第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（九大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系
題型二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
題型三：交點(diǎn)問題
題型四：對(duì)稱問題
題型五：兩點(diǎn)間的距離
題型六：點(diǎn)到直線的距離
題型七：兩平行直線間的距離
題型八：距離問題的綜合靈活運(yùn)用
題型九：線段和與差的最值問題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)
求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．
過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．
知識(shí)點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式
兩點(diǎn)間的距離公式為．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．
知識(shí)點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)到直線的距離為．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；
(2)使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；
(3)此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．
知識(shí)點(diǎn)五：兩平行線間的距離
本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；
(2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例題】
題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系
例1．(2023·高二課時(shí)練習(xí))曲線與的交點(diǎn)的情況是( )
A．最多有兩個(gè)交點(diǎn)B．兩個(gè)交點(diǎn)
C．一個(gè)交點(diǎn)D．無交點(diǎn)
【答案】A
【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：得到，兩邊平方得：，當(dāng)即時(shí)，，得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，得到，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．所以曲線與的最多有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：A
例2．(2023·全國·高二專題練習(xí))是直線(為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是( )
A．無論如何，總是無解
B．無論如何，總有唯一解
C．存在，使是方程組的一組解
D．存在，使之有無窮多解
【答案】B
【解析】由題意，則，
∵直線的斜率存在，∴，，∴方程組總有唯一解．A，D錯(cuò)誤，B正確；
若是方程組的一組解，則，則點(diǎn)在直線，即上，但已知這兩個(gè)在直線上，這兩條直線不是同一條直線，∴不可能是方程組的一組解，C錯(cuò)誤．
故選：B．
例3．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))兩條直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的實(shí)數(shù)解，給出以下三種說法：
①若方程組無解，則兩直線平行；
②若方程組只有一解，則兩直線相交；
③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．
其中說法正確的個(gè)數(shù)為( )
A．1B．2C．3D．0
【答案】C
【解析】①若方程組無解，則兩條直線無交點(diǎn)，兩直線平行；正確；②若方程組只有一解，說明兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則兩直線相交；正確；③若方程組有無數(shù)多解，說明兩條直線有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，則兩直線重合．正確.
故答案為C.
題型二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
例4．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為( )
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
【答案】D
【解析】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，
代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，
故所求直線方程為，即.
故選：D.
例5．(2023·高二單元測(cè)試)已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，
所以在直線上，
所以過兩點(diǎn)所在直線方程為，
故選：B
例6．(2023·高二課時(shí)練習(xí))經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為( )
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】設(shè)直線方程為，
即
令，得，
令，得.
由，
得或.
所以直線方程為或.
故選：C.
例7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得，故所求直線方程為，即.
考點(diǎn)：兩直線的位置關(guān)系、直線方程兩點(diǎn)式．
題型三：交點(diǎn)問題
例8．(2023·高二課時(shí)練習(xí))兩條直線和的交點(diǎn)在第二象限，則m的取值范圍是( )
A．(,)B．(,0)
C．(0,)D．()
【答案】C
【解析】由解得即兩條直線的交點(diǎn)為，
由交點(diǎn)在第二象限，得,解得.
故選：C.
例9．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】聯(lián)立得，
因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)位于第一象限，
所以，解得.
故選：D
例10．(2023·天津·高二校聯(lián)考期末)過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是( )．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；
直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，
由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；
故選：B.
例11．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與直線相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則k的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若直線與直線平行或重合，則，解得，
若直線與直線相交，可得且，則有：
聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)，
由題意可得：，解得；
綜上所述：k的取值范圍為.
故選：C.
例12．(2023·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí))直線與直線相交，則實(shí)數(shù)k的值為( )
A．或B．或C．或D．且
【答案】D
【解析】因直線與直線相交，則，
即，解得且，
所以實(shí)數(shù)k的值為且.
故選：D
例13．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為( )
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【答案】C
【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，
∵直線和直線不平行，
∴直線和直線平行或直線和直線平行，
∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，
∴或.
