如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
要點(diǎn)詮釋：
1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：
(1)不解方程判定方程根的情況；
(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
(3)解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
【例題精選】
例1 (2023?鼓樓區(qū)一模）已知方程2x2+4x﹣3＝0的兩根分別為x1、x2，則x1+x2＝________，x1x2＝__________．
例2(2023?泰興市一模）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情況是（ ）
A．無實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)正根
C．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D．有兩個(gè)負(fù)根
【隨堂練習(xí)】
1. (2023秋?牡丹江期中）設(shè)m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n+mn的值為（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
2．(2023秋?揭陽期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根之和為（ ）
A．B．2C．﹣3D．3
3．(2023秋?襄陽期末）設(shè)一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x1x2+x2等于（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
4．(2023秋?東麗區(qū)期末）已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
2增長率問題
列一元二次方程解決增長(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.
(1)增長率問題：
平均增長率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)
(2)降低率問題：
平均降低率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)
【例題精選】
例1 (2023?鐵西區(qū)二模）國家實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口1萬人，通過各方面的共同努力，2018年底該地區(qū)貧困人口減少到0.25萬人，求該地區(qū)2016年底至2018年底貧困人口年平均下降的百分率．
例2(2023秋?薛城區(qū)期末）某藥品原價(jià)為100元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后，售價(jià)為64元，則a的值為（ ）
A．10B．20C．23D．36
【隨堂練習(xí)】
1. (2023?番禺區(qū)一模）某商品原售價(jià)225元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為196元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是（ ）
A．225（1﹣x）2＝196B．196（1﹣x）2＝225
C．225（1﹣x2）＝196D．196（1﹣x2）＝225
2．(2023秋?瓊中縣期末）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元．已知兩次降價(jià)的百分率相同．要求每次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則得到的方程為（ ）
A．112（1﹣x）2＝63B．112（1+x）2＝63
C．112（1﹣x）＝63D．112（1+x）＝63
3．(2023?龍泉驛區(qū)模擬）我校圖書館三月份借出圖書70本，計(jì)劃四、五月份共借出圖書220本，設(shè)四、五月份借出的圖書每月平均增長率為x，則根據(jù)題意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
3利潤問題
利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：
利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)
總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

【例題精選】
例1 (2023?谷城縣校級模擬）某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？
例2 (2023秋?平江縣期末）某商場銷售一批襯衫，平均每天可銷售出20件，每件盈利40元，為擴(kuò)大銷售盈利，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，但要求每件盈利不少于20元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)．若每件襯衫每降價(jià)1元，則商場每天可多銷售2件．
（1）若每件襯衫降價(jià)4元，則每天可盈利多少元？
（2）若商場平均每天盈利1200元．則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?望花區(qū)二模）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克：銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，設(shè)銷售單價(jià)為每干克x元，月銷售利潤可以表示為（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元B．（x﹣40）（10x﹣500）元
C．（x﹣40）（500﹣10x）元D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元
2．(2023?南岸區(qū)校級模擬）新華商場銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元．市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)．商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，設(shè)每臺(tái)冰箱的降價(jià)x元，則x滿足的關(guān)系式為（ ）
A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
B．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000
C．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
D．（2900﹣x）（8+4×）＝5000
4 其他問題
1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
2.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）
答(寫出答案，切忌答非所問).
