1 一元二次方程的定義
1．一元二次方程的概念：
通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要點(diǎn)詮釋：
識別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
要點(diǎn)詮釋：
(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；
(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【例題精選】
例1 (2023秋?邗江區(qū)校級期末）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一個(gè)根是x＝﹣1，則2015﹣a+b的值是（ ）
A．2011B．2015C．2019D．2020
例2 (2023秋?常德期末）將一元二次方程5x2﹣1＝4x化為一般形式，其中一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A．5B．﹣4C．4D．﹣1
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?長春期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根為0，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
2．(2023秋?五華縣期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3
3．(2023秋?開遠(yuǎn)市期末）將一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4

2 直接開平方法
1．直接開方法解一元二次方程：
(1)直接開方法解一元二次方程：
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.
(2)直接開平方法的理論依據(jù)：
平方根的定義.
(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：
①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.
若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
若，則x=O；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
若，則方程無實(shí)數(shù)根．
②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是
.
【例題精選】
例1(2023秋?江城區(qū)期中）解方程4x2﹣13＝12
例2(2023秋?雁塔區(qū)校級月考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣1＝215．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?龍崗區(qū)期中）解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：
①把原方程化為的形式；
②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.
【例題精選】
例1 (2023秋?青浦區(qū)校級期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
例2(2023秋?徐匯區(qū)校級月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023春?沂源縣期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．
2．(2023秋?黃浦區(qū)校級期中）用配方法解方程：2x2﹣8x﹣1＝0
4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.
2.一元二次方程根的判別式
一元二次方程根的判別式：．
①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.
3.用公式法解一元二次方程的步驟
用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：
①把一元二次方程化為一般形式；
②確定a、b、c的值（要注意符號）；
③求出的值；
④若，則利用公式求出原方程的解；
若，則原方程無實(shí)根.
【例題精選】
例1(2023秋?競秀區(qū)期末）小明在解方程x2﹣5x＝1時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答過程是從第________步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是
_______________________________．
（2）寫出此題正確的解答過程．
例2(2023秋?達(dá)川區(qū)期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023春?龍口市期末）以x＝為根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0
2．(2023春?包河區(qū)期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023秋?遼源期末）用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步驟
（1）將方程右邊化為0；
（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；
（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；
（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要點(diǎn)詮釋：
（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次
因式的積；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.
【例題精選】
例1(2023秋?銅陵期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2
例2(2023?洛寧縣三模）解方程
（1）（x﹣1）2＝2
（2）x2﹣7x+6＝0
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?秦皇島一模）方程x2+x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
2．(2023秋?金壇區(qū)期中）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若將左邊分解后有一個(gè)因式是x+3，則p的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
3．(2023秋?寶雞期末）一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的兩根分別為（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
綜合練習(xí)
一．選擇題（共3小題）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根為（ ）
A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2
2．下列一元二次方程中，兩實(shí)數(shù)根之和為2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0
3．如果關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a滿足的條件是（ ）
A．a(chǎn)≠5B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)＞1且a≠5D．a(chǎn)≥1且a≠5
二．解答題（共4小題）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代數(shù)式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若m是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值．
7．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
第1講一元二次方程
1 一元二次方程的定義
1．一元二次方程的概念：
通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要點(diǎn)詮釋：
識別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
要點(diǎn)詮釋：
(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；
(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【例題精選】
例1 (2023秋?邗江區(qū)校級期末）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一個(gè)根是x＝﹣1，則2015﹣a+b的值是（ ）
A．2011B．2015C．2019D．2020
分析：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，然后利用整體代入的方法計(jì)算2015﹣a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，
所以a﹣b＝﹣4，
所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
例2 (2023秋?常德期末）將一元二次方程5x2﹣1＝4x化為一般形式，其中一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A．5B．﹣4C．4D．﹣1
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化為一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次項(xiàng)系數(shù)分別為﹣4．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式，解答本題要通過移項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為一般形式，注意移項(xiàng)時(shí)符號的變化．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?長春期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根為0，則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，
∴a＝±1．
故選：C．
2．(2023秋?五華縣期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次項(xiàng)是﹣2x，常數(shù)項(xiàng)是3，
故選：C．
3．(2023秋?開遠(yuǎn)市期末）將一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4
【解答】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣4，常數(shù)項(xiàng)是﹣1．
故選：C．

