題型一：點(diǎn)斜式直線方程
題型二：斜截式直線方程
題型三：兩點(diǎn)式直線方程
題型四：截距式直線方程
題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式
題型六：直線的一般式方程
題型七：直線方程的綜合應(yīng)用
題型八：判斷動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)
題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題
題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程
方程由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在．點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；
2、當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線方程為；
3、當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，直線沒(méi)有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．這時(shí)直線方程為：．
4、表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線．
知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程
如果直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；
2、斜截式方程可由過(guò)點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；
3、當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．
4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．
5、斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．
知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程
經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(其中)的直線方程為，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；
2、當(dāng)直線沒(méi)有斜率()或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程．
3、直線方程的表示與選擇的順序無(wú)關(guān)．
4、在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過(guò)交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過(guò)程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．
知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程
若直線與軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，其中，則過(guò)AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．
2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．
知識(shí)點(diǎn)五：直線方程幾種表達(dá)方式的選取
在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕兀阎稽c(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．
知識(shí)點(diǎn)六：直線方程的一般式
關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．
當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線．
當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．
由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．
2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程．
知識(shí)點(diǎn)七：直線方程的不同形式間的關(guān)系
直線方程的五種形式的比較如下表：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時(shí)若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式常化為斜截式與截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．
知識(shí)點(diǎn)八：直線方程的綜合應(yīng)用
1、已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求．
2、據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．
對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．
(1)從斜截式考慮
已知直線，，
；
于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．
(2)從一般式考慮：
且或，記憶式()
與重合，，，
于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．
【典例例題】
題型一：點(diǎn)斜式直線方程
例1．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線的方程是，則( )
A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1B．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1
C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1D．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為1
【答案】C
【解析】根據(jù)已知可得出直線的點(diǎn)斜式方程為，
所以，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1.
故選：C.
例2．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由兩點(diǎn)，可得過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，
又由直線的點(diǎn)斜式方程，可得，即.
故選：B.
例3．(2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)且傾斜角為150°的直線l的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依題意，直線l的斜率，
故直線l的方程為，
即，
故選：B.
例4．(2023·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】與直線垂直的直線的斜率，
∴所求的直線方程為，即為，
故選：.
例5．(2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí))過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依題意，直線的斜率，
所以直線方程為：，即.
故選：B
題型二：斜截式直線方程
例6．(2023·高二課前預(yù)習(xí))寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率是，在軸上的截距是；
(2)傾斜角為，在軸上的截距是；
(3)傾斜角為，在軸上的截距是．
【解析】(1)
(2)因?yàn)?，所以?br>(3)因?yàn)?，所以?br>例7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
(2)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3．
【解析】(1)因?yàn)閮A斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直線方程為y＝－x－2．
(3)因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan 60°＝．
因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，
所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.
例8．(2023·高二課時(shí)練習(xí))寫出下列直線的斜截式方程.
(1)斜率是，在y軸上的截距是；
(2)斜率是，在y軸上的截距是4．
【解析】(1) 因?yàn)橹本€斜率是，在y軸上的截距是，
所以直線的斜截式方程為；
(2)因?yàn)橹本€斜率是，在y軸上的截距是4，
所以直線的斜截式方程為；
題型三：兩點(diǎn)式直線方程
例9．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線分別經(jīng)過(guò)下面兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)式方程求直線的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
【解析】(1)直線的兩點(diǎn)式方程為.
(2)直線的兩點(diǎn)式方程為.
(3)直線的兩點(diǎn)式方程為.
例10．(2023·高二課時(shí)練習(xí))在中，已知點(diǎn)，，．求邊上中線所在直線的兩點(diǎn)式方程．
【解析】因?yàn)?，，所以線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
又BC邊上的中線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以BC邊上中線的兩點(diǎn)式方程為．
例11．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程.
(1)，；
(2)，．
【解析】因?yàn)橹本€的兩點(diǎn)式方程為：，
因?yàn)?，?br>所以直線的兩點(diǎn)式方程：；
因?yàn)?，?br>所以直線的兩點(diǎn)式方程：；
題型四：截距式直線方程
例12．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知△ABC中，A(1，﹣4)，B(6，6)，C(﹣2，0).求：
(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；
(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.
【解析】(1)∵，∴△ABC中平行于BC邊的中位線的斜率，
又線段AB的中點(diǎn)為，
∴△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程為，化為一般式6x﹣8y﹣13=0，
可得截距式：.