【例題精選】
例1 (2023秋?斗門區(qū)期末）學(xué)校打算用長16米的籬笆圍成一個(gè)長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠在長為8米的墻上（如圖）．
（1）若生物園的面積為30平方米，求生物園的長和寬．
（2）能否圍成面積為35平方米的生物園？若能，求出長和寬；若不能，請說明理由．
例2 (2023?德陽模擬）某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（ ）
A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?正定縣期末）如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（ ）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
2．(2023秋?惠城區(qū)期末）有n支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了15場，每兩個(gè)隊(duì)之間只比賽一場，則下列方程中符合題意的是（ ）
A．n（n﹣1）＝15B．n（n+1）＝15C．n（n﹣1）＝30D．n（n+1）＝30
綜合練習(xí)
一．解答題（共7小題）
1．某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染多少臺(tái)電腦？
2．社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．
（1）求通道的寬是多少米？
（2）該停車場共有車位64個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為200元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每個(gè)車位的月租金每上漲10元，就會(huì)少租出1個(gè)車位，當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，停車場的月租金收入為14400元？
3．某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價(jià)的百分率；
（2）若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件？
4．某公園要在一塊長40m，寬30m的長方形空地上建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修三條縱向平行和兩條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為500m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？
5．某公司2016年的生產(chǎn)成本是100萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐年下降，2018年的生產(chǎn)成本是81萬元，若該公司2017、2018年每年生產(chǎn)成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生產(chǎn)成本下降的百分率；
（2）假設(shè)2019年該公司生產(chǎn)成本下降的百分率與前兩次相同，請你預(yù)測2019年該公司的生產(chǎn)成本．
6．如圖，要利用一面墻（墻長為15米）建羊圈，用30米的圍欄圍成兩個(gè)大小相同的矩形羊圈，設(shè)羊圈的一邊AB為xm，總面積為ym2．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果要圍成總面積為63m2的羊圈，AB的長是多少？
7．已知長方形硬紙板ABCD的長BC為40cm，寬CD為30cm，按如圖所示剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm．（紙板的厚度忽略不計(jì)）
（1）EF＝ cm，GH＝ cm；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若折成的長方體盒子底面M的面積為300cm2，求剪掉的小正方形的邊長．
第2講 一元二次方程的實(shí)際問題
1 根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
要點(diǎn)詮釋：
1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：
(1)不解方程判定方程根的情況；
(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
(3)解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
【例題精選】
例1 (2023?鼓樓區(qū)一模）已知方程2x2+4x﹣3＝0的兩根分別為x1、x2，則x1+x2＝________，x1x2＝__________．
分析：根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出x1+x2和x1x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的兩根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．
故答案為：﹣2；﹣．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
例2(2023?泰興市一模）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情況是（ ）
A．無實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)正根
C．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D．有兩個(gè)負(fù)根
分析：先求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容得出即可．
【解答】解：x2﹣4x+2＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x1+x2＝4＞0，x1?x2＝2＞0，
∴有兩個(gè)正根，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1. (2023秋?牡丹江期中）設(shè)m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n+mn的值為（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
【解答】解：∵m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
則m+n+mn＝﹣2﹣1＝﹣3．
故選：A．
2．(2023秋?揭陽期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根之和為（ ）
A．B．2C．﹣3D．3
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣＝3，
故選：D．
3．(2023秋?襄陽期末）設(shè)一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x1x2+x2等于（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，
∴x1+x2＝2，
x1?x2＝﹣3，
則x1+x1x2+x2
＝2﹣3
＝﹣1．
故選：B．
4．(2023秋?東麗區(qū)期末）已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
【解答】解：設(shè)方程的另一根為a，
∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，
∴﹣2+a＝，解得a＝4．
故選：B．
2增長率問題
列一元二次方程解決增長(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.
(1)增長率問題：
平均增長率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)
(2)降低率問題：
平均降低率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)
【例題精選】
例1 (2023?鐵西區(qū)二模）國家實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口1萬人，通過各方面的共同努力，2018年底該地區(qū)貧困人口減少到0.25萬人，求該地區(qū)2016年底至2018年底貧困人口年平均下降的百分率．
分析：等量關(guān)系為：2016年貧困人口×（1﹣下降率）2＝2018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：