故選：C.
例14．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槭侵本€和的公共點(diǎn)，
所以，且，
所以兩點(diǎn)和都在同一條直線上，
故兩點(diǎn)和所確定的直線方程是，
故選:A.
題型四：對(duì)稱問題
例15．(2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，
則，
即點(diǎn)A坐標(biāo)為.
故選：C
例16．(2023·河北唐山·高二唐山市第二中學(xué)校聯(lián)考期中)已知直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，且直線過點(diǎn)，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意可知，直線過點(diǎn)，則，解得.
故選：A.
例17．(2023·河北張家口·高二校聯(lián)考期中)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得．
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
故選：A
例18．(2023·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)校考期中)已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，解得.
故選：A.
例19．(2023·高二單元測(cè)試)已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為_______________．
【答案】.
【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
例20．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為__________．
【答案】
【解析】在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn),設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，由于在直線上，所以，即，
故答案為：
例21．(2023·高二單元測(cè)試)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是______．
【答案】
【解析】設(shè)對(duì)稱直線為，
則有，即
解這個(gè)方程得(舍)或.
所以對(duì)稱直線的方程中.
故答案為：.
例22．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是__.
【答案】
【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則,得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在直線上，
所以，即.
所以所求直線方程為.
故答案為：.
例23．(2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？计谥?直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為________
【答案】
【解析】設(shè)所求直線方程為，且，
直線與直線間的距離為，
則直線與直線間的距離為，又，得，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
題型五：兩點(diǎn)間的距離
例24．(2023·高二課時(shí)練習(xí))點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則________．
【答案】
【解析】由已知得，解得，即，
故答案為：
例25．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若，則_________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
例26．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知，則BC邊上的中線AM的長為__________.
【答案】
【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為，因?yàn)?br>所以，所以，
所以.
故答案為：.
例27．(2023·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知，以及點(diǎn)，則的面積為______．
【答案】3
【解析】,,
,
,
，
故答案為：3
例28．(2023·高二課時(shí)練習(xí))在x軸上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與A(5，12)間的距離為13，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】或/或
【解析】設(shè)，則有，解得或.
即或.
故答案為：或.
例29．(2023·高二單元測(cè)試)已知點(diǎn)，，若在軸上存在一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【解析】設(shè)，則，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
題型六：點(diǎn)到直線的距離
例30．(2023·上海靜安·高二?？计谥?點(diǎn)到直線的距離為______．
【答案】1
【解析】點(diǎn)到直線的距離.
故答案為：
例31．(2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中)已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，則的最小值為_________.
【答案】2
【解析】因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以的最小值為到線的距離.
故答案為：2.
例32．(2023·廣西南寧·高二校考階段練習(xí))直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為________.
【答案】
【解析】直線上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到直線的距離．
故答案為：．
例33．(2023·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最小值為______．
【答案】
【解析】方程表示直線，表示該直線上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，
所以的最小值是點(diǎn)到直線的距離.
故答案為：
例34．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知到直線的距離等于4，則a的值為__________．
【答案】10或
【解析】由到直線的距離等于4，
則，解得或．
故答案為：10或．
例35．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))若點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A到直線的距離為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________________.
【答案】或
【解析】依題意，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
則有，解得或.
故答案為：或.
例36．(2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí))已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則___________.
【答案】3或
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，
所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得：
，
解得或，
故答案為：3或
例37．(2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中)已知，兩點(diǎn)到直線l：的距離相等，則______．
【答案】1或
【解析】由題意得，即，
所以或，
解得或．
故答案為：1或.
題型七：兩平行直線間的距離
例38．(2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中)若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．
【答案】3
【解析】因?yàn)橹本€與平行，
所以，解得且，
所以直線為，
直線化為，
因?yàn)閮善叫芯€間的距離為，
所以，得，
因?yàn)?br>所以，得，
所以，
故答案為：3
例39．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．
【答案】
【解析】依題意設(shè)直線的方程為，，
則，即，解得，
所以直線的方程為．
故答案為：
例40．(2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末)若直線：與：平行，則與之間的距離為______．
【答案】
【解析】因?yàn)橹本€：與：平行，
所以，解得，
所以直線：與：平行，
所以與之間的距離為.
