1 根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
要點(diǎn)詮釋：
1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：
(1)不解方程判定方程根的情況；
(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
(3)解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
【例題精選】
例1 (2023?漢陽區(qū)校級(jí)模擬）已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是_______.
例2(2023秋?五華縣期末）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根，則x1+x2+2x1x2的值為________．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?金平區(qū)一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個(gè)根為﹣3，則另一根為（ ）
A．1B．﹣2C．2D．3
2．(2023秋?滄州期末）下列方程中，滿足兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和等于3的方程是（ ）
A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝0
2增長率問題
列一元二次方程解決增長(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.
(1)增長率問題：
平均增長率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)
(2)降低率問題：
平均降低率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)
【例題精選】
例1 (2023?晉安區(qū)一模）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本從兩年前的100元，下降到現(xiàn)在的 64 元，求年平均下降率．設(shè)年平均下降率為 x，通過解方程得到一個(gè)根為1.8，則正確的解釋是（ ）
A．年平均下降率為80%，符合題意
B．年平均下降率為18%，符合題意
C．年平均下降率為1.8%，不符合題意
D．年平均下降率為180%，不符合題意
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?江油市期末）一種藥品原價(jià)每盒25元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒16元，設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x，則x滿足等式（ ）
A．16（1+2x）＝25B．25（1﹣2x）＝16
C．25（1﹣x）2＝16D．16（1+x）2＝25
2．(2023?三明模擬）受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，“快遞業(yè)”成為我國經(jīng)濟(jì)的一匹“黑馬”，2016年我國快遞業(yè)務(wù)量為300億件，2018年快遞量將達(dá)到450億件，若設(shè)快遞量平均每年增長率為x，則下列方程中，正確的是（ ）
A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450
C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300
3．(2023?渝中區(qū)校級(jí)一模）我市某樓盤準(zhǔn)備以每平方10000元的均價(jià)對(duì)外銷售由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過連續(xù)兩次下調(diào)后，決定以每平方8100元的均價(jià)開盤銷售，則平均每次下調(diào)的百分率是（ ）
A．8%B．9%C．10%D．11%
3利潤問題
利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：
利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)
總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

【例題精選】
例1(2023秋?龍崗區(qū)期末）某超市經(jīng)銷一種成本為40元/kg的水產(chǎn)品，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單位每漲0.1元，月銷售量就減少1kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，超市在月成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，請(qǐng)你幫忙算算，銷售單價(jià)定為多少？
例2 (2023秋?澧縣期末）某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號(hào)的汽車．已知該型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為15萬元/輛，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該型號(hào)汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低1萬元，平均每周多售出2輛．
（1）當(dāng)售價(jià)為22萬元/輛時(shí)，平均每周的銷售利潤為_______萬元；
（2）若該店計(jì)劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價(jià)．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?清江浦區(qū)期末）某商場銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價(jià)5元出售，其銷售量就減少100件．如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優(yōu)惠，那么這種襯衫應(yīng)提價(jià)多少元？
（1）設(shè)這種襯衫應(yīng)提價(jià)x元，則這種襯衫的銷售價(jià)為________元，銷售量為________件．
（2）列方程并完成本題的解答．
4 其他問題
1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
2.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）
答(寫出答案，切忌答非所問).
