題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系
題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
題型三：切線與切線長(zhǎng)問(wèn)題
題型四：弦長(zhǎng)問(wèn)題
題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系
題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問(wèn)題
題型八：公切線問(wèn)題
題型九：圓中范圍與最值問(wèn)題
題型十：圓系問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的位置關(guān)系：
(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)．
2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：
(1)代數(shù)法：
判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn)．
有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相交；
有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相切；
無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相離．
(2)幾何法：
由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷：
當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交；
當(dāng)時(shí)，直線與圓C相切；
當(dāng)時(shí)，直線與圓C相離．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見(jiàn)切線方程，可提高解題速度；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．
(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過(guò)勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理．
(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．
知識(shí)點(diǎn)二：圓的切線方程的求法
1、點(diǎn)在圓上，如圖．
法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率
的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
2、點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．
常見(jiàn)圓的切線方程：
(1)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是；
(2)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是
．
知識(shí)點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的方法
1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)具有的關(guān)系，這也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．
2、利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．
知識(shí)點(diǎn)四：圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系：
(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒(méi)有公共點(diǎn)．
2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：
(1)代數(shù)法：
判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．
有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；
有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；
方程組無(wú)解時(shí)，兩圓相離．
(2)幾何法：
設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．
當(dāng)時(shí)，兩圓相交；
當(dāng)時(shí)，兩圓外切；
當(dāng)時(shí)，兩圓外離；
當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；
當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過(guò)比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來(lái)確定，這種方法運(yùn)算量小．也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無(wú)解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來(lái)確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法．
3、兩圓公共弦長(zhǎng)的求法有兩種：
方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．
方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．
4、兩圓公切線的條數(shù)
與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；
(2)兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
(3)兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；
(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；
(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．
【典例例題】
題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系
例1．(2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)校考期中)直線與圓的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法判斷
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
則直線與圓相交.
故選：A.
例2．(2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中)圓與直線的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相切C．相離D．不能確定
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑為1，
所以圓心到直線的距離，
所以直線與圓的位置關(guān)系為相交.
故選：A.
例3．(2023·北京順義·高二北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考期中)直線與圓的位置關(guān)系是( )
A．相交B．相切C．相離D．都有可能
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，與半徑相等，
所以直線與圓的位置關(guān)系是相切，
故選：B
例4．(2023·四川資陽(yáng)·高二四川省資陽(yáng)中學(xué)?？计谥?圓與直線的位置關(guān)系為( )
A．相離B．相切C．相交D．以上都有可能
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€方程為，
所以令，則，即直線過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)閳A的方程為，
故將代入得，
所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
故直線與圓相交.
故選：C.
例5．(2023·四川眉山·高二眉山中學(xué)?？计谀?直線與圓的位置關(guān)系為( )
A．相交B．相切C．相離D．與的值有關(guān)
【答案】A
【解析】直線，即，因此直線恒過(guò)定點(diǎn)，
因，即點(diǎn)A在圓內(nèi)，
所以直線與圓相交.
故選：A
例6．(2023·北京東城·高二北京市第五中學(xué)?？计谥?已知直線與圓，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．對(duì)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)
B．，使直線與圓相切
C．對(duì)，直線與圓一定相交
D．直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng)為
【答案】B
【解析】直線，即，
令，解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
圓，即圓，圓心，半徑，
則，即點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故B錯(cuò)誤，故C正確，
當(dāng)時(shí)直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)，故D正確，
故選：B.
例7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線：與圓C：的位置關(guān)系為( )
A．相交或相切B．相交或相離C．相切D．相交
【答案】D
【解析】圓C：，圓心為，半徑為，
直線：，即，
圓心到直線的距離為，故直線與圓相交.
故選：D
例8．(2023·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)市第二中學(xué)校考期末)已知直線和圓，則直線與圓的位置關(guān)系為( )
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
【答案】C
【解析】直線方程整理為，即直線過(guò)定點(diǎn)，
而，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，
∴直線與圓相交.
故選：C.
題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
例9．(2023·高二單元測(cè)試)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是( )
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【解析】因?yàn)閳A 的圓心為，半徑為，則點(diǎn)到直線的距離大于，
，即或；
故選：A.
例10．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與圓相交，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由直線，可化為，
因?yàn)橹本€與圓相交，可得，
整理得，所以.
故選：B.
