1 點與圓的位置關(guān)系
1．點和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有




【例題精選】
例1 (2023春?西湖區(qū)校級月考）平面內(nèi)有兩點P，O，⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內(nèi)D．無法判斷
例2 (2023秋?白云區(qū)期末）已知點C為線段AB延長線上的一點，以A為圓心，AC長為半徑作⊙A，則點B與⊙A的位置關(guān)系為（ ）
A．點B在⊙A上B．點B在⊙A外C．點B在⊙A內(nèi)D．不能確定
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?溫州期末）已知⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O上，則OP的長為（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
2．(2023秋?天河區(qū)期末）已知⊙O的半徑為6，點A與點O的距離為5，則點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在圓外B．點A在圓內(nèi)C．點A在圓上D．不確定
2直線與圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】
例1(2023?閩侯縣模擬）已知⊙O的半徑為7，直線l與⊙O相交，點O到直線l的距離為4，則⊙O上到直線l的距離為3的點共有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
例2 (2023?射陽縣一模）圓的直徑是8cm，若圓心與直線的距離是4cm，則該直線和圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?江岸區(qū)校級模擬）已知⊙O的半徑為4，點O到直線m的距離為3，則直線m與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．不確定
2．(2023?溫州模擬）已知⊙O的半徑為6cm，圖心O到直線a的距離為6cm，則直線a與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
3．(2023?夷陵區(qū)模擬）圓的直徑是10cm，若圓心與直線的距離是5cm，則該直線和圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
4．(2023秋?邗江區(qū)校級期末）已知圓O的半徑是4，圓心O到直線L的距離d＝6，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法判斷

3正多邊形和圓
各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．
要點詮釋：
判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2.正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
3.正多邊形的有關(guān)計算
(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.
【例題精選】
例1 (2023?高州市模擬）如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．△OAB是等邊三角形
B．OC平分弦AB
C．∠BAC＝30°
D．弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長
例2 (2023?雙柏縣二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接BD．則∠CDB的度數(shù)是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?寧波模擬）若正n邊形的一個內(nèi)角為135°，那么n的值為（ ）
A．12B．10C．8D．7
2．(2023?柯橋區(qū)模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P是上的任意一點，則∠APB的大小是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，M的坐標(biāo)為（3，5），則B的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，5）B．（0，7）C．（0，8）D．（0，9）
2．已知⊙O的半徑為4cm．若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（ ）
A．在⊙O內(nèi)
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定
3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點，則以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
二．解答題
5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長
6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結(jié)AC．
（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．
（2）當(dāng)AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．
7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足＝，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．
8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半徑的長．
9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE＝2，求△ABC的面積．
第8講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1 點與圓的位置關(guān)系
1．點和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有