(2)BC邊的中點(diǎn)為D(2，3)，
∴BC邊的中線所在直線的方程為y﹣3=7(x﹣2)，
化為一般式方程7x﹣y﹣11=0，化為截距式方程.
例13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))根據(jù)下列條件求直線的截距式方程，并畫出圖形.
(1)在x軸、y軸上的截距分別是2，3；
(2)在x軸、y軸上的截距分別是，6．
【解析】(1)由截距式得：.
(2)由截距式得：.
題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式
例14．(2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀?直線過(guò)點(diǎn)且與軸?軸分別交于，兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)?，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：，，
由直線過(guò)點(diǎn)?，
直線的方程為：，
即.
故答案為：.
例15．(2023·高二單元測(cè)試)直線被直線和所截得的線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)直線與和，分別交于點(diǎn)和，
因?yàn)樗氐玫木€段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，解得，
所以和，則，
可得直線的方程為，即.
故答案為：.
例16．(2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中)已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，
則為直角三角形，且為斜邊，
故.
故答案為：
例17．(2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知點(diǎn)，，線段PQ的中點(diǎn)為，則直線PQ的方程為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，線段PQ的中點(diǎn)為，
所以，所以，
所以，
所以直線PQ的方程為，即，
故答案為：.
題型六：直線的一般式方程
例18．(2023·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期中)若，且，則經(jīng)過(guò)的直線的一般方程為_(kāi)________
【答案】
【解析】若,
則點(diǎn)在直線上,
點(diǎn)在直線上
即、都在同一直線上
因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,所以由、確定的直線即為
故答案為:
例19．(2023·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末)傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)的直線的方程為_(kāi)_________.
【答案】/
【解析】因?yàn)橹本€傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，
所以直線軸，故直線方程為，
故答案為：
例20．(2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀?直線l過(guò)點(diǎn)，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由直線的點(diǎn)斜式可得，方程為，化為一般式方程為.
故答案為：
例21．(2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？计谀?過(guò)點(diǎn)的直線方程(一般式)為 _____．
【答案】
【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，
所以直線方程為，
化為一般式為，
故答案為： ．
例22．(2023·陜西·高二?？茧A段練習(xí))已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則BC邊上的中線AE所在直線的一般方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
故BC邊上的中線AE所在直線的方程為，化為一般方程為.
故答案為：
例23．(2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期中)寫出過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的一條直線方程__________.
【答案】或?qū)懗?條即可
【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程設(shè)為代入點(diǎn)A得：；
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
把點(diǎn)代入直線的方程可得，則直線方程是
故答案為：或?qū)懗?條即可
題型七：直線方程的綜合應(yīng)用
例24．(2023·高二課時(shí)練習(xí))當(dāng)直線方程的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時(shí)，該直線分別具有以下性質(zhì)？
(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；
(3)只與x軸相交；
(4)是x軸所在直線；
(5)設(shè)為直線上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫成．
【解析】(1)將代入得，
當(dāng)且不同為方程表示過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；
(2)直線與兩條坐標(biāo)軸都相交說(shuō)明橫縱截距都存在，
當(dāng)且時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)滿足條件，
當(dāng)時(shí)，令時(shí)，令時(shí)，
所以都不為0，
綜上所述，時(shí)直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；
(3)直線只與x軸相交，就是與軸平行、重合均可，
因此直線方程可化成形式，
故且；
(4)x軸的方程為，因此方程中時(shí)
方程表示的直線是x軸所在直線；
(5)因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以，
所以，
所以方程可化為，
即，
所以這條直線的方程可以寫成．
例25．(2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末)已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．
(1)求BC邊上的高所在直線的方程；
(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．
【解析】(1)邊所在的直線的斜率，
因?yàn)檫吷系母吲c垂直，所以邊上的高所在直線的斜率為．
又邊上的高經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以邊上的高所在的直線方程為，
即；
(2)邊所在的直線的斜率，
所以邊的垂直平分線的斜率為，
邊中點(diǎn)E的坐標(biāo)是，即，
所以AC邊的垂直平分線的方程是
即．
例26．(2023·四川遂寧·高二?？计谥?已知中，，，.求：
(1)邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.
(2)中平行于邊的中位線所在直線的一般式方程.
【解析】(1)由題意知，，，所以邊的中點(diǎn)為，
所以邊上的中線所在直線的方程為，
即得其一般式方程為，截距式方程為.
(2)平行于邊的中位線就是中點(diǎn)的連線.
因?yàn)榫€段中點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
所以這條直線的方程為，
整理得一般式方程為.