例11．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))過(guò)點(diǎn)的直線中，被圓截得的弦最長(zhǎng)的直線的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】的圓心為，
過(guò)點(diǎn)的直線中，被圓截得的弦最長(zhǎng)的直線必過(guò)圓心，
所以，
所以直線方程為，即.
故選：D.
例12．(2023·河南商丘·高二商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中)已知圓與直線相切，則實(shí)數(shù)( )
A．5B．10C．25D．100
【答案】D
【解析】圓的圓心為，半徑，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，
解得：.
故選：D
例13．(2023·湖南長(zhǎng)沙·高二?？计谥?關(guān)于的方程有兩解，則k的范圍為( )
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意可知，表示的直線恒過(guò)定點(diǎn)，
對(duì)兩邊同平方并移項(xiàng)得，，
則表示的是圓的上半部分，
若關(guān)于的方程有兩解，
即直線與上半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
畫出圖象如下圖所示：
易知，定點(diǎn)，即兩點(diǎn)之間的斜率，同理，
當(dāng)直線從位置繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到位置時(shí)滿足題意，
所以需滿足，即.
故選：C
例14．(2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中)直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】聯(lián)立直線方程和曲線方程可得可得，
即，解得或，故方程組的解為或.
故選：C
例15．(2023·云南昆明·高二校考期中)直線y=0與圓C：x2+y2-2x-4y=0相交于A?B兩點(diǎn)，則△ABC的面積是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】由x2+y2-2x-4y=0得，
∴，
由得，
所以△ABC的面積為.
故選：C.
題型三：切線與切線長(zhǎng)問(wèn)題
例16．(2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】圓的圓心，
∵，則點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)為切點(diǎn)，
則圓心到切點(diǎn)連線的斜率，可得切線的斜率，
故切線的方程，即.
故答案為：.
例17．(2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期末)圓在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】設(shè)圓的圓心，點(diǎn)
將代入圓的方程成立，所以在圓上，與切線垂直，
所以切線斜率，
切線方程為，即.
故答案為：
例18．(2023·湖北·高二統(tǒng)考期末)直線l過(guò)且與圓相切，則直線l的方程為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】由圓的方程，得，此圓的圓心為，半徑為2，
顯然點(diǎn)在圓上，因此直線l垂直于經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)的直線，
所以直線l的方程為.
故答案為：
例19．(2023·北京·高二北京一七一中校考階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為 _________________．
【答案】或
【解析】當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，
切線的方程為，圓心到該直線的距離等于半徑1，符合題意，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，
∵圓心到直線的距離等于半徑，
∴，解得，
∴切線方程為，
綜上所述，切線方程為或．
故答案為：或．
例20．(2023·高二單元測(cè)試)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_(kāi)______.
【答案】或
【解析】圓的半徑為，圓心為，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，方程，與圓不相切，
所以切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得或，
所以切線的方程為或.
故答案為：或.
例21．(2023·上海楊浦·高二?？计谥?由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與圓相切于點(diǎn)，連接，則，
圓的圓心為，半徑為，則，
當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且最小值為，
所以，，即切線長(zhǎng)的最小值為.
故答案為：.
例22．(2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期中)過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則___________.
【答案】
【解析】由圓的方程知：圓心，半徑，
，.
故答案為：.
例23．(2023·黑龍江綏化·高二?？计谥?已知圓，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為_(kāi)_______
【答案】
【解析】
由題知，⊙M：，圓心為，半徑，
圓心到直線上的點(diǎn)的最短距離為，
所以切線長(zhǎng)，
故四邊形的面積的最小值為.
故答案為：.
例24．(2023·高二單元測(cè)試)已知圓與直線相切，則___________.
【答案】
【解析】，
圓的圓心為(2，－2)，半徑r＝1，
∵圓和直線相切，∴.
故答案為：.
題型四：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例25．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由圓的方程得：圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
.
故答案為：.
例26．(2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期末)圓的一條弦以點(diǎn)為中點(diǎn)，則該弦的斜率為 __．
【答案】/-0.5
【解析】將配方得，
圓心為，，
，
弦以點(diǎn)為中點(diǎn)，該弦的斜率為．
故答案為：．
例27．(2023·湖南永州·高二統(tǒng)考期末)已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則__________．
【答案】
【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心到直線的距離，
所以.
故答案為：
例28．(2023·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則_________.
【答案】－1或3
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線的一般方程為，所以圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，解得或
故答案為：-1或3.
