1 反比例函數(shù)的定義
一、反比例函數(shù)的定義
函數(shù)（為常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)，是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．
【例題精選】
例1 (2023?新賓縣四模）下列函數(shù)是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
例2(2023秋?道里區(qū)期末）下列說法中，兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（ ）
A．商一定，被除數(shù)與除數(shù)
B．比例尺一定，圖上距離與實(shí)際距離
C．圓錐的體積一定，圓錐的底面積和高
D．圓柱的底面積一定，圓柱的體積和高
【隨堂練習(xí)】
1．(2023春?甘南縣期中）下列各選項(xiàng)中，兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（ ）
A．正方形的邊長(zhǎng)和面積
B．圓的周長(zhǎng)一定，它的直徑和圓周率
C．速度一定，路程和時(shí)間
D．總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量
2．(2023春?泰興市校級(jí)月考）下列函數(shù)：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
3．(2023秋?大通區(qū)期末）下列關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y＝5xB．C．D．y＝x2﹣3
2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨著的不斷增大（或減?。┰絹?lái)越接近坐標(biāo)軸，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．
反比例函數(shù)與（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱．
反比例函數(shù)的性質(zhì)
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．
注意：
⑴反比例函數(shù)（）的取值范圍是．因此，
①圖象是斷開的兩條曲線，畫圖象時(shí)，不要把兩個(gè)分支連接起來(lái)．
②敘述反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一定要加上“在每一個(gè)象限內(nèi)”，
如當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小．
這是由于，即或的緣故．
如果籠統(tǒng)地?cái)⑹鰹闀r(shí)，隨的增大而增大就是錯(cuò)誤的．
⑵由于反比例函數(shù)中自變量和函數(shù)的值都不能為零，所以圖象和軸、軸都沒有交點(diǎn)，但畫圖時(shí)要體現(xiàn)出圖象和坐標(biāo)軸無(wú)限貼近的趨勢(shì)．
⑶在畫出的圖象上要注明函數(shù)的解析式．
【例題精選】
例1(2023?徐州二模）如果反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ）
A．﹣3B．2C．0D．﹣1
例2(2023?南崗區(qū)校級(jí)三模）已知反比例函數(shù)，在下列結(jié)論中，不正確的是（ ）
A．圖象必經(jīng)過點(diǎn)（4，）
B．圖象過第一、三象限
C．若x＜﹣1，則y＞﹣6
D．點(diǎn) A（x1，y1）、B（x2，y2）是圖象上的兩點(diǎn)，x1＜0＜x2，則y1＞y2
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?道外區(qū)二模）反比例函數(shù)y＝的圖象，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍為（ ）
A．k≥2B．k≤﹣2C．k＞2D．k＜﹣2
2．(2023?夷陵區(qū)模擬）已知反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)，則k的值不可能是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣
3．(2023?衡水模擬）已知反比例函數(shù)圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．k＞0
B．y隨x的增大而減小
C．若矩形OABC面積為2，則k＝2
D．若圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），則y1＜y2
3 k的幾何意義
反比例函數(shù)的幾何意義
1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為
2.如圖，四條雙曲線、、、對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：、、、，那么、、、的大小順序?yàn)?br>【例題精選】
例1(2023?臥龍區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y＝上的一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，△POD的面積為k，則函數(shù)y＝kx﹣1的圖象為（ ）
A．B．
C．D．
例2(2023?陽(yáng)谷縣校級(jí)模擬）反比例函數(shù)圖象的一支如圖所示，△POM的面積為2，則該函數(shù)的解析式是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?洪山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線y＝kx（k＞0）與雙曲線y＝交于A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于C，連接AC交y軸于D，下列結(jié)論：①A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②△ABC的面積為定值；③D是AC的中點(diǎn)；④S△AOD＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．(2023秋?歷下區(qū)期末）反比例函數(shù)如圖所示，則矩形OAPB的面積是______．
4反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例題精選】
例1(2023?溫州一模）一款便攜式音箱以鋰電池作為電源，該電池的電壓為定值，工作時(shí)電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則當(dāng)電阻R為4Ω時(shí)，電流I為（ ）
A．6AB．AC．1AD．A
例2(2023?樂清市一模）公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來(lái)人們把它歸納為“杠桿原理”，即：阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂．小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是1500N和0.4m，則動(dòng)力F（單位：N）關(guān)于動(dòng)力臂L（單位：m）的函數(shù)解析式正確的是（ ）
A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?石家莊模擬）已知甲、乙兩地相距30千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時(shí)間t（單位：小時(shí)）關(guān)于行駛速度v（單位：千米/小時(shí)）的函數(shù)圖象為（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023?江岸區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙兩地相距200千米，則汽車從甲地到乙地所用的時(shí)間y（h）與汽車的平均速度x（km/h）之間的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝200xB．x＝200yC．y＝D．y﹣200＝x
3．(2023秋?競(jìng)秀區(qū)期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過6A，那么用電器的可變電阻R應(yīng)控制在（ ）
A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．若點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
2．如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一點(diǎn)P，過P作PA⊥x軸，垂足為A，則△POA的面積是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
