長軸長為的橢圓方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由雙曲線方程可得焦點坐標(biāo)為：，橢圓焦點在軸上，且，
又長軸長為，即，，，
橢圓方程為：.
故選：A.
2．(2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末)與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為( )
A．橢圓B．雙曲線的一支C．拋物線D．圓
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為；
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
設(shè)所求動圓圓心為，圓的半徑為，

由于動圓與圓、圓均外切，則，
所以，，因此動圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支.
故選：B.
3．(2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥?雙曲線和的離心率分別為和，若滿足，則下列說法正確是( )
A．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊
B．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄
C．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較開闊
D．的漸近線斜率的絕對值較大，的開口較狹窄
【答案】A
【解析】因為，，
又雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，
因為，所以，即，即，
所以的漸近線斜率的絕對值較大，又離心率越大，雙曲線開口越開闊.
故選：A.
4．(2023·廣東揭陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，某建筑的屋頂采用雙曲面結(jié)構(gòu)，該建筑屋頂外形弧線可看作是雙曲線上支的部分，其離心率為，上頂點坐標(biāo)為(,)，那么該雙曲線的方程可以為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由，即，得，
又因為上頂點坐標(biāo)為，得，所以，所以雙曲線的方程為．
故選：B．
5．(2023·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí))已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由點，，可得，
又由，可得，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點的軌跡表示以為焦點的雙曲線的右支，
且，可得，則，
所以點的軌跡方程為.
故選：C.
6．(2023·高二課時練習(xí))頂點距離為6，漸近線方程是的雙曲線方程是( )
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，設(shè)雙曲線的方程為1，
因為頂點間的距離為，漸近線方程為，
可得，解得，所以雙曲線的方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點在 軸上時，設(shè)雙曲線的方程為1，
因為頂點間的距離為，漸近線方程為，
可得，解得，所以雙曲線的方程為.
故選：A.
7．(2023·高二課時練習(xí))已知雙曲線上一點到左焦點的距離為10，則的中點到坐標(biāo)原點的距離為( )
A．3或7B．6或14C．3D．7
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為，
連接，是的中位線，
∴，
∵，，
∴或，
∴或，
故選：A.

8．(2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
而，且，
所以，
故，
故選：D.
二、多選題
9．(2023·湖南·高二校聯(lián)考期中)已知雙曲線的左?右焦點分別為是雙曲線上一點，則( )
A．
B．當(dāng)雙曲線為等軸雙曲線時，焦點坐標(biāo)為
C．焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是定值2
D．若雙曲線的一條漸近線方程是且，則或
【答案】AC
【解析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，方程表示雙曲線，則正確；雙曲線為等軸雙曲線時，，即，所以，焦點坐標(biāo)為，故錯誤；
不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，所以的一個焦點到一條漸近線的距離是，故為定值，故C正確；
雙曲線的一條漸近線方程是，所以由雙曲線的定義知，又，所以或，又，所以，故D錯誤．
故選：AC
10．(2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末)下列關(guān)于雙曲線說法正確的是( )
A．實軸長為6B．與雙曲線有相同的漸近線
C．焦點到漸近線距離為4D．與橢圓有同樣的焦點
【答案】ABD
【解析】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；
雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，
故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；
焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，
根據(jù)點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；
橢圓的焦點為，根據(jù)C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.
故選：ABD
11．(2023·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谥?已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為2，P為C上一點，則( )
A．雙曲線C的實軸長為2B．雙曲線C的一條漸近線方程為
C．D．雙曲線C的焦距為4
【答案】ABD
【解析】由雙曲線方程知：，離心率為，解得，
故雙曲線，
對于A，實半軸長為1，實軸長為，A正確；
對于B，由雙曲線方程可得漸近線方程為，故一條漸近線方程為，B正確；
對于C，由于可能在的不同分支上，則根據(jù)定義有，C錯誤；
對于D，焦距為正確.
故選：ABD.
12．(2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)雙曲線，其離心率為，虛軸長為，則( )
A．上任意一點到的距離之差的絕對值為定值
B．雙曲線與雙曲線：共漸近線
C．上的任意一點(不在軸上)與兩頂點所成的直線的斜率之積為
D．過點作直線交于兩點，不可能是弦中點
【答案】AB
【解析】雙曲線的離心率為，虛軸長為，所以，解得，
所以雙曲線，所以兩焦點坐標(biāo)分別為，
由雙曲線定義知，故A正確；
雙曲線的漸近線方程是，
雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；
上的任意一點(不在軸上)設(shè)為，則，即，
又兩頂點為，
所以斜率之積為，故C錯誤；
易知點在雙曲線的右側(cè)，
此區(qū)域內(nèi)存在一條直線交于兩點，使是弦中點，故D錯誤.
故選：AB
三、填空題
13．(2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí))已知雙曲線的離心率，實半軸長為4，則雙曲線的方程為__________.
【答案】
【解析】由已知可得 ,即得,所以雙曲線方程為:.
故答案為: .
14．(2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥?已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點，則t的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點，
則直線與雙曲線的兩個交點橫坐標(biāo)均為正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范圍是.
故答案為：