例29．(2023·新疆烏魯木齊·高二烏市一中校考期中)設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)，且與圓交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為_(kāi)__________.
【答案】或
【解析】圓，即，
所以圓心為，半徑，
又直線被圓截得的弦長(zhǎng)，
圓心到直線的距離，
①當(dāng)直線過(guò)且斜率不存在時(shí)，
的方程為，滿足圓心到的距離為，
，滿足題意；
②當(dāng)直線過(guò)且斜率存在時(shí)，
設(shè)為，即，
圓心到直線的距離，
解得，直線方程為，
綜合可得直線的方程為或，
故答案為：或．
例30．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，5)且和圓C：相交，截得弦長(zhǎng)為，則l的方程是______．
【答案】或
【解析】圓的圓心為，半徑.
若直線的斜率不存在，則直線的方程為，
直線與圓相切，不符合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)為，
故直線的方程為，即，
由于直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，
所以圓心到直線的距離，
所以，
兩邊平方得，解得或，
所以直線的方程為或，
即或
故答案為：或
題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系
例31．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)圓與圓的位置關(guān)系為( )．
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．外離
【答案】B
【解析】由題意可得，
故兩圓的圓心分別為：，設(shè)兩圓半徑分別為，則，
易知，故兩圓內(nèi)切.
故選：B
例32．(2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))圓與圓的位置關(guān)系是( )
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】C
【解析】?jī)蓤A化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得與圓，
可知半徑，，于是，
而，故兩圓相交，
故選：.
例33．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系為( )
A．相交B．外切C．外離D．內(nèi)含
【答案】A
【解析】因?yàn)閳A圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，
所以，易知，，
所以圓與圓相交.
故選：A.
例34．(2023·廣東梅州·高二?？计谀?兩圓和的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切B．內(nèi)含C．外切D．外離
【答案】A
【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；
，圓與相內(nèi)切.
故選：A.
例35．(2023·四川成都·高二?？计谥?圓與圓的位置關(guān)系是( )
A．外切B．內(nèi)切C．相交D．相離
【答案】B
【解析】圓圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為
故兩圓心的距離為正好為兩圓半徑的差，
故兩圓位置關(guān)系是內(nèi)切.
故選：B.
題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
例36．(2023·廣西·高二校聯(lián)考期中)已知圓心在原點(diǎn)的單位圓和圓外切，________．
【答案】16
【解析】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，
所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以，所以．
故答案為：16
例37．(2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中)已知圓：和圓：外切，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)________.
【答案】3
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓：，∴ .
又∵兩圓外切，∴，解得m=3.
故答案為：3．
例38．(2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末)已知圓，以點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由題知的圓心為，兩圓心的距離．
因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，即相交或相切，所以，解得．
故答案為：
例39．(2023·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末)已知兩圓與外離，則整數(shù)m的取值是______．
【答案】
【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，即；
圓的圓心為，半徑
兩圓圓心的距離為，
由兩圓外離可得，即，解得
所以，
故整數(shù)m的取值為.
故答案為：
例40．(2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))圓和圓相切，則a＝______．
【答案】9或/或9
【解析】，即，
圓心為，半徑，
，圓心為，半徑，，
當(dāng)兩圓外切時(shí)，，解得；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得，或，無(wú)解；
綜上所述：或.
故答案為：9或
題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問(wèn)題
例41．(2023·全國(guó)·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓：過(guò)圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】圓：的圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A過(guò)圓的圓心，所以，
所以，所以：，
兩圓的方程相減可得相交弦方程為.
故答案為：.
例42．(2023·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?圓與圓的公共弦所在直線方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則，則兩圓相交，
故將兩圓方程相減可得：，即，
即圓與圓的公共弦所在直線方程為，
故答案為：
例43．(2023·全國(guó)·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】/
【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心，半徑；
圓心到公共弦的距離
所以公共弦長(zhǎng)為.
故答案為：
例44．(2023·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥?已知圓和圓，則圓與圓的公共弦的弦長(zhǎng)__________．
【答案】
【解析】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
所以，滿足兩圓相交有公共弦，
兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程作差得：，即，
所以圓心到直線的距離，則公共弦長(zhǎng)為.
故答案為：.