例27．(2023·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)四中?？奸_(kāi)學(xué)考試)在中，已知點(diǎn)，，．
(1)求BC邊上中線的方程．
(2)若某一直線過(guò)B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．
【解析】(1)BC中點(diǎn)，即，故BC邊上中線的方程為，即；
(2)直線過(guò)B點(diǎn)且x軸上截距是y軸上截距的2倍，
i. 若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線方程為，即；
ii. 若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)y軸上截距為m，則直線方程為，代入B點(diǎn)解得，故直線方程為，即；
故該直線的一般式方程為或.
例28．(2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥?已知的頂點(diǎn)，，.
(1)求過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的一般式方程；
(2)求角的角平分線所在直線的一般式方程.
【解析】(1)由題意可知，當(dāng)所求直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，所求直線方程為，即，
當(dāng)所求直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，則
因?yàn)樗笾本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
所以所求直線的方程為，即，
綜上所述，所求直線方程為或.
(2)由題意可知，因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)椋?，所?
所以角的角平分線所在直線的傾斜角為或，
當(dāng)角的角平分線所在直線的傾斜角為，其斜率為，
所以角的角平分線所在直線方程為，即，
當(dāng)角的角平分線所在直線的傾斜角為，其斜率為，
所以角的角平分線所在直線方程為，即，
綜上所述，所求直線方程為或.
例29．(2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中)在中，已知頂點(diǎn)，，．
(1)求AB邊上中線的方程：
(2)求過(guò)點(diǎn)B，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程．
【解析】(1)，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為
則，故AB邊上中線的方程為，即
(2)當(dāng)直線在軸和軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
代入點(diǎn)，則，解得，
所以所求直線的方程為，即；
當(dāng)直線在軸和軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
代入點(diǎn)，則，解得，
所以所求直線的方程為，即，
綜上所述，該直線的一般式方程為或．
題型八：判斷動(dòng)直線所過(guò)定點(diǎn)
例30．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過(guò)定點(diǎn)_____.
【答案】
【解析】由實(shí)數(shù)滿足，可得,
代入直線方程，可得，
聯(lián)立方程組，解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn).
故答案為：.
例31．(2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?已知直線，當(dāng)變化時(shí)，直線總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€可化為，
令，解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
故答案為：.
例32．(2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中)無(wú)論取何值，直線恒過(guò)定點(diǎn)__________．
【答案】
【解析】直線方程化為，由得，定點(diǎn)為，
故答案為：．
例33．(2023·福建·高二福建師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試)直線恒過(guò)定點(diǎn)________.
【答案】
【解析】依題意，直線，由得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
故答案為：
例34．(2023·湖南郴州·高二?？计谥?無(wú)論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____
【答案】
【解析】直線可化為，
由可得，.
所以，直線必過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題
例35．(2023·浙江紹興·高二諸暨中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：
(1)時(shí)，求直線l的方程．
(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線l的方程．
【解析】(1)作，則.
由三角形相似，，可求得，，
∴方程為，即；
(2)根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為，由題意，知，，
∵l過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴的面積，
化簡(jiǎn)，得.①
∴，解得或(舍去).
∴S的最小值為4，
將代入①式，得，解得，
∴.∴直線l的方程為.
例36．(2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)直線l的方程為
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.
【解析】(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí),解得,化為.
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線斜率為-1，故,解得,可得直線的方程為:.
綜上所述，直線的方程為或.
(2),
∵不經(jīng)過(guò)第二象限,∴,解得.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)令,解得,解得;
令,解得,解得或.
綜上有.
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∴(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值是6，此時(shí)直線方程，即
例37．(2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：
(1)直線的斜率為；
(2)直線與兩坐標(biāo)軸在第二象限圍成的三角形面積為.
【解析】(1)由題意可知，直線的斜率為，解得.
(2)由題意可知，在直線的方程中，令，可得，
令時(shí)，可得，
所以，直線分別交、軸于點(diǎn)、，
由題意可得，解得.
由題意可得，整理可得，
因?yàn)?，解?
例38．(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；
(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
【解析】(1)證明：原方程整理得：．
由，可得，
不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)
(2)設(shè)直線的方程為．
令令．
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。?br>則的方程為．
例39．(2023·甘肅蘭州·高二蘭州市外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考期中)已知直線.
(1)若直線不能過(guò)第三象限，求的取值范圍；
(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．
【解析】(1)由，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線不過(guò)第三象限，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，在直線的方程中，令，可得，
令，可得，
若直線不過(guò)第三象限，則，解得.
綜上所述，.