2 直接開平方法
1．直接開方法解一元二次方程：
(1)直接開方法解一元二次方程：
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.
(2)直接開平方法的理論依據(jù)：
平方根的定義.
(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：
①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.
若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
若，則x=O；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
若，則方程無實(shí)數(shù)根．
②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是
.
【例題精選】
例1(2023秋?江城區(qū)期中）解方程4x2﹣13＝12
分析：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，兩邊開方，即可求出答案．
【解答】解：移項(xiàng)得：4x2＝13+12，
4x2＝25，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．
例2(2023秋?雁塔區(qū)校級月考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣1＝215．
分析：（1）根據(jù)直接開方法即可求出答案．
（2）根據(jù)直接開方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣25＝0，
∴x﹣2＝±5，
∴x＝7或x＝﹣3；
（2）∵x2﹣1＝215，
∴x2＝216，
∴x＝±6
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?龍崗區(qū)期中）解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
【解答】解：（1）∵x2﹣121＝0，
∴x2＝121，
∴x＝11或x＝﹣11
（2）∵2（x﹣1）2＝338，
∴（x﹣1）2＝169，
∴x﹣1＝±13，
∴x＝14或﹣12；
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：
①把原方程化為的形式；
②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.
【例題精選】
例1 (2023秋?青浦區(qū)校級期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
分析：根據(jù)配方法解方程的步驟依次計(jì)算可得．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，
∴x2﹣3x＝，
∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
則x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
例2(2023秋?徐匯區(qū)校級月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．
分析：根據(jù)配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程化為：x2+x＝，
∴x2+x+＝，
∴（x+）2＝，
∴x＝
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023春?沂源縣期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．
【解答】解：∵﹣2x2+2x＝﹣1，
∴x2﹣x＝，
則x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x＝．
2．(2023秋?黃浦區(qū)校級期中）用配方法解方程：2x2﹣8x﹣1＝0
【解答】解：∵2x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝
∴（x﹣2）2＝，
∴x﹣2＝±，
∴x＝2±

4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.
2.一元二次方程根的判別式
一元二次方程根的判別式：．
①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.
3.用公式法解一元二次方程的步驟
用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：
①把一元二次方程化為一般形式；
②確定a、b、c的值（要注意符號）；
③求出的值；
④若，則利用公式求出原方程的解；
若，則原方程無實(shí)根.
【例題精選】
例1(2023秋?競秀區(qū)期末）小明在解方程x2﹣5x＝1時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答過程是從第________步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是
_______________________________．
（2）寫出此題正確的解答過程．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解法步驟即可求出答案．
（2）根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）故答案為：一，原方程沒有化成一般形式；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
例2(2023秋?達(dá)川區(qū)期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
分析：先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x＝＝，
則x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟記公式x＝是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023春?龍口市期末）以x＝為根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0
【解答】解：A．x2﹣3x﹣c＝0的根為x＝，符合題意；
B．x2+3x﹣c＝0的根為x＝，不符合題意；
C．x2﹣3x+c＝0的根為x＝，不符合題意；
D．x2+3x+c＝0的根為x＝，不符合題意；
故選：A．
2．(2023春?包河區(qū)期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：這里a＝3，b＝5，c＝1，
∵△＝25﹣12＝13，
∴x＝，
故選：A．
3．(2023秋?遼源期末）用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．
【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，
△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步驟
（1）將方程右邊化為0；
（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；
（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；
（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要點(diǎn)詮釋：
（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次
因式的積；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.
【例題精選】
例1(2023秋?銅陵期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2
分析：（1）利用配方法將原方程變形，進(jìn)而得出方程的解；
（2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣4x+4＝5
（x﹣2）2＝5，
則x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2．
2（x﹣3）2﹣（3﹣x）（3+x）＝0，
（3﹣x）[2（3﹣x）﹣（3+x）]＝0，
（3﹣x）（3﹣3x）＝0，
故3﹣x＝0或3﹣3x＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
【點(diǎn)評】此題主要考查了因式分解法解方程以及配方法解方程，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵．
例2(2023?洛寧縣三模）解方程
（1）（x﹣1）2＝2
（2）x2﹣7x+6＝0
分析：（1）根據(jù)直接開平方法解方程即可；
（2）根據(jù)因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）x﹣1＝
∴x1＝1+
x2＝1﹣
（2）（x﹣6）（x﹣1）＝0，
x﹣6＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝6，x2＝1．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握因式分解法和直接開平方法．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?秦皇島一模）方程x2+x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
【解答】解：x2+x＝0
x（x+1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故選：D．
2．(2023秋?金壇區(qū)期中）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若將左邊分解后有一個(gè)因式是x+3，則p的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【解答】解：根據(jù)題意知x2+px﹣6＝（x+3）（x﹣2），
則x2+px﹣6＝x2+x﹣6，
∴p＝1，
故選：B．
3．(2023秋?寶雞期末）一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的兩根分別為（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故選：B．
綜合練習(xí)
一．選擇題（共3小題）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根為（ ）
A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2
【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，
﹣x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故選：B．
2．下列一元二次方程中，兩實(shí)數(shù)根之和為2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的兩根之和為﹣2，不符合題意；
B．方程x2﹣x﹣＝0的兩根之和為2，符合題意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的兩根之和為﹣2，不符合題意；
D．方程x2﹣2＝0的兩根之和為0，不符合題意；
故選：B．
3．如果關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a滿足的條件是（ ）
A．a(chǎn)≠5B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)＞1且a≠5D．a(chǎn)≥1且a≠5
【解答】解：由題意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，
解得：a≥1且a≠5，
故選：D．
二．解答題（共4小題）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代數(shù)式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2
＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2
∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若m是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值．
【解答】（1）證明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵m是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m2+（m+3）m+m+1＝0．
整理得：2m2+4m+1＝0
解得：m＝．
7．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；
分解因式得：x（3x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）（x﹣1）2＝4；
開方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（3）x2+2x﹣5＝0，
配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，
開方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝2.5；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
方程整理得：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
解得：x1＝，x2＝．

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