例45．(2023·廣東廣州·高二廣州市第六十五中學(xué)?？计谥?過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A、B，則直線的方程為_(kāi)________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為、，
則，
則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，
為兩圓的公共弦所在的直線，則有，
變形可得：；
即直線的方程為，
故答案為：
例46．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))過(guò)圓O:外一點(diǎn)作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則___________ .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，圓O:的圓心為，半徑，
若，則，
圓O:外一點(diǎn)做圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，
則，
故點(diǎn)A、B在以為圓心，半徑為的圓上，
該圓的方程為，
聯(lián)立兩個(gè)圓的方程： ，
兩式作差可得，則直線的方程為，
圓O的圓心O到直線的距離，
則.
故答案為：
例47．(2023·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期中)過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)為、，則________.
【答案】
【解析】
如圖，在，，
所以，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)
則有,即
所以，所以
故答案為：
題型八：公切線問(wèn)題
例48．(2023·高二課時(shí)練習(xí))到點(diǎn)、的距離分別為和的直線有________條．
【答案】
【解析】到點(diǎn)的距離為3的直線是以為圓心，為半徑的圓的切線；
同理，到點(diǎn)的距離為的直線是以為圓心，半徑為的圓的切線，
所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，
而這兩圓的圓心距，則，
所以圓和圓外離，因此它們的公切線有條，即滿足條件的直線有條.
故答案為：.
例49．(2023·四川資陽(yáng)·高二四川省資陽(yáng)中學(xué)?？计谥?已知圓與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍________．
【答案】
【解析】由，即，
可知圓的圓心為，半徑為；
因?yàn)閳A與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，
則，∵，
解得：，即的取值范圍是.
故答案為：.
例50．(2023·湖南益陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí))圓和圓公切線的條數(shù)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】圓，，
，因此兩圓外離，
則有條公切線．
故答案為：4.
例51．(2023·廣東深圳·高二校考階段練習(xí))圓與圓的公切線方程為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】圓，即，
得,
所以
故兩圓內(nèi)切，公切線只有一條，與兩圓圓心的連線即x軸垂直，
由得
所以切點(diǎn)為，
故公切線方程為．
故答案為：．
例52．(2023·浙江金華·高二校聯(lián)考期末)已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________________．
【答案】
【解析】圓，即，圓心為，半徑.
圓，即，圓心為，半徑.
圓心角，所以兩圓相內(nèi)切.
由解得，
所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，所以公切線的斜率為，
所以公切線的方程為.
故答案為：
例53．(2023·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校校考期末)已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________.
【答案】
【解析】圓，即，圓心為，半徑.
圓，即，圓心為，半徑.
圓心角，所以兩圓外切，
由解得，
所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，所以公切線的斜率為，
所以公切線的方程為，即
故答案為：
題型九：圓中范圍與最值問(wèn)題
例54．(2023·高二課時(shí)練習(xí))圓上恰好有兩點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑
則圓心到直線的距離，
由題意得，即，即
解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為 ，
故答案為：.
例55．(2023·江西南昌·高二階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線(其中為常數(shù))．下列有關(guān)直線與圓的命題中正確命題的序號(hào)是________．
①當(dāng)時(shí)，圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1；
②若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則；
③若圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則；
④若圓上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則；
⑤當(dāng)時(shí)，圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.
【答案】①②⑤
【解析】圓心到直線的距離為，圓的半徑為2，
(1)當(dāng)即時(shí)，，
圓上有四個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為1；
(2)當(dāng)時(shí)，，
圓上恰有三個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為1；
(3)當(dāng)或時(shí)，
圓上恰有兩個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為1；
(4)當(dāng)時(shí)，，
圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1．
故①②⑤正確．
故答案為：①②⑤．
例56．(2023·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)?？计谥?若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，
所以，解得．
故答案為：．
例57．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓，直線，點(diǎn)在直線l上．若存在圓C上的點(diǎn)Q，使得(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】過(guò)點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以?br>又，，
所以，
所以有：
又 ，所以，，解得： ，
所以的取值范圍是.
故答案為：.

例58．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))設(shè)圓：上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于,則圓半徑的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離，
因?yàn)閳A上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，
所以，
即，所以.
故答案為：
例59．(2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥?平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，若直線l：上總存在P、Q兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍是_______
【答案】
【解析】要使得恒成立，則點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，
點(diǎn)P、Q在直線上，
點(diǎn)到直線l：距離，
以PQ為直徑的圓半徑的最小值為，
所以PQ的最小值為6，則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍是，
故答案為：.