15．(2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥?已知雙曲線，、是其兩個焦點，點M在雙曲線上，若，則的面積為______．
【答案】
【解析】雙曲線的實半軸長，半焦距，有，
在中，由余弦定理得，
即有，
因此，解得，
所以的面積為.
故答案為：

16．(2023·湖北·高二十堰一中校聯(lián)考期中)已知雙曲線的右焦點為，點P，Q為雙曲線上關(guān)于原點O對稱的兩點，若，且的面積為4，則雙曲線的離心率__________.
【答案】
【解析】∵雙曲線的右焦點，，設(shè)其左焦點為，，P，Q關(guān)于原點O對稱，，由的面積為4，，得，又，
故.
又由雙曲線的對稱性可得，，，故離心率.
故答案為：

四、解答題
17．(2023·高二單元測試)已知雙曲線與橢圓有公共焦點，它們的離心率之和為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是雙曲線與橢圓的一個交點，求的值．
【解析】(1)由題意設(shè)雙曲線的方程為(，)，()，
由橢圓得到焦點為，橢圓的離心率為.
因為雙曲線與橢圓有公共焦點，則，
因為雙曲線與橢圓的離心率之和為，所以雙曲線的離心率為，
則，即，所以，
故雙曲線的方程是.
(2)由(1)結(jié)合雙曲線和橢圓的定義得：
，，
解得：或，又，
所以在由余弦定理得：，
故的值為.
18．(2023·高二課時練習(xí))根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；
(2)經(jīng)過點和．
【解析】(1)易知橢圓短軸的兩個端點坐標(biāo)為；
所以雙曲線焦點在軸上，
可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，
點在雙曲線上，即，解得；
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)雙曲線方程為，
將兩點代入可得，解得；
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
19．(2023·高二課時練習(xí))是雙曲線C：上任意一點.
(1)求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
(2)，求的最小值．
【解析】(1)證明：由已知可得，，，所以雙曲線的漸近線方程為.
到直線，即直線的距離，
到直線，即直線的距離，
所以，點P到雙曲線C的兩條漸線的距離的乘積為
.
又在雙曲線上，所以，所以，
所以是一個常數(shù).
(2)因為，所以，所以或.
所以．
當(dāng)時，的最小值為，
所以的最小值為．
20．(2023·重慶·高二統(tǒng)考期末)設(shè)雙曲線，點，是雙曲線的左右頂點，點在雙曲線上．
(1)若，點，求雙曲線的方程；
(2)當(dāng)異于點，時，直線與的斜率之積為2，求雙曲線的漸近線方程．
【解析】(1)由題意有：，解得，所以雙曲線的方程為．
(2)設(shè)點，則，即，又
則有，所以，
所以漸近線方程為．
21．(2023·甘肅慶陽·高二?？计谀?已知雙曲線C的兩個焦點坐標(biāo)分別為，雙曲線C上一點P到距離差的絕對值等于2．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)經(jīng)過點作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程：
(3)已知定點，點D是雙曲線C右支上的動點，求的最小值．
【解析】(1)由題可設(shè)雙曲線方程為，
由雙曲線的焦點為，，得，
又雙曲線C上一點P到距離差的絕對值等于2，則，
所以，
所以雙曲線方程為；
(2)設(shè)，，則，
作差可得，
即，
又為的中點，即，，
代入得，
即直線的斜率，
直線的方程為，即，
此時由可得，
，故所求直線為.
(3)由題可知，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時等號成立，
又，，，
所以的最小值為.
22．(2023·全國·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知為坐標(biāo)原點，雙曲線：(，)的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，，分別是線段，的中點，且，．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點，，當(dāng)與，不重合時，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值．
【解析】(1)因為，，分別是線段，，的中點，
所以，．
因為，所以，
所以由雙曲線的定義知，解得．
設(shè)雙曲線的半焦距為()．
因為，所以，
所以，所以．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)設(shè)()，則，
所以，所以，所以．
因為，，所以，
所以，為定值．橢圓
雙曲線
根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a
根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2(b＞0)
0＜a＜c，
c2－a2=b2(b＞0)
，
(a＞b＞0)
，
(a＞0，b＞0，a不一定大于b)
(a最大)
(c最大)
標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點
，
，
焦距
范圍
，
，
對稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點對稱
頂點

軸
實軸長=，虛軸長=
離心率
漸近線方程

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