【例題精選】
例1 (2023春?西湖區(qū)校級月考）平面內(nèi)有兩點P，O，⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內(nèi)D．無法判斷
分析：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時，點P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r＝d時，點P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時，點P在⊙O外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴點P與⊙O的位置關(guān)系是點P在⊙O內(nèi)，
故選：C．
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知圓O的半徑為r，點P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時，點P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r＝d時，點P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時，點P在⊙O外．
例2 (2023秋?白云區(qū)期末）已知點C為線段AB延長線上的一點，以A為圓心，AC長為半徑作⊙A，則點B與⊙A的位置關(guān)系為（ ）
A．點B在⊙A上B．點B在⊙A外C．點B在⊙A內(nèi)D．不能確定
分析：根據(jù)題意確定AC＞AB，從而確定點與圓的位置關(guān)系即可．
【解答】解：∵點C為線段AB延長線上的一點，
∴AC＞AB，
∴以A為圓心，AC長為半徑作⊙A，則點B與⊙A的位置關(guān)系為點B在⊙A內(nèi)，
故選：C．
【點評】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d＝r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?溫州期末）已知⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O上，則OP的長為（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【解答】解：∵點P在⊙O上，
∴OP＝r＝5cm，
故選：B．
2．(2023秋?天河區(qū)期末）已知⊙O的半徑為6，點A與點O的距離為5，則點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在圓外B．點A在圓內(nèi)C．點A在圓上D．不確定
【解答】解：∵OA＜R，
∴點A在圓內(nèi)，
故選：B．
2直線與圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】
例1(2023?閩侯縣模擬）已知⊙O的半徑為7，直線l與⊙O相交，點O到直線l的距離為4，則⊙O上到直線l的距離為3的點共有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
分析：根據(jù)平行線間的距離相等，先過點D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直線l的距離為3的點的個數(shù)．
【解答】解：如圖，
∵⊙O的半徑為7，點O到直線l的距離為4，
∴CE＝3，
過點D作AB⊥OC，垂足為D，交⊙O于A、B兩點，且DE＝3，
∴⊙O上到直線l的距離為3的點為A、B、C，
故選：C．
【點評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．
例2 (2023?射陽縣一模）圓的直徑是8cm，若圓心與直線的距離是4cm，則該直線和圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
分析：由⊙O的直徑為8cm，得出圓的半徑是4cm，圓心O到直線l的距離為4cm，即d＝4cm，得出d＝r，即可得出直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切．
【解答】解：∵⊙O的直徑為8cm，
∴r＝4cm，
∵d＝4cm，
∴d＝r，
∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切．
故選：B．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系；若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，d＞r時，圓和直線相離；d＝r時，圓和直線相切；d＜r時，圓和直線相交．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?江岸區(qū)校級模擬）已知⊙O的半徑為4，點O到直線m的距離為3，則直線m與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．不確定
【解答】解：∵d＝3＜半徑＝4，
∴直線與圓相交，
故選：B．
2．(2023?溫州模擬）已知⊙O的半徑為6cm，圖心O到直線a的距離為6cm，則直線a與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
【解答】解：∵⊙0的半徑為6cm，點O到直線a的距離為6cm，
6＝6，
∴⊙O與直線a的位置關(guān)系是相切，
故選：B．
3．(2023?夷陵區(qū)模擬）圓的直徑是10cm，若圓心與直線的距離是5cm，則該直線和圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
【解答】解：圓的直徑為10cm，則圓的半徑為5cm，
由圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線和圓相切．
故選：B．
4．(2023秋?邗江區(qū)校級期末）已知圓O的半徑是4，圓心O到直線L的距離d＝6，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法判斷
【解答】解：根據(jù)圓心到直線的距離6大于圓的半徑4，則直線和圓相離．
故選：A．