例60．(2023·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省太和中學(xué)?？茧A段練習(xí))若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)___.
【答案】
【解析】圓的圓心，半徑，
直線恒過(guò)定點(diǎn)，則，
設(shè)中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M在以為直徑的圓上，
設(shè)圓心到直線距離為d，
則，，
則的面積為
當(dāng)即時(shí)取得最大值.
則面積的最大值為.
故答案為：
例61．(2023·高二單元測(cè)試)若在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)__.
【答案】
【解析】表示兩點(diǎn)所在直線的斜率，
設(shè)兩點(diǎn)所在直線的方程為，即，
如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最值，
圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)圓與直線相切時(shí)，
圓心到直線的距離，解得，
所以的最大值為.
故答案為：.
例62．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則
(1)的最大值和最小值分別為_(kāi)_______和________；
(2)y－x的最大值和最小值分別為_(kāi)_______和________；
(3)的最大值和最小值分別為_(kāi)______和_______．
【答案】 / / / /
【解析】原方程可化為，表示以(2，0)為圓心，為半徑的圓．
(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx，
當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k＝±.
所以的最大值為，最小值為－.
(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3)表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方．由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．
又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案為：(1)；(2)；(3)；.
例63．(2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓： ，為圓上任一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】設(shè)，則，即直線方程為，
因?yàn)闉閳A上任一點(diǎn)，
則圓心到直線的距離，
即，解得，
所以的最大值為，
故答案為：.
例64．(2023·遼寧朝陽(yáng)·高二北票市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知圓和兩點(diǎn)若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為_(kāi)_____.
【答案】11
【解析】，記中點(diǎn)為，則，
故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
又在圓上，所以兩圓有交點(diǎn)，
則，而，得.
故答案為:11.
例65．(2023·廣西玉林·高二博白縣中學(xué)?？计谥?若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)_________
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€方程變形為，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
由題知圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)?br>所以，定點(diǎn)在圓內(nèi)部，
所以，當(dāng)時(shí)，弦取得最小值，此時(shí)也最小，
所以，當(dāng)時(shí)，弦的最小值為，的最小值為，
所以，
所以，面積
故答案為：
例66．(2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí))若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
令，所以，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，
又因?yàn)椋庶c(diǎn)在圓內(nèi)，
設(shè)圓心為，半徑為，
當(dāng)時(shí)，取得最小，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：
例67．(2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?已知，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
如圖，曲線是以為圓心，以為半徑的圓，
則根據(jù)圓的性質(zhì)可知，的最小值為，
設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則可得，解得，即，
連接，分別交直線與圓于，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，
所以的最小值為.
故答案為:
例68．(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知圓，為過(guò)的圓的切線，A為上任一點(diǎn)，過(guò)A作圓的切線AP，AQ，切點(diǎn)分別是P和Q，則四邊形APNQ的面積最小值是__________．
【答案】/
【解析】依題意，直線的斜率為，則直線的斜率為，
直線的方程為，即，圓的圓心，半徑，
因?yàn)闉閳A的切線，則，四邊形的面積：
又到的距離，于是，
因此，
所以四邊形APNQ的面積最小值為.
故答案為：
題型十：圓系問(wèn)題
例69．(2023·高二課時(shí)練習(xí))求經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程________.
【答案】.
【解析】方法一：將化為一般式，所求圓經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)，則可設(shè)所求圓的方程為，整理得：；
此圓經(jīng)過(guò),代入上述方程得，解得,
所以該圓的方程為，即.
方法二：圓與的交點(diǎn)為，因?yàn)閳A心在軸上
設(shè)所求圓的方程為，則，解得，所求圓的方程為，化為一般式為.
故答案為：.
例70．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))求經(jīng)過(guò)圓與直線的交點(diǎn)且在軸上的弦長(zhǎng)為的圓的方程．
【解析】設(shè)所求的圓的方程為，且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
令得，化簡(jiǎn)得
，
由兩邊平方得
，化簡(jiǎn)得
解得或
所求圓的方程為，
或
所求圓的方程為或
例71．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．
【解析】(1)將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程為(為常數(shù))，
則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線y＝－x上，故，
解得，故所求方程為．
(3)由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最?。畠蓤A心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，
與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為，由弦長(zhǎng)公式可知所求圓的半徑為．
故面積最小的圓的方程為．
例72．過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．
【答案】
【解析】
設(shè)圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標(biāo)為，
把圓心坐標(biāo)代入，可得，
所以所求圓的方程為．
故答案為：．
例73．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在直線方程；
(2)求過(guò)兩圓交點(diǎn)A、B，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程．
【解析】(1)，①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直線方程為．
(2)設(shè)圓的方程為
即
因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以，
所以圓的方程為
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為1，則半徑( )
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】圓心到直線的距離為，
所以，故，
故選：B
2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.