（1﹣x）2＝0.25，
解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去）
答：該地區(qū)2016年底至2018年底貧困人口年平均下降的百分率為50%．
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
例2(2023秋?薛城區(qū)期末）某藥品原價(jià)為100元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后，售價(jià)為64元，則a的值為（ ）
A．10B．20C．23D．36
分析：可先用x表示第一次降價(jià)后商品的售價(jià)，再根據(jù)題意表示第二次降價(jià)后的售價(jià)，然后根據(jù)已知條件得到關(guān)于x的方程．
【解答】解：當(dāng)藥品第一次降價(jià)%時(shí)，其售價(jià)為100﹣100a%＝100（1﹣a%）；
當(dāng)藥品第二次降價(jià)x后，其售價(jià)為100（1﹣a%）2．
∴100（1﹣a%）2＝64．
解得：a＝20或a＝﹣180（舍去），
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，要根據(jù)題意列出第一次降價(jià)后商品的售價(jià)，再根據(jù)題意列出第二次降價(jià)后售價(jià)的方程，令其等于64即可．
【隨堂練習(xí)】
1. (2023?番禺區(qū)一模）某商品原售價(jià)225元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為196元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是（ ）
A．225（1﹣x）2＝196B．196（1﹣x）2＝225
C．225（1﹣x2）＝196D．196（1﹣x2）＝225
【解答】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為225×（1﹣x），兩次連續(xù)降價(jià)后售價(jià)在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降低x，
為225×（1﹣x）×（1﹣x），則列出的方程是225（1﹣x）2＝196．
故選：A．
2．(2023秋?瓊中縣期末）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由112元降為63元．已知兩次降價(jià)的百分率相同．要求每次降價(jià)的百分率，若設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則得到的方程為（ ）
A．112（1﹣x）2＝63B．112（1+x）2＝63
C．112（1﹣x）＝63D．112（1+x）＝63
【解答】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，由題意得：
112（1﹣x）2＝63，
故選：A．
3．(2023?龍泉驛區(qū)模擬）我校圖書館三月份借出圖書70本，計(jì)劃四、五月份共借出圖書220本，設(shè)四、五月份借出的圖書每月平均增長率為x，則根據(jù)題意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
【解答】解：四月份共借出圖書量為70×（1+x），五月份共借出圖書量為70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220．
故選：B．
3利潤問題
利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：
利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)
總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

【例題精選】
例1 (2023?谷城縣校級模擬）某種服裝，平均每天可以銷售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？
分析：關(guān)系式為：每件服裝的盈利×（原來的銷售量+增加的銷售量）＝1600，為了減少庫存，計(jì)算得到降價(jià)多的數(shù)量即可．
【解答】解：設(shè)每件服裝應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降價(jià)幅度不超過10元的情況下，
∴x＝36不合題意舍去，
答：每件服裝應(yīng)降價(jià)4元．
【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到現(xiàn)在的銷售量是解決本題的難點(diǎn)；根據(jù)每天盈利得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
例2 (2023秋?平江縣期末）某商場銷售一批襯衫，平均每天可銷售出20件，每件盈利40元，為擴(kuò)大銷售盈利，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，但要求每件盈利不少于20元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)．若每件襯衫每降價(jià)1元，則商場每天可多銷售2件．
（1）若每件襯衫降價(jià)4元，則每天可盈利多少元？
（2）若商場平均每天盈利1200元．則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
分析：（1）可直接根據(jù)每件的利潤×銷售量＝總利潤，求出結(jié)果；
（2）此題首先根據(jù)盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40﹣x）＝1200，然后解出即可．
【解答】解：（1）（20+2×4）×（40﹣4）＝1008元．
答：商場每天銷售這種襯衫可以盈利1008元．
（2）設(shè)每件襯衫降價(jià)x元時(shí)，商場每天銷售這種襯衫可以盈利1200元，
根據(jù)題意得：（20+2x）×（40﹣x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
答：每件襯衫降價(jià)10元或20元時(shí)，商場每天銷售這種襯衫可以盈利1200元．
【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意找出題中的等量關(guān)系每件的利潤×銷售量＝總利潤．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?望花區(qū)二模）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克：銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，設(shè)銷售單價(jià)為每干克x元，月銷售利潤可以表示為（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元B．（x﹣40）（10x﹣500）元
C．（x﹣40）（500﹣10x）元D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元
【解答】解：設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，則月銷售利潤＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故選：A．
2．(2023?南岸區(qū)校級模擬）新華商場銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元．市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)．商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，設(shè)每臺(tái)冰箱的降價(jià)x元，則x滿足的關(guān)系式為（ ）
A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
B．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000
C．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
D．（2900﹣x）（8+4×）＝5000
【解答】解：設(shè)每臺(tái)冰箱的降價(jià)x元，依題意得（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000．
故選：B．
4 其他問題
1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
2.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）
答(寫出答案，切忌答非所問).