【例題精選】
例1 (2023秋?大渡口區(qū)期末）為了宣傳垃圾分類，童威寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則n的值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?諸城市期末）如圖，把長40cm，寬30cm的長方形紙板剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計(jì)），若折成長方體盒子的表面積是950cm2，則x的值是（ ）
A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm
綜合練習(xí)
一．解答題（共7小題）
1．某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染多少臺(tái)電腦？
2．社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．
（1）求通道的寬是多少米？
（2）該停車場共有車位64個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為200元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每個(gè)車位的月租金每上漲10元，就會(huì)少租出1個(gè)車位，當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，停車場的月租金收入為14400元？
3．某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價(jià)的百分率；
（2）若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件？
4．某公園要在一塊長40m，寬30m的長方形空地上建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修三條縱向平行和兩條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為500m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？
5．某公司2016年的生產(chǎn)成本是100萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐年下降，2018年的生產(chǎn)成本是81萬元，若該公司2017、2018年每年生產(chǎn)成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生產(chǎn)成本下降的百分率；
（2）假設(shè)2019年該公司生產(chǎn)成本下降的百分率與前兩次相同，請(qǐng)你預(yù)測2019年該公司的生產(chǎn)成本．
6．如圖，要利用一面墻（墻長為15米）建羊圈，用30米的圍欄圍成兩個(gè)大小相同的矩形羊圈，設(shè)羊圈的一邊AB為xm，總面積為ym2．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果要圍成總面積為63m2的羊圈，AB的長是多少？
7．已知長方形硬紙板ABCD的長BC為40cm，寬CD為30cm，按如圖所示剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm．（紙板的厚度忽略不計(jì)）
（1）EF＝ cm，GH＝ cm；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若折成的長方體盒子底面M的面積為300cm2，求剪掉的小正方形的邊長．
第2講 一元二次方程的實(shí)際問題
1 根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
要點(diǎn)詮釋：
1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：
(1)不解方程判定方程根的情況；
(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
(3)解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
(2)已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
【例題精選】
例1 (2023?漢陽區(qū)校級(jí)模擬）已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是_______.
分析：設(shè)另一根為a，直接利用根與系數(shù)的關(guān)系可得到關(guān)于a的方程，則可求得答案．
【解答】解：
設(shè)方程的另一根為a，
∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，
∴﹣3+a＝4，解得a＝7，
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題有要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．
例2(2023秋?五華縣期末）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根，則x1+x2+2x1x2的值為________．
分析：先利用根與系數(shù)的關(guān)系式求得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，再整體代入即可求解．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根
∴x1+x2＝﹣＝2，x1x2＝＝﹣1
∴x1+x2+2x1x2＝2﹣2＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．要掌握根與系數(shù)的關(guān)系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?金平區(qū)一模）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個(gè)根為﹣3，則另一根為（ ）
A．1B．﹣2C．2D．3
【解答】解：設(shè)方程x2+kx﹣3＝0的另一個(gè)根為a，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個(gè)根為﹣3，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
即方程的另一個(gè)根為1，
故選：A．
2．(2023秋?滄州期末）下列方程中，滿足兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和等于3的方程是（ ）
A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝0
【解答】解：滿足兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和等于3的方程是2x2﹣6x﹣5＝0，
故選：D．
2增長率問題
列一元二次方程解決增長(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.
(1)增長率問題：
平均增長率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)
(2)降低率問題：
平均降低率公式為 (a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)
【例題精選】
例1 (2023?晉安區(qū)一模）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本從兩年前的100元，下降到現(xiàn)在的 64 元，求年平均下降率．設(shè)年平均下降率為 x，通過解方程得到一個(gè)根為1.8，則正確的解釋是（ ）
A．年平均下降率為80%，符合題意
B．年平均下降率為18%，符合題意
C．年平均下降率為1.8%，不符合題意
D．年平均下降率為180%，不符合題意