故選：D.
3．(2023·高二課時(shí)練習(xí))兩圓外切，則正實(shí)數(shù)r的值是( )
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓外切，則兩圓心距離等于兩圓的半徑之和，
即，解得，
故選：B.
4．(2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中)已知，圓，圓， 若直線過(guò)點(diǎn)且與圓相切，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)直線的方程為，
由直線與圓相切，則，
解得，即，
即直線的方程為，
又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓圓心到直線距離為，
則直線被圓所截弦長(zhǎng)為.
故選：A
5．(2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末)若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)( )
A．－1B．1C．1或4D．4
【答案】D
【解析】由條件化簡(jiǎn)得，即兩圓圓心為，
設(shè)其半徑分別為，，所以有.
故選：D
6．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若圓與圓外切，則＝( )
A．21B．19C．9D．
【答案】C
【解析】依題意可得圓與圓的圓心分別為，，則，
又，且兩圓外切，則，得到，解得．
故選：C.
7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知過(guò)圓外一點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，求所在的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意得所在的直線為圓和以的中點(diǎn)為圓心,以為直徑的圓的公共弦所在的直線方程，
因?yàn)椋詧A，
兩圓相減得所在的直線方程為.
故選：A.
8．(2023·河北石家莊·高二石家莊一中校考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓的半徑為3，直線，互相垂直，垂足為，且與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為( )
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【解析】設(shè)圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，
直線，互相垂直，垂足為，，
，，
．
故選：B．
二、多選題
9．(2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切的圓的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】依題可設(shè)圓心坐標(biāo)為，
由題意得圓心到直線的距離為2，
即，解得，
所以圓的方程為：或，
故選：AC．
10．(2023·福建福州·高二福州三中?？计谥?已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是( )
A．圓M的圓心為，半徑為1
B．直線的方程為
C．線段的長(zhǎng)為
D．取圓M上的點(diǎn)，則的最大值為36
【答案】BD
【解析】A選項(xiàng)，變形為，
圓心為，半徑為1，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，圓和圓相減得，
故直線的方程為，B正確；
C選項(xiàng)，由B可知，直線的方程為，
圓心到的距離為，
故線段的長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由題意得，設(shè)，
則
，其中，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，D正確.
故選：BD
11．(2023·甘肅蘭州·高二蘭大附中?？茧A段練習(xí))已知圓和圓，則下列結(jié)論正確的是( )
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2
D．若分別為圓和圓上一點(diǎn)，則的最大值為10
【答案】ACD
【解析】圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為3.
因?yàn)閮蓚€(gè)圓的圓心距為，等于兩個(gè)圓半徑的和，所以兩個(gè)圓外切，正確.
圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯(cuò)誤.
圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，C正確.
若分別為圓和圓上一點(diǎn)，則的最大值為，正確.
故選：ACD
12．(2023·山東日照·高二?？茧A段練習(xí))實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值可能為( )
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】令，可得，
則直線與圓，
將代入方程，
得，
解得，即，
故選：ABCD.
三、填空題
13．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓C過(guò)點(diǎn)且與圓切于點(diǎn)，則圓C的方程為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)且與圓切于點(diǎn)，
可知圓C與的公切線為，且圓C過(guò)點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作切線的垂線，即為軸，
可知圓心C在此垂線上，即圓心C在軸上，
設(shè)圓C，又圓C過(guò)點(diǎn)，且圓C過(guò)點(diǎn)，
由圓心到圓上任一點(diǎn)距離相等，且為半徑，
所以，可得，從而半徑，
所以圓C的方程為.
故答案為：.
14．(2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？计谥?若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】或
【解析】圓可化為.
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓心到直線的距離等于半徑，即，
解得：或7.
故答案為：或
15．(2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí))已知圓與圓相交，則它們的公共弦所在的直線方程是__．
【答案】
【解析】由題意，圓與圓相交，
兩圓的方程作差得，
即公式弦所在直線方程為.
故答案為：.