(2)由(1)可知，，
又在軸負(fù)半軸，在軸正半軸，所以，，可得.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，的最小值為，此時(shí)直線的方程.
例40．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4, 1)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點(diǎn)斜式方程.
【解析】根據(jù)題意知直線l不垂直于x軸，其斜率存在且為負(fù)數(shù)，
故可設(shè)直線l的方程為.
在方程中，令，得；令，得.
故直線l與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)與.
因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，
所以，即：，解得，
故直線l的點(diǎn)斜式方程為
例41．(2023·上海·高二專題練習(xí))已知直線l過(guò)定點(diǎn)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若的面積為4，求直線l的方程；
(2)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；
(3)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．
【解析】(1)設(shè)直線l：，由直線過(guò)可得，∴，
由可得.
所以直線l的方程為，即.
(2)設(shè)直線l：，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線方程.
(3)設(shè)直線l：，∵三點(diǎn)共線，且，，
即，，
∴
|，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線方程．
題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用
例42．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))如圖所示，某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，一條河所在的直線方程為 ，若在河邊l上建一座供水站P，使之到A，B兩鎮(zhèn)的管道最短，問(wèn)供水站P應(yīng)建在什么地方?

【解析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)P，若點(diǎn)(異于點(diǎn)P)在直線l上，連接，，，

則，
所以供水站建在點(diǎn)P處時(shí)，到A，B兩鎮(zhèn)所使用的管道最省，
設(shè)，則的中點(diǎn)在l上，且，
即，解得，即，
所以，
所以直線的方程為，即 ，
聯(lián)立方程，解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
所以供水站P應(yīng)建在點(diǎn)處．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線和互相垂直且都過(guò)點(diǎn)，若過(guò)原點(diǎn)，則與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得直線的斜率，
由直線和互相垂直可得直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
令得，
故直線與軸交點(diǎn)為.
故選：B.
2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)與直線垂直的直線方程為，于是，解得，
所以所求的直線方程為.
故選：A
3．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是( )
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】設(shè)直線在x，y軸上的截距分別為，則，
若，即直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為，
代入，即，解得，
故直線方程為；
若，設(shè)直線為，
代入，即，解得，
故直線方程為，即；
綜上所述：直線方程為或.
故選：D.
4．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過(guò)點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】當(dāng)直線與垂直時(shí)，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離最大，
,所以所求直線斜率為，由點(diǎn)斜式可得直線方程為，即，
故選：C
5．(2023·高二課時(shí)練習(xí))經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線的一般式方程為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由直線的傾斜角為知，直線的斜率，
因此，其直線方程為，即.
故選：A
6．(2023·高二課時(shí)練習(xí))經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】平行于直線的直線方程可設(shè)為，
又所求直線過(guò)點(diǎn)，
則，解之得，
則所求直線為.
故選：A
7．(2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期末)設(shè)、是軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于直線的方程為，故其傾斜角為，
又，且、是軸上兩點(diǎn)，故直線的傾斜角為，
又當(dāng)時(shí)，，即，
直線的方程為，即．
故選：A．
8．(2023·陜西·高二?？茧A段練習(xí))已知直線過(guò)定點(diǎn)P，若點(diǎn)P在直線上，且，則的最小值為( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€可化為：，
令，解得：，所以定點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，
故選：.
二、多選題
9．(2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥?下列說(shuō)法中正確的是( )
A．若直線斜率為，則它的傾斜角為
B．若，，則直線的傾斜角為
C．若直線過(guò)點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過(guò)點(diǎn)
D．若直線的斜率為，則這條直線必過(guò)與兩點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，設(shè)直線的傾斜角為，則由題意得，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，，所以直線與軸垂直，則其斜率不存在，故其傾斜角為，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，所以直線的方程為，即，
易知，故直線必過(guò)，故C正確；
對(duì)于D，不妨取，滿足直線的斜率為，但顯然該直線不過(guò)與兩點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
10．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是( )
A．y=-x+5B．y=x+5
C．y=D．y=-
【答案】AC
【解析】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn),所以直線方程為y=;
當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為=1，代入點(diǎn)，可得a=5，
即y=-x+5.
故選:AC.
11．(2023·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】易知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程，
令，得；令，得.
故圍成的三角形面積為,
化簡(jiǎn)可得或.
對(duì)于方程，，故方程無(wú)解.
對(duì)于方程，可得或.
故直線的方程或，
即或.
故選:CD.