【例題精選】
例1 (2023秋?斗門區(qū)期末）學(xué)校打算用長16米的籬笆圍成一個(gè)長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠在長為8米的墻上（如圖）．
（1）若生物園的面積為30平方米，求生物園的長和寬．
（2）能否圍成面積為35平方米的生物園？若能，求出長和寬；若不能，請說明理由．
分析：（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（16﹣2x）米，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合生物園的面積為30平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)垂直于墻的一邊長為y米，則平行于墻的一邊長為（16﹣2y）米，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合生物園的面積為35平方米，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式△＜0可得出該方程無解，進(jìn)而可得出不能圍成面積為35平方米的生物園．
【解答】解：（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（16﹣2x）米，
依題意，得：x（16﹣2x）＝30，
整理，得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
當(dāng)x＝3時(shí)，16﹣2x＝10＞8，不合題意，舍去；
當(dāng)x＝5時(shí)，16﹣2x＝6．
答：生物園的長為6米，寬為5米．
（2）不能，理由如下：
設(shè)垂直于墻的一邊長為y米，則平行于墻的一邊長為（16﹣2y）米，
依題意，得：y（16﹣2y）＝35，
整理，得：2y2﹣16y+35＝0．
∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0，
∴原方程無解，
∴不能圍成面積為35平方米的生物園．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
例2 (2023?德陽模擬）某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（ ）
A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035
分析：如果全班有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出（x﹣1）張，共有x名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）張，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同學(xué)，
∴每名同學(xué)要送出（x﹣1）張；
又∵是互送照片，
∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）＝1035．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用．計(jì)算全班共送多少張，首先確定一個(gè)人送出多少張是解題關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?正定縣期末）如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（ ）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，則草坪的長為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，
根據(jù)題意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故選：D．
2．(2023秋?惠城區(qū)期末）有n支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了15場，每兩個(gè)隊(duì)之間只比賽一場，則下列方程中符合題意的是（ ）
A．n（n﹣1）＝15B．n（n+1）＝15C．n（n﹣1）＝30D．n（n+1）＝30
【解答】解：設(shè)有n支球隊(duì)參加籃球比賽，則此次比賽的總場數(shù)為n（n﹣1）場，
根據(jù)題意列出方程得：n（n﹣1）＝15，
整理，得：即n（n﹣1）＝30，
故選：C．
綜合練習(xí)
一．解答題（共7小題）
1．某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染多少臺(tái)電腦？
【解答】解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦感染x臺(tái)，
依題意，得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．
答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦感染11臺(tái)．
2．社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．
（1）求通道的寬是多少米？
（2）該停車場共有車位64個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為200元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每個(gè)車位的月租金每上漲10元，就會(huì)少租出1個(gè)車位，當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，停車場的月租金收入為14400元？
【解答】解：（1）設(shè)甬道的寬為x米，
根據(jù)題意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640
解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：甬道的寬為6米；
（2）設(shè)月租金上漲a元，停車場的月租金收入為14400元，
根據(jù)題意得：（200+a）（64﹣）＝14400
整理，得a2﹣440a+16000＝0
解得：a1＝400（舍去），a2＝40
答：每個(gè)車位的月租金上漲40元時(shí)，停車場的月租金收入為14400元．
3．某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價(jià)的百分率；
（2）若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件？
【解答】解：（1）設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x%，
依題意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：該種商品每次降價(jià)的百分率為10%．
（2）設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件，則第二次降價(jià)后售出該種商品（100﹣m）件，
第一次降價(jià)后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降價(jià)后的單件利潤為：324﹣300＝24（元/件）．
依題意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3210元．第一次降價(jià)后至少要售出該種商品23件．
4．某公園要在一塊長40m，寬30m的長方形空地上建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修三條縱向平行和兩條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為500m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？
【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，
依題意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．
整理，得3x2﹣85x+350＝0．
解得，x1＝5，x2＝．
∵＞30（不合題意，舍去），
∴x＝5．
答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為5米．
5．某公司2016年的生產(chǎn)成本是100萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐年下降，2018年的生產(chǎn)成本是81萬元，若該公司2017、2018年每年生產(chǎn)成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生產(chǎn)成本下降的百分率；
（2）假設(shè)2019年該公司生產(chǎn)成本下降的百分率與前兩次相同，請你預(yù)測2019年該公司的生產(chǎn)成本．
【解答】解：（1）設(shè)每年生產(chǎn)成本的下降率為x，
根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合題意，舍去）．
答：每年生產(chǎn)成本的下降率為10%．
（2）81×（1﹣10%）＝72.9（萬元）．
答：預(yù)測2019該公司的生產(chǎn)成本為72.9萬元．
6．如圖，要利用一面墻（墻長為15米）建羊圈，用30米的圍欄圍成兩個(gè)大小相同的矩形羊圈，設(shè)羊圈的一邊AB為xm，總面積為ym2．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果要圍成總面積為63m2的羊圈，AB的長是多少？
【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），
＝﹣3x2+30x；
（2）當(dāng)y＝63時(shí)﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝7，x2＝3，
當(dāng)x＝7時(shí) 30﹣3x＝9＜15
當(dāng)x＝3時(shí) 30﹣3x＝21＞15 （不合題意，舍去）
答：AB為7m．
7．已知長方形硬紙板ABCD的長BC為40cm，寬CD為30cm，按如圖所示剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm．（紙板的厚度忽略不計(jì)）
（1）EF＝ （30﹣2x） cm，GH＝ （20﹣x） cm；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若折成的長方體盒子底面M的面積為300cm2，求剪掉的小正方形的邊長．
【解答】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案為：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依題意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合題意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的邊長為5cm．

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