3．反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣1），則下列點(diǎn)一定在其圖象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
4．如圖，將邊長(zhǎng)為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標(biāo)系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），作CD⊥OB于點(diǎn)D，若點(diǎn)C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，則k的值為（ ）
A．9B．18C．25D．9
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，則k的值為（ ）
A．1B．C．2D．3
二．解答題
6．如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）兩點(diǎn)．
（1）求直線的解析式；
（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．
7．如圖，已知反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函數(shù)解析式；
（2）求△AOB的面積．
8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y1＝mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，m≠﹣n）與反比例函數(shù)y2＝．
（1）若y1與y2的圖象有交點(diǎn)（1，5），且n＝4m，當(dāng)y1≥5時(shí)，y2的取值范圍；
（2）若y1與y2的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；
（2）根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在x軸上，求PA+PB的最小值．
第10講反比例函數(shù)
1 反比例函數(shù)的定義
一、反比例函數(shù)的定義
函數(shù)（為常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)，是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．
【例題精選】
例1 (2023?新賓縣四模）下列函數(shù)是y關(guān)于x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
分析：直接利用反比例函數(shù)的定義分別判斷得出答案．
【解答】解：A、y＝是y與x+1成反比例，故此選項(xiàng)不合題意；
B、y＝，是y與x2成反比例，不符合反比例函數(shù)的定義，故此選項(xiàng)不合題意；
C、y＝﹣，符合反比例函數(shù)的定義，故此選項(xiàng)符合題意；
D、y＝﹣是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
例2(2023秋?道里區(qū)期末）下列說法中，兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（ ）
A．商一定，被除數(shù)與除數(shù)
B．比例尺一定，圖上距離與實(shí)際距離
C．圓錐的體積一定，圓錐的底面積和高
D．圓柱的底面積一定，圓柱的體積和高
分析：根據(jù)反比例函數(shù)定義進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、＝商一定，故兩個(gè)量成正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
B、，不成反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
C、圓錐的體積＝圓錐的底面積×高，圓錐的體積一定，圓錐的底面積和高成反比例關(guān)系，故此選項(xiàng)合題意；
D、＝圓柱的底面積一定，圓柱的體積和高成正比例關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023春?甘南縣期中）下列各選項(xiàng)中，兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（ ）
A．正方形的邊長(zhǎng)和面積
B．圓的周長(zhǎng)一定，它的直徑和圓周率
C．速度一定，路程和時(shí)間
D．總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量
【解答】解：A、正方形的面積＝（邊長(zhǎng)）2，兩個(gè)量不成反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
B、圓的周長(zhǎng)C＝2πr，周長(zhǎng)一定，圓周率一定，不成反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；
C、路程＝速度×?xí)r間，速度一定，路程和時(shí)間成正比例關(guān)系，故此選項(xiàng)不合題意；
D、總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2．(2023春?泰興市校級(jí)月考）下列函數(shù)：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【解答】解：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函數(shù)的是：②y＝，③y＝x﹣1，共2個(gè)．
故選：C．
3．(2023秋?大通區(qū)期末）下列關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y＝5xB．C．D．y＝x2﹣3
【解答】解：選項(xiàng)A是正比例函數(shù)，不符合題意；
選項(xiàng)B可化為y＝3x（x不為0），不是反比例函數(shù)，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，是反比例函數(shù)，符合題意；
選項(xiàng)D是二次函數(shù)，不符合題意．
綜上，只有C正確．
故選：C．
2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨著的不斷增大（或減?。┰絹?lái)越接近坐標(biāo)軸，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．
反比例函數(shù)與（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱．
反比例函數(shù)的性質(zhì)
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．
注意：
⑴反比例函數(shù)（）的取值范圍是．因此，
①圖象是斷開的兩條曲線，畫圖象時(shí)，不要把兩個(gè)分支連接起來(lái)．
②敘述反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一定要加上“在每一個(gè)象限內(nèi)”，
如當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小．
這是由于，即或的緣故．
如果籠統(tǒng)地?cái)⑹鰹闀r(shí)，隨的增大而增大就是錯(cuò)誤的．
⑵由于反比例函數(shù)中自變量和函數(shù)的值都不能為零，所以圖象和軸、軸都沒有交點(diǎn)，但畫圖時(shí)要體現(xiàn)出圖象和坐標(biāo)軸無(wú)限貼近的趨勢(shì)．
⑶在畫出的圖象上要注明函數(shù)的解析式．
【例題精選】
例1(2023?徐州二模）如果反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ）
A．﹣3B．2C．0D．﹣1
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象所處的位置確定a的符號(hào)，然后確定a的值即可．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第一、三象限，
∴a＞0，
∴只有2符合，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象，解題的關(guān)鍵是了解反比例函數(shù)的性質(zhì)，難度不大．
例2(2023?南崗區(qū)校級(jí)三模）已知反比例函數(shù)，在下列結(jié)論中，不正確的是（ ）
A．圖象必經(jīng)過點(diǎn)（4，）
B．圖象過第一、三象限
C．若x＜﹣1，則y＞﹣6
D．點(diǎn) A（x1，y1）、B（x2，y2）是圖象上的兩點(diǎn)，x1＜0＜x2，則y1＞y2
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解．