故答案為：.
例41．(2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí))若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是____________．
【答案】/
【解析】由直線與直線平行，
可知，即，
故直線為，
直線變形得，
故這兩條直線間的距離為，
故答案為：.
例42．(2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)校考期中)平行直線與之間的距離為__________．
【答案】
【解析】直線即為，
則平行直線與之間的距離為.
故答案為：
題型八：距離問題的綜合靈活運(yùn)用
例43．(2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二校考期中)函數(shù)的最小值是_____________.
【答案】5
【解析】因?yàn)?br>，
設(shè)，，，則表示點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和，即，
點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
所以，所以的最小值是.
故答案為：
例44．(2023·河南濮陽·高二濮陽南樂一高校考階段練習(xí))函數(shù)的最小值為_________．
【答案】
【解析】，
根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義得，函數(shù)表示到點(diǎn)距離之和，
如圖所示，作出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
連接，交軸于點(diǎn)，連接，
可得，
又由，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即函數(shù)的最小值為
故答案為：
例45．(2023·全國·高二專題練習(xí))設(shè)的最小值為_______.
【答案】
【解析】從幾何意義看，
+表示點(diǎn)到點(diǎn)和距離的和，
其最小值為和兩點(diǎn)間的距離.
故答案為：
例46．(2023·黑龍江雞西·高二校考階段練習(xí))著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難人微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合．上述觀點(diǎn)，可得的最小值為______．
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
∴的幾何意義為點(diǎn)與兩定點(diǎn)，之間的距離之和．
如圖所示：
設(shè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為(2，－4)．
則，
要求的最小值，即求的最小值，
又，即的最小值為．
故答案為：.
例47．(2023·山東聊城·高二聊城二中校考階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.
【答案】5
【解析】由題可知，表示的是直線上一點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和.
如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則，解得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小
所以的最小值為.
故答案為：5.
題型九：線段和與差的最值問題
例48．(2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．
【答案】13
【解析】作A點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示，
易知，
故，此時(shí)與直線的交點(diǎn)為P點(diǎn)，
故的最小值是13．
故答案為：13
例49．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，則的周長的最小值為______．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
如圖所示，連接交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，解得，所以．
因?yàn)榕c關(guān)于軸對(duì)稱，所以，
所以的周長的最小值為．
故答案為：.
例50．(2023·全國·高二專題練習(xí))在直角坐標(biāo)系中，若、、，則的最小值是______．
【答案】
【解析】由題意可知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故答案為：.
例51．(2023·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知為直線：上一點(diǎn)，點(diǎn)到和的距離之和最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.
【答案】
【解析】點(diǎn)在直線的同側(cè)
設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為
解得，即
由題意，點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)
直線的方程為：
故點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：
例52．(2023·山西太原·高二太原五中校考階段練習(xí))著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為___________.
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
∴的幾何意義為點(diǎn)到兩定點(diǎn)與的距離之和.
如圖所示：
設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
則的坐標(biāo)為.
要求的最小值，可轉(zhuǎn)化為求的最小值，
利用對(duì)稱思想可知，
即的最小值為.
也即的最小值為.
故答案為：
例53．(2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知平面上兩點(diǎn)和，在直線上求一點(diǎn)M．
(1)使最大值；
(2)使最小．
【解析】(1)若為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在直線上，
所以，得，則，
由，則，
要使最大，只需共線，.
(2)如上圖，要使最小，只需共線，
所以.