12．(2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說(shuō)法中正確的是( )
A．邊BC與直線平行
B．邊BC上的高所在的直線的方程為
C．過(guò)點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為
D．過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)
【答案】BD
【解析】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯(cuò)；
邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；
過(guò)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為，過(guò)原點(diǎn)時(shí)方程為，C錯(cuò)；
過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線過(guò)邊BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為，D正確 ．
故選：BD．
三、填空題
13．(2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥?經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】依題意，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，方程為，即；
當(dāng)直線不不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，于是，解得，方程為，
所以直線的方程為或.
故答案為：或

14．(2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?已知直線，當(dāng)變化時(shí)，直線總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€可化為，
令，解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
故答案為：.
15．(2023·上海浦東新·高二上海師大附中?？计谀?已知點(diǎn)到直線的距離為d，則d的最大值是______．
【答案】5
【解析】直線即，
令得，故直線過(guò)定點(diǎn).
所以d的最大值為．
因?yàn)?，?br>所以.
故答案為：5
16．(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中)設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的值是____.
【答案】25
【解析】直線，整理成，則，即
直線，整理成，則，即
又，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線始終垂直，為兩條垂直直線的交點(diǎn)
則有
所以.
故答案為：25.
四、解答題
17．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知直線，求：
(1)過(guò)點(diǎn)且與直線l平行的直線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且與直線l垂直的直線的方程．
【解析】(1)因?yàn)橹本€的斜率為，
所以與直線l平行的直線的斜率為，
又所求直線過(guò)，
所以所求直線方程為，即．
(2)因?yàn)橹本€的斜率為，
所以與直線l垂直的直線的斜率為，
又所求直線過(guò)，
所以所求直線方程為，即．
18．(2023·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中)已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求：
(1)邊上的高所在直線的方程；
(2)的垂直平分線所在直線的方程．
【解析】(1)由斜率公式易知，直線的斜率．
又直線過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式得直線的方程為：．
(2)，．又線段的中點(diǎn)為，
所在直線的方程為，
整理得所求的直線方程為：．
19．(2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí))已知直線l過(guò)定點(diǎn)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若的面積為4，求直線l的方程；
(2)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；
(3)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．
【解析】(1)設(shè)直線l：，由直線過(guò)可得，∴，
由可得.
所以直線l的方程為，即.
(2)設(shè)直線l：，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線方程.
(3)設(shè)直線l：，∵三點(diǎn)共線，且，，
即，，
∴
|，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線方程．
20．(2023·上海靜安·高二校考期末)已知直線和，
(1)若與平行，求的值；
(2)若與垂直，求的值.
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，與平行，
解得時(shí)，與平行．
(2)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與垂直，
解得時(shí)，與垂直．
21．(2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí))分別求滿足下列條件的直線的方程：
(1)直線過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，求的點(diǎn)法式方程；
(2)直線過(guò)點(diǎn)和，求的兩點(diǎn)式方程；
(3)直線的傾斜角為，另一直線的傾斜角，且過(guò)點(diǎn)，求的點(diǎn)斜式方程；
(4)直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的一般式方程.
【解析】(1)直線的法向量即為直線的方向向量，
故的點(diǎn)法式方程為；
(2)的兩點(diǎn)式方程為；
(3)由題意得：
，又，
所以，故，所以的斜率為，
的點(diǎn)斜式方程為；
(4)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，設(shè)，將代入得：，解得：，
故直線的方程為，化為一般式方程為；
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)，
將代入得：，解得：，
故直線的方程為，化為一般式方程為；
故直線的方程為或．
22．(2023·安徽滁州·高二?？计谥?已知直線．
(1)求直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)直線時(shí)，求直線的方程；
(3)若交軸正半軸于，交軸正半軸于，的面積為，求最小值時(shí)直線的方程．
【解析】(1)直線可化為，
直線過(guò)定點(diǎn)．
(2)直線，，，
直線的方程為，
即直線的方程為．
(3)解法：設(shè)，
直線過(guò)得：，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，
，
，當(dāng)時(shí)，最小值為，
此時(shí)，直線的方程為，即．
解法：由直線的方程得：，，由題設(shè)得：．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
取最小值時(shí)，直線的方程為．
名稱
方程的形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點(diǎn)斜式
是直線上一定點(diǎn)，是斜率
不垂直于軸
斜截式
是斜率，是直線在y軸上的截距
不垂直于軸
兩點(diǎn)式
，是直線上兩定點(diǎn)
不垂直于軸和軸
截距式
是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距
不垂直于軸和軸，且不過(guò)原點(diǎn)
一般式
、、為系數(shù)
任何位置的直線

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