【解答】解：A、x＝4，y＝＝，∴圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，），正確，不符合題意；
B、∵k＝6＞0；，∴圖象在第一、三象限，正確，不符合題意；
C、當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣6，∵圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)y＞﹣6，正確，不符合題意；
D、∵k＝1＞0，∴圖象在一、三象限內(nèi)，
∴x1＜0＜x2，則y1＜y2，故原命題錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨x的值的增大而減?。?br>【隨堂練習(xí)】
1．(2023?道外區(qū)二模）反比例函數(shù)y＝的圖象，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍為（ ）
A．k≥2B．k≤﹣2C．k＞2D．k＜﹣2
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝，當(dāng)x＜0時(shí)y隨x的增大而增大，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2．
故選：C．
2．(2023?夷陵區(qū)模擬）已知反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限內(nèi)，則k的值不可能是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣
【解答】解：反比例函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，k﹣2＜0，
則k＜2，
所以k的值不可能為3．
故選：A．
3．(2023?衡水模擬）已知反比例函數(shù)圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．k＞0
B．y隨x的增大而減小
C．若矩形OABC面積為2，則k＝2
D．若圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），則y1＜y2
【解答】解：如圖，k＜0，y隨x的增大而增大；
∵矩形OABC面積為2，k＝﹣2，
故選：D．
3 k的幾何意義
反比例函數(shù)的幾何意義
1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為
2.如圖，四條雙曲線、、、對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：、、、，那么、、、的大小順序?yàn)?br>【例題精選】
例1(2023?臥龍區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y＝上的一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，△POD的面積為k，則函數(shù)y＝kx﹣1的圖象為（ ）
A．B．
C．D．
分析：先根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求出k的值等于1，然后求出一次函數(shù)的解析式，再確定一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）（1，0），即可確定選項(xiàng)．
【解答】解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵P點(diǎn)在第一象限且在函數(shù)y＝的圖象上，
∴xy＝2，
∴S△OPD＝xy＝×2＝1，即k＝1．
∴一次函數(shù)y＝kx﹣1的解析式為：y＝x﹣1，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），（1，0）的直線．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出k的值，再根據(jù)一次函數(shù)解析式確定與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．
例2(2023?陽(yáng)谷縣校級(jí)模擬）反比例函數(shù)圖象的一支如圖所示，△POM的面積為2，則該函數(shù)的解析式是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
分析：根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，由△POM的面積為2，可知|k|＝2，再結(jié)合圖象所在的象限，確定k的值，則函數(shù)的解析式即可求出．
【解答】解：∵△POM的面積為2，∴S＝|k|＝2，
∴k＝±4，
又∵圖象在第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝﹣．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k與其圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系，即S＝|k|．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?洪山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線y＝kx（k＞0）與雙曲線y＝交于A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于C，連接AC交y軸于D，下列結(jié)論：①A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②△ABC的面積為定值；③D是AC的中點(diǎn)；④S△AOD＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解答】解：①反比例函數(shù)與正比例函數(shù)若有交點(diǎn)，一定是兩個(gè)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以正確；
②根據(jù)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，S△ABC為即A點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的乘積，為定值1，所以正確；
③因?yàn)锳O＝BO，OD∥BC，所以O(shè)D為△ABC的中位線，即D是AC中點(diǎn)，所以正確；
④在△ADO中，因?yàn)锳D和y軸并不垂直，所以面積不等于k的一半，即不會(huì)等于，所以錯(cuò)誤．
因此正確的是：①②③，
故選：C．
2．(2023秋?歷下區(qū)期末）反比例函數(shù)如圖所示，則矩形OAPB的面積是______．
【解答】解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵P在反比例函數(shù)的圖象上，
∴xy＝﹣4，
即PB×PA＝4，
∴矩形OAPB的面積是4，
故答案為：4．
4反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例題精選】
例1(2023?溫州一模）一款便攜式音箱以鋰電池作為電源，該電池的電壓為定值，工作時(shí)電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則當(dāng)電阻R為4Ω時(shí)，電流I為（ ）
A．6AB．AC．1AD．A
分析：根據(jù)函數(shù)圖象可用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I＝，再把（2，3）代入可得k的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，然后代入R＝4Ω求得電流I即可．
【解答】解：設(shè)用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I＝，
∵反比例函數(shù)圖象過（2，3），
∴k＝3×2＝6，
∴I＝，
當(dāng)R＝4Ω時(shí)，I＝＝，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．
例2(2023?樂清市一模）公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來(lái)人們把它歸納為“杠桿原理”，即：阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂．小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是1500N和0.4m，則動(dòng)力F（單位：N）關(guān)于動(dòng)力臂L（單位：m）的函數(shù)解析式正確的是（ ）
A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝
分析：直接利用阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂，進(jìn)而將已知量據(jù)代入得出函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝動(dòng)力×動(dòng)力臂．小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是1500N和0.4m，