例54．(2023·江蘇·高二期中)已知直線及點(diǎn)，，．
(1)試在上求一點(diǎn)，使最小，并求這個(gè)最小值；
(2)試在上求一點(diǎn)，使最大，并求這個(gè)最大值．
【解析】(1)設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，
則，解得，即，
則的直線方程為：，聯(lián)立，解得，
即交點(diǎn)為，，此時(shí)最小，最小為；
(2)設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則，解得，得，
直線的方程為，即，
聯(lián)立，解得，即，
由對(duì)稱性知，，(當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取“” ，
上的點(diǎn)，是使最大的點(diǎn)．
此時(shí)最大值為；
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥?已知直線：過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：距離的最大值是( )
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】由題意知，直線：恒過定點(diǎn)，
直線：恒過定點(diǎn)，如圖所示，
過作的垂線段，垂足為，
那么必有，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，
從而的最大值為，
即點(diǎn)到直線：距離的最大值是.
故選：D.

2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與之間的距離為，則a的值為( )
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【解析】將直線化為，
則直線與直線之間的距離，
根據(jù)題意可得：，即，解得或，
所以a的值為或.
故選：C
3．(2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)點(diǎn)(1,1)到直線的距離是( )
A．1B．2C．
【答案】A
【解析】，
故選：A
4．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線過直線和直線的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為( )
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【解析】由方程組，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，
當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€過兩直線的交點(diǎn)，代入可得，
所以直線的方程為；
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸的截距等于時(shí)，設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€過兩直線的交點(diǎn)，代入可得，即直線的方程為，
綜上可得，直線的方程為或.
故選：C.
5．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由方程組，解得，
即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第四象限，可得且，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
6．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與互相垂直，垂足為，則的值為( )
A．20B．-4C．12D．4
【答案】A
【解析】由兩直線與垂直，可得，即，
又由兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是，可得，解得，
所以.
故選：A.
7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))兩條平行直線與間的距離為( )
A．B．2C．14D．
【答案】D
【解析】由距離公式可知，所求距離為.
故選：D
8．(2023·廣東廣州·高二廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？计谀?過點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是( )
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點(diǎn)，
因?yàn)椋?，所以?br>所以過點(diǎn)且與平行的直線為：即，
因?yàn)?，，所以線段的中點(diǎn)為，
所以過點(diǎn)與線段的中點(diǎn)為的直線的方程為：，
即，
所以這條直線的方程是：或，
故選：.
二、多選題
9．(2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知直線，則下列說法正確的是( )
A．直線與直線l相互平行B．直線與直線l相互垂直
C．直線與直線l相交D．點(diǎn)到直線l的距離為
【答案】ACD
【解析】因?yàn)橹本€，斜率，縱截距為，
選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，斜率為，縱截距為，所以，，故直線相互平行，故A正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€，斜率為，所以，故直線相交但不垂直，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，由，解得，所以直線的交點(diǎn)為，故C正確；
選項(xiàng)D，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的公式知，到直線l的距離，故D正確；
故選：ACD.
10．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀?已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值可能為( )
A．B．C．D．1
【答案】AD
【解析】兩點(diǎn)到直線的距離相等，
，解得或.
故選：AD.
11．(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知直線，，，則下列結(jié)論正確的是( )
A．當(dāng)，到直線距離相等時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在
C．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為-2D．當(dāng)時(shí)，直線與直線平行
【答案】CD
【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，解得或，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：時(shí)，，直線斜率為，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：時(shí)，，取，則，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：時(shí)，，，不過A點(diǎn)，，，正確；
故選：CD
12．(2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末)下列結(jié)論正確的有( )
A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為
B．若直線與直線垂直，則
C．已知，及x軸上的動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為5
D．直線與直線之間的距離為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，直線的斜率，則直線的傾斜角為，A正確；
對(duì)于B，直線與直線垂直，則，解得，B正確；
對(duì)于C，關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)，在x軸上任取點(diǎn)，連接，如圖，
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，
因此，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線與直線平行，直線化為，
管兩條直線間距離為，D正確.
故選：ABD
三、填空題
13．(2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)校考期中)直線與直線平行，則__________.