分析：等量關(guān)系為：2年前的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率）2＝現(xiàn)在的生產(chǎn)成本，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)年平均下降率為 x，
則可得：100（1﹣x）2＝64，
通過解方程得到一個(gè)根為1.8，即x＝1.8＝180%，
所以年平均下降率為180%，不符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握增長率問題的計(jì)算公式：變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?江油市期末）一種藥品原價(jià)每盒25元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每盒16元，設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x，則x滿足等式（ ）
A．16（1+2x）＝25B．25（1﹣2x）＝16
C．25（1﹣x）2＝16D．16（1+x）2＝25
【解答】解：第一次降價(jià)后的價(jià)格為：25×（1﹣x）；
第二次降價(jià)后的價(jià)格為：25×（1﹣x）2；
∵兩次降價(jià)后的價(jià)格為16元，
∴25（1﹣x）2＝16．
故選：C．
2．(2023?三明模擬）受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，“快遞業(yè)”成為我國經(jīng)濟(jì)的一匹“黑馬”，2016年我國快遞業(yè)務(wù)量為300億件，2018年快遞量將達(dá)到450億件，若設(shè)快遞量平均每年增長率為x，則下列方程中，正確的是（ ）
A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450
C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300
【解答】解：設(shè)快遞量平均每年增長率為x，
依題意，得：300（1+x）2＝450．
故選：C．
3．(2023?渝中區(qū)校級(jí)一模）我市某樓盤準(zhǔn)備以每平方10000元的均價(jià)對(duì)外銷售由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過連續(xù)兩次下調(diào)后，決定以每平方8100元的均價(jià)開盤銷售，則平均每次下調(diào)的百分率是（ ）
A．8%B．9%C．10%D．11%
【解答】解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率是x，
依題意，得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
故選：C．
3利潤問題
利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：
利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)
總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

【例題精選】
例1(2023秋?龍崗區(qū)期末）某超市經(jīng)銷一種成本為40元/kg的水產(chǎn)品，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單位每漲0.1元，月銷售量就減少1kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，超市在月成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，請(qǐng)你幫忙算算，銷售單價(jià)定為多少？
分析：先根據(jù)銷售利潤＝每件利潤×數(shù)量，再設(shè)出單價(jià)應(yīng)定為x元，再根據(jù)這個(gè)等式列出方程，即可求出答案．
【解答】解：設(shè)銷售單價(jià)定為x元，根據(jù)題意得：
（x﹣40）[500﹣（x﹣50）÷0.1]＝8000．
解得：x1＝60，x2＝80
當(dāng)售價(jià)為60時(shí)，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40＝16000＞10000，所以舍去．
當(dāng)售價(jià)為80時(shí)，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40＝8000＜10000．
答：銷售單價(jià)定為80元．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)銷售利潤＝每件利潤×數(shù)量這個(gè)等式列出方程是解決本題的關(guān)鍵．
例2 (2023秋?澧縣期末）某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號(hào)的汽車．已知該型號(hào)汽車的進(jìn)價(jià)為15萬元/輛，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該型號(hào)汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低1萬元，平均每周多售出2輛．
（1）當(dāng)售價(jià)為22萬元/輛時(shí)，平均每周的銷售利潤為_______萬元；
（2）若該店計(jì)劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價(jià)．
分析：（1）根據(jù)銷售價(jià)減去進(jìn)價(jià)等于利潤，單件的利潤乘以銷售量即可求解；
（2）根據(jù)銷售利潤等于單件利潤乘以總銷售量即為總利潤．
【解答】（1）根據(jù)題意，得（22﹣15）（8+6）＝98．
故答案為98．
（2）設(shè)每輛汽車降價(jià)x萬元，則售價(jià)為（25﹣x）萬元，根據(jù)題意，得
（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90
整理，得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1，x2＝5．
為了盡快減少庫存，x＝5，25﹣x＝20．
答：每輛汽車的售價(jià)為20萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銷售問題的數(shù)量關(guān)系．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?清江浦區(qū)期末）某商場銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價(jià)5元出售，其銷售量就減少100件．如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優(yōu)惠，那么這種襯衫應(yīng)提價(jià)多少元？
（1）設(shè)這種襯衫應(yīng)提價(jià)x元，則這種襯衫的銷售價(jià)為________元，銷售量為________件．
（2）列方程并完成本題的解答．
【解答】解：（1）設(shè)這種襯衫應(yīng)提價(jià)x元，則這種襯衫的銷售價(jià)為（60+x）元，
銷售量為（800﹣x）＝（800﹣20x）件．
故答案為（60+x）、（800﹣20x）．
（2）根據(jù)（1）得：
（60+x﹣50）（800﹣20x）＝12000
整理，得x2﹣30x+200＝0
解得：x1＝10，x2＝20．
為使顧客獲得更多的優(yōu)惠，
所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．
答：這種襯衫應(yīng)提價(jià)10元，則這種襯衫的銷售價(jià)為70元，銷售量為600件．
4 其他問題
1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
2.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）
答(寫出答案，切忌答非所問).