16．(2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中學(xué)?？计谥?若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】
或
【解析】因?yàn)榍€，所以，
解得，，曲線可化為，
兩邊同時(shí)平方有：，即，
所以曲線是以為圓心，為半徑的圓的一部分，
而直線，所以是斜率為1的直線，畫圖象如下：
由于直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，即，解得：，
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，即，解得：，由圖象可知，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)：，解得或，
而即為在軸上的截距，由圖象可知，
綜上：或.
故答案為：或
四、解答題
17．(2023·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知一圓的圓心為，且該圓被直線截得的弦長(zhǎng)為.
(1)求該圓的方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)的該圓的切線方程.
【解析】(1)設(shè)圓的方程為，
圓心到直線的距離為，
又圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，，
圓的方程為：.
(2)當(dāng)切線斜率不存在的時(shí)候，切線方程為：，滿足題意；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
由得：，切線方程為，即，
綜上所述：過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或.
18．(2023·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)校考期中)已知圓C過(guò)點(diǎn)，，．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線與圓C交于兩點(diǎn)A，B，且，求m的值．
【解析】(1)設(shè)圓的一般方程為，
由題意可得：，解得，
故圓的一般方程為，即.
(2)由(1)可得：圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
可得，解得，
所以m的值為.
19．(2023·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓：，直線恒過(guò)點(diǎn).
(1)若直線與圓相切，求的方程；
(2)若直線的傾斜角為，且與圓相交于，兩點(diǎn)，求(點(diǎn)為圓的圓心)的面積.
【解析】(1)圓：的圓心為，半徑，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線和圓相切．
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，
與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，
即，
解得，直線的方程為，即，
綜上，直線的方程為或．
(2)直線的傾斜角為，則直線的斜率，
所以直線的方程為，即，
所以圓心到直線的距離，，
的面積．
20．(2023·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習(xí))已知圓的圓心在直線上，且與y軸相切于點(diǎn)．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C直線交于A，B兩點(diǎn)，_____，求m的值．
從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：
條件①：；
條件②：．
【解析】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為.
由圓的圓心在直線上，知：.
又∵圓與軸相切于點(diǎn)，
∴，，則.
∴圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.
(2)如果選擇條件①：，而，
∴圓心到直線的距離，則，解得或.
如果選擇條件②：，而，
∴圓心到直線的距離，則，解得或.
21．(2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.
【解析】(1)直線，即，
聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過(guò)定點(diǎn).
圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，
因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，
則直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)直線經(jīng)過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，
記圓心到直線的距離為d.
因?yàn)?，所以?dāng)d最大時(shí)，取得最小值，
所以當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的弦最短，
此時(shí)，
因?yàn)?，所以直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為，即，
綜上：最小值為，此時(shí)直線方程為.

22．(2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥?已知圓M方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)P作圓M的切線、，切點(diǎn)為A、B．
(1)若P點(diǎn)坐標(biāo)為，求
(2)經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過(guò)異于點(diǎn)的定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，
又因?yàn)椋?故.
(2)設(shè)的中點(diǎn)，因?yàn)闉閳A的切線，
所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓是以為圓心，為半徑的圓，
故其方程為
化簡(jiǎn)得，
由，解得(舍)或
所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)異于點(diǎn)的定點(diǎn).

相關(guān)試卷

第10講 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（九大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義：

這是一份第10講 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（九大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義，文件包含第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式九大題型教師版-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義docx、第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式九大題型學(xué)生版-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共45頁(yè)， 歡迎下載使用。

第09講 直線的方程（十大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義：

這是一份第09講 直線的方程（十大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義，文件包含第09講直線的方程十大題型教師版-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義docx、第09講直線的方程十大題型學(xué)生版-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共46頁(yè)， 歡迎下載使用。

第08講 直線的傾斜角與斜率（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義：

這是一份第08講 直線的傾斜角與斜率（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義，文件包含第08講直線的傾斜角與斜率七大題型教師版-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義docx、第08講直線的傾斜角與斜率七大題型學(xué)生版-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共41頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第07講 空間向量的應(yīng)用（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第07講 空間向量的應(yīng)用（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義
第05講 空間向量基本定理（四大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第05講 空間向量基本定理（四大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義
第04講 空間向量及其運(yùn)算（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第04講 空間向量及其運(yùn)算（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義
第03講 概率的綜合運(yùn)用（五大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第03講 概率的綜合運(yùn)用（五大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部