∴動(dòng)力F（單位：N）關(guān)于動(dòng)力臂l（單位：m）的函數(shù)解析式為：1500×0.4＝FL，
則F＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意得出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?石家莊模擬）已知甲、乙兩地相距30千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時(shí)間t（單位：小時(shí)）關(guān)于行駛速度v（單位：千米/小時(shí)）的函數(shù)圖象為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由題意可得：t＝，
當(dāng)t＝1時(shí)，v＝30，
故只有選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
2．(2023?江岸區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙兩地相距200千米，則汽車從甲地到乙地所用的時(shí)間y（h）與汽車的平均速度x（km/h）之間的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝200xB．x＝200yC．y＝D．y﹣200＝x
【解答】解：因?yàn)榧?、乙兩地相?00千米，汽車從甲地到乙地所用的時(shí)間y（h）與汽車的平均速度x（km/h），
∴xy＝200，
∴y＝；
故選：C．
3．(2023秋?競(jìng)秀區(qū)期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過6A，那么用電器的可變電阻R應(yīng)控制在（ ）
A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：I＝，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為：I＝，
當(dāng)I≤6時(shí)，則≤6，
R≥1，
故選：C．
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．若點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故選：A．
2．如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一點(diǎn)P，過P作PA⊥x軸，垂足為A，則△POA的面積是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面積S△POA＝|xy|＝1，
故選：B．
3．反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣1），則下列點(diǎn)一定在其圖象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：將點(diǎn)（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函數(shù)解析式為y＝﹣，
則xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、4×（﹣）＝2，故本選項(xiàng)正確；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
4．如圖，將邊長(zhǎng)為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標(biāo)系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），作CD⊥OB于點(diǎn)D，若點(diǎn)C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，則k的值為（ ）
A．9B．18C．25D．9
【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
設(shè)OE＝a，則OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴點(diǎn)D（a，a），點(diǎn)C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵點(diǎn)C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a?a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
當(dāng)a＝5時(shí)，DO＝OB，AC＝AB，點(diǎn)C、D與點(diǎn)B重合，不符合題意，
∴a＝5舍去．
∴點(diǎn)D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故選：A．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，則k的值為（ ）
A．1B．C．2D．3
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
設(shè)C（x，），
∵點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，
∴，
解得．
故選：C．
二．解答題
6．如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）兩點(diǎn)．
（1）求直線的解析式；
（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．
【解答】解：（1）∵雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由點(diǎn)A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直線y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直線的解析式為：y＝x+1．
（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如圖，已知反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函數(shù)解析式；
（2）求△AOB的面積．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，則B（﹣4，﹣2），
由題意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函數(shù)解析式為：y＝2x+6．
綜上所述，m的值為﹣2，一次函數(shù)解析式為y＝2x+6；
（2）∵一次函數(shù)y＝2x+6與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴△AOB的面積＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y1＝mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，m≠﹣n）與反比例函數(shù)y2＝．
（1）若y1與y2的圖象有交點(diǎn)（1，5），且n＝4m，當(dāng)y1≥5時(shí)，y2的取值范圍；
（2）若y1與y2的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴當(dāng)y1≥5時(shí)，x≥1．
此時(shí)，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由題意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；
（2）根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在x軸上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函數(shù)y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）從圖象看出0＜x＜1或x＞3時(shí)，正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
∴當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交y軸于點(diǎn)P，則PA+PB的最小值等于BC的長(zhǎng)，
過C作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，交于點(diǎn)D，則
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值為2．

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