【答案】2
【解析】法一：兩直線平行，則；
法二：兩直線平行，，則,
故答案為：.
14．(2023·高二課時(shí)練習(xí))將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則與點(diǎn)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．
【答案】
【解析】依題意，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱，則折痕所在直線的方程為，
因此點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以與點(diǎn)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故答案為：
15．(2023·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí))設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．
【答案】10
【解析】由得，故,由得,
由于直線與直線互相垂直，所以,
故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是10
故答案為：10
16．(2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中)已知點(diǎn)和，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】由題意可得點(diǎn)與在直線的同側(cè)，故設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn).
則有，解得，
則.
當(dāng)點(diǎn)為和直線交點(diǎn)時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．(2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中)已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
(1)求直線的方程；
(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).
【解析】(1)方法一：由邊上的高所在直線方程為得：.
所以，
又，所以邊所在直線方程為，即，
方法二：由邊上的高所在直線方程為得：
故可設(shè)直線的一般式方程為：，
把的坐標(biāo)代入上述方程，得：，
所以邊所在直線方程為:，
(2)聯(lián)立直線與直線的方程得，
，解得
所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.
18．(2023·高二課時(shí)練習(xí))在中，邊上的高所在的直線的方程為，角的平分線所在直線的方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求直線的方程;
(3)求點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】(1)直線和直線的交點(diǎn)是，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(2)因?yàn)橹本€為BC邊上的高，由垂直關(guān)系得，
所以直線的方程為，即.
(3)因?yàn)榻堑钠椒志€所在直線的方程為，，
所以，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，
解得，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
19．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知兩直線
(1)若直線與可組成三角形，求實(shí)數(shù)滿足的條件；
(2)設(shè)，若直線過與的交點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離等于1，求直線的方程.
【解析】(1)由方程組，解得，所以的交點(diǎn)為，
①當(dāng)直線過與的交點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，
所以，解得；
②當(dāng)直線分別與平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形，
則，，
所以且.
綜上可得，實(shí)數(shù)滿足的條件且且.
(2)若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，可得，解得，
即所求直線的方程為；
若直線的斜率不存在，即直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，所以直線也滿足題意
故所求的直線的方程為或.
20．(2023·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線的方程為，若直線過點(diǎn)，且.
(1)求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在y軸上截距是在x軸上的截距的2倍，求直線的方程.
【解析】(1)因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，解得，，
所以直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
(2)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，此時(shí)直線方程為，
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí)，此時(shí)可設(shè)直線方程為，
因?yàn)橹本€過，
所以，
所以，此時(shí)直線方程為，即，
綜上直線的方程為或.
21．(2023·四川成都·高二成都七中?？计谥?已知直線?的方程為?，點(diǎn)?的坐標(biāo)為?.
(1)若直線與?關(guān)于點(diǎn)?對(duì)稱，求?的方程;
(2)若點(diǎn)?與?關(guān)于直線?對(duì)稱，求?的坐標(biāo).
【解析】(1)易知直線與直線互相平行，
設(shè)的方程為?，點(diǎn)到兩直線距離相等，
有?，
即?，或?(舍去)，
故?的方程為?.
(2)設(shè)點(diǎn)?的坐標(biāo)為?，
直線，且的中點(diǎn)在直線上，
而直線的斜率為，，
故有?，解得，
?故?的坐標(biāo)為.
22．(2023·高二單元測(cè)試)已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AC的垂直平分線為l.

(1)求直線l的方程;
(2)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|AP|+|BP|最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解析】(1)因?yàn)橹本€AC的斜率為，所以直線l的斜率為.
因?yàn)锳C的中點(diǎn)為，所以直線l的方程為，即.
(2)點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，又點(diǎn)P在線段AC垂直平分線上，
所以，當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC與l交點(diǎn)處時(shí)，取最小值，則取最小值.
由得直線BC的方程為，即，
聯(lián)立方程，解得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多