【例題精選】
例1 (2023秋?大渡口區(qū)期末）為了宣傳垃圾分類，童威寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類推．已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則n的值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
分析：根據(jù)傳播規(guī)則結(jié)合經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：依題意，得：1+n+n2＝111，
解得：n1＝10，n2＝﹣11．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?諸城市期末）如圖，把長40cm，寬30cm的長方形紙板剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計(jì)），若折成長方體盒子的表面積是950cm2，則x的值是（ ）
A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm
【解答】解：依題意，得：40×30﹣2x2﹣2x?（x+）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合題意，舍去）．
故選：D．
綜合練習(xí)
一．解答題（共7小題）
1．某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪被感染后就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染多少臺(tái)電腦？
【解答】解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦感染x臺(tái)，
依題意，得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．
答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦感染11臺(tái)．
2．社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．
（1）求通道的寬是多少米？
（2）該停車場共有車位64個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為200元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每個(gè)車位的月租金每上漲10元，就會(huì)少租出1個(gè)車位，當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，停車場的月租金收入為14400元？
【解答】解：（1）設(shè)甬道的寬為x米，
根據(jù)題意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640
解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：甬道的寬為6米；
（2）設(shè)月租金上漲a元，停車場的月租金收入為14400元，
根據(jù)題意得：（200+a）（64﹣）＝14400
整理，得a2﹣440a+16000＝0
解得：a1＝400（舍去），a2＝40
答：每個(gè)車位的月租金上漲40元時(shí)，停車場的月租金收入為14400元．
3．某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元/件，并且兩次降價(jià)的百分率相同．
（1）求該種商品每次降價(jià)的百分率；
（2）若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件，兩次降價(jià)共售出此種商品100件，為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件？
【解答】解：（1）設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x%，
依題意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：該種商品每次降價(jià)的百分率為10%．
（2）設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件，則第二次降價(jià)后售出該種商品（100﹣m）件，
第一次降價(jià)后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降價(jià)后的單件利潤為：324﹣300＝24（元/件）．
依題意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：為使兩次降價(jià)銷售的總利潤不少于3210元．第一次降價(jià)后至少要售出該種商品23件．
4．某公園要在一塊長40m，寬30m的長方形空地上建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修三條縱向平行和兩條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為500m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？
【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，
依題意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．
整理，得3x2﹣85x+350＝0．
解得，x1＝5，x2＝．
∵＞30（不合題意，舍去），
∴x＝5．
答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為5米．
5．某公司2016年的生產(chǎn)成本是100萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐年下降，2018年的生產(chǎn)成本是81萬元，若該公司2017、2018年每年生產(chǎn)成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生產(chǎn)成本下降的百分率；
（2）假設(shè)2019年該公司生產(chǎn)成本下降的百分率與前兩次相同，請(qǐng)你預(yù)測2019年該公司的生產(chǎn)成本．
【解答】解：（1）設(shè)每年生產(chǎn)成本的下降率為x，
根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合題意，舍去）．
答：每年生產(chǎn)成本的下降率為10%．
（2）81×（1﹣10%）＝72.9（萬元）．
答：預(yù)測2019該公司的生產(chǎn)成本為72.9萬元．
6．如圖，要利用一面墻（墻長為15米）建羊圈，用30米的圍欄圍成兩個(gè)大小相同的矩形羊圈，設(shè)羊圈的一邊AB為xm，總面積為ym2．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如果要圍成總面積為63m2的羊圈，AB的長是多少？
【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），
＝﹣3x2+30x；
（2）當(dāng)y＝63時(shí)﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝7，x2＝3，
當(dāng)x＝7時(shí) 30﹣3x＝9＜15
當(dāng)x＝3時(shí) 30﹣3x＝21＞15 （不合題意，舍去）
答：AB為7m．
7．已知長方形硬紙板ABCD的長BC為40cm，寬CD為30cm，按如圖所示剪掉2個(gè)小正方形和2個(gè)小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm．（紙板的厚度忽略不計(jì)）
（1）EF＝ （30﹣2x） cm，GH＝ （20﹣x） cm；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若折成的長方體盒子底面M的面積為300cm2，求剪掉的小正方形的邊長．
【解答】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案為：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依題意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合題意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的邊長為5cm．

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