3正多邊形和圓
各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．
要點詮釋：
判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2.正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
3.正多邊形的有關(guān)計算
(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.
【例題精選】
例1 (2023?高州市模擬）如圖，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．△OAB是等邊三角形
B．OC平分弦AB
C．∠BAC＝30°
D．弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長
分析：根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和圓的相關(guān)概念對四個選項逐一進行分析．
【解答】解：A、∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，∴△ABO為等邊三角形，故A正確；
B、∵OA＝AB，OC⊥AB，∴OC平分弦AB；故B正確；
C、根據(jù)圓周角定理，圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)的一半，∠BAC＝∠BOC＝×∠BOA＝×60°＝15°，故C錯誤．
D、因為OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理可知，＝；再根據(jù)A中結(jié)論，弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長，故D正確；
故選：C．
【點評】此題主要考查正多邊形和圓的計算問題，屬于常規(guī)題，要注意圓周角定理的應(yīng)用．
例2 (2023?雙柏縣二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接BD．則∠CDB的度數(shù)是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
分析：根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和求得∠BCD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵在正六邊形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故選：D．
【點評】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?寧波模擬）若正n邊形的一個內(nèi)角為135°，那么n的值為（ ）
A．12B．10C．8D．7
【解答】解：∵正n邊形的一個內(nèi)角為135°，
∴正n邊形的一個外角為180°﹣135°＝45°，
∴n＝360°÷45°＝8．
故選：C．
2．(2023?柯橋區(qū)模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P是上的任意一點，則∠APB的大小是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：連接OA、OB、如圖所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故選：B．
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，M的坐標(biāo)為（3，5），則B的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，5）B．（0，7）C．（0，8）D．（0，9）
【解答】解：過M作MN⊥y軸，連接BM，
∵圓M與x軸相切，M（3，5），
∴ON＝AM＝5，MN＝3，
設(shè)BC＝x，則BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，
在Rt△BMN中，
根據(jù)勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，
解得：x＝9（x＝1不符合題意，舍去），
則B（0，9），
故選：D．
2．已知⊙O的半徑為4cm．若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（ ）
A．在⊙O內(nèi)
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定
【解答】解：∵點P到圓心的距離為3cm，
而⊙O的半徑為4cm，
∴點P到圓心的距離小于圓的半徑，
∴點P在圓內(nèi)，
故選：A．
3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點，則以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
【解答】解：過點C作CM⊥AB于點M，交DE于點N，
∴CM×AB＝AC×BC，
∴CM＝＝4.8，
∵D、E分別是AC、BC的中點，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∴CN＝MN＝CM，
∴MN＝2.4，
∵以DE為直徑的圓半徑為2.5，
∴r＝2.5＞2.4，
∴以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是：相交．
故選：B．
4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
【解答】解：∵MA切⊙O于點A，
∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，
∵MA、MB分別切⊙O于點A、B，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠MBA，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，
故選：D．
二．解答題
5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長
【解答】（1）證明：連接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC為⊙O的切線；
（2）連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結(jié)AC．
（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．
（2）當(dāng)AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．
【解答】（1）當(dāng)AC滿足平分∠BAD條件時，有AD⊥CD，
證明：連接BC，
則∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，
∵CD是圓O的切線，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
即∠ADC＝90°，AD⊥CD；
（2）解：連結(jié)OC、OF．
∵CD切⊙O于C點，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC．
∴AC平分∠BAD，
∴CD＝CE，
∵OA＝5，CD＝4，
∴OC＝OA＝5，CE＝4，
∵CF⊥AB，
∴CF＝2CEOE＝＝＝3，
∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，
故△OCF面積為12cm2．
7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足＝，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于點C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＝30°，
∵△AEC為直角三角形，AE＝3，
∴AC＝2，
連接OF，
∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，
∴△OAF為等邊三角形，
∴AF＝OA＝AB，
在Rt△ACB中，AC＝2，∠CBA＝60°，
∴AB＝＝＝4，
∴AF＝2．
8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半徑的長．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵點C為弧BF的中點，
∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：由勾股定理得AD＝5，
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∠D＝∠D，
∴△OCD∽△AED，
∴，
即，
解得r＝，
∴⊙O的半徑長為．
9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE＝2，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）
連接OD．
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB＝90°
∴∠B+∠BAD＝90°
∵AO＝DO
∴∠BAD＝∠ADO
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADO+∠ADE＝∠BAD+∠B＝90°，
即∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線．
（2）由（1）知，∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴AD是△ABC的中線
∴點D是BC的中點
又∵OB＝OA
∴DO是△ABC的中位線
∵⊙O的半徑為5
∴AC＝2DO＝10
∵CE＝2
∴AE＝AC﹣CE＝8
∵DO是△ABC的中位線
∴DO∥AC
∴∠EDO+∠AED＝180°
∴∠AED＝90°
∴∠AED＝∠DEC＝90°
∴∠EDC+∠C＝90°
∵ADC＝180°﹣∠ADB＝90°
∴∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠C
∵∠AED＝∠DEC，∠ADE＝∠C
∴△AED～△DEC
∴即
∴DE＝4
∴S△ADC＝AC?DE＝20
∵AD是△ABC的中線
∴S△ABC＝2S△ADC＝40

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