1 圓的認識
1. 圓的定義
(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.
2.圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
3.兩圓的性質(zhì)
兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.
4. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)
∴直徑AB是⊙O中最長的弦.
5. 弧
?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)?。?br> 劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
5.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
6.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【例題精選】
例1(2023春?瀏陽市期中）下列說法正確的是（ ）
A．直徑是圓的對稱軸
B．經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸
C．與圓相交的直線是圓的對稱軸
D．與半徑垂直的直線是圓的對稱軸
例2(2023秋?相城區(qū)期中）到圓心的距離大于半徑的點的集合是（ ）
A．圓的內(nèi)部B．圓的外部
C．圓D．圓的外部和圓
【隨堂練習】
1．(2023秋?南通期中）下列說法正確的是（ ）
A．直徑是弦，弦是直徑
B．圓有無數(shù)條對稱軸
C．無論過圓內(nèi)哪一點，都只能作一條直徑
D．度數(shù)相等的弧是等弧
2．(2023秋?高郵市月考）下列說法：
①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．
正確的說法有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．(2023春?濰城區(qū)期末）對于以下圖形有下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．如圖①，AC是弦
B．如圖①，直徑AB與組成半圓
C．如圖②，線段CD是△ABC邊AB上的高
D．如圖②，線段AE是△ABC邊AC上的高
4．(2023春?沂源縣期中）直徑為1的圓的周長是（ ）
A．πB．πC．2πD．4π
2垂徑定理
1.垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
注意：根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
【例題精選】
例1 (2023?河北一模）《九章算術》是我國古代著名數(shù)學暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
例2 (2023?番禺區(qū)模擬）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB＝8，OC＝3，則EC的長為（ ）
A．B．8C．D．
【隨堂練習】
1．(2023秋?齊齊哈爾期末）如圖，在⊙O中，弦AB為8mm，圓心O到AB的距離為3mm，則⊙O的半徑等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
2．(2023?云南模擬）如圖，半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為（ ）
A．10 cmB．16 cmC．24 cmD．26 cm
3．(2023秋?灤南縣期末）如圖，⊙O的直徑CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，OE：OC＝1：3，則AB的長為（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
4．(2023秋?蒼溪縣期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝10，水面寬AB＝16，則截面圓心O到水面的距離OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6

3弦、弧、圓心角的關系
1.圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3.推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【例題精選】
例1(2023秋?柯橋區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
例2(2023?漢陽區(qū)模擬）如圖：AB為半圓的直徑，AB＝4，C為OA中點，D為半圓上一點，連CD，E為的中點，且CD∥BE，則CD的長為（ ）
A．B．C．D．
【隨堂練習】
1. (2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，＝2，則以下數(shù)量關系正確的是（ ）
A．AB＝ACB．AC＝2ABC．AC＜2ABD．AC＞2AB
2．(2023秋?瑞安市期末）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，AB，AC的圓心O的兩側(cè)，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．125°D．130°
3．(2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°
4．(2023秋?涪城區(qū)校級月考）下列語句，錯誤的是（ ）
A．直徑是弦
B．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心
C．相等的圓心角所對的弧相等
D．平分弧的半徑垂直于弧所對的弦
4圓周角定理
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【例題精選】
例1(2023?龍巖二模）如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上的點，D是上的點，若∠BOC＝52°，則∠D的大小為（ ）
A．104°B．114°C．116°D．128°
例2 (2023春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，點C是的中點，如果∠DAB＝70°，則∠ABC的度數(shù)等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【隨堂練習】
1．(2023秋?北侖區(qū)期末）已知，如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝72°，則∠OBC的度數(shù)是（ ）
A．12°B．15°C．18°D．20°
2．(2023?龍泉驛區(qū)模擬）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，已知∠O＝60°，則∠C＝（ ）
A．20°B．25°C．45°D．30°
3．(2023秋?漣源市期末）如圖，AB是⊙O直徑，若∠AOC＝100°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．45°
4．(2023?延邊州二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過B點作BH⊥AD于點H，若∠BCD＝135°，AB＝4，則BH的長度為（ ）
A．B．2C．3D．不能確定
5．(2023秋?橋東區(qū)期末）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝112°，點B是弧AC的中點，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．56°B．35°C．38°D．28°

綜合練習
一．選擇題
1．如圖，AB、BC為⊙O的兩條弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AO⊥BC，垂足為點E，若∠ADC＝130°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
3．如圖，在圓O中，點A、B、C在圓上，∠OAB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝50°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
5．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．解答題
6．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，點E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度數(shù)．
8．如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度數(shù)．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為的中點，CE交AB于點H，且AH＝AC，AF平分線∠CAH．
（1）求證：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的長．
第7講 圓的認識
1 圓的認識
1. 圓的定義
(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.
2.圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
3.兩圓的性質(zhì)
兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.
4. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)
∴直徑AB是⊙O中最長的弦.
5. 弧
?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；
劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
5.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
6.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【例題精選】
例1(2023春?瀏陽市期中）下列說法正確的是（ ）
A．直徑是圓的對稱軸
B．經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸
C．與圓相交的直線是圓的對稱軸
D．與半徑垂直的直線是圓的對稱軸
分析：利用直徑所在的直線為圓的對稱軸對各選項進行判斷．
【解答】解：A、直徑所在的直線為圓的對稱軸，所以A錯誤；
B、經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸，所以B正確；
C、與圓相交的直線不一定是圓的對稱軸，所以C錯誤；
D、與半徑垂直的直線不一定是圓的對稱軸，所以D錯誤．
故選：B．
【點評】本題考查了圓的認識，關鍵是掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
例2(2023秋?相城區(qū)期中）到圓心的距離大于半徑的點的集合是（ ）
A．圓的內(nèi)部B．圓的外部
C．圓D．圓的外部和圓
分析：根據(jù)圓是到定點距離等于定長的點的集合，以及點和圓的位置關系即可解決．
【解答】解：根據(jù)點和圓的位置關系，知圓的外部是到圓心的距離大于的所有點的集合；
故選：B．
【點評】此題考查圓的認識問題，理解圓上的點、圓內(nèi)的點和圓外的點所滿足的條件．
【隨堂練習】
1．(2023秋?南通期中）下列說法正確的是（ ）
A．直徑是弦，弦是直徑
B．圓有無數(shù)條對稱軸
C．無論過圓內(nèi)哪一點，都只能作一條直徑
D．度數(shù)相等的弧是等弧
【解答】解：A、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故錯誤，不符合題意；
B、圓有無數(shù)條直徑，故正確，符合題意；
C、過圓心有無數(shù)條直徑，故錯誤，不符合題意；
D、完全重合的弧是等弧，故錯誤，不符合題意；
故選：B．
2．(2023秋?高郵市月考）下列說法：
①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．
正確的說法有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；
②弦不一定是直徑，錯誤，不符合題意；
③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；
④能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；
⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意，
正確的有3個，
故選：C．
3．(2023春?濰城區(qū)期末）對于以下圖形有下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．如圖①，AC是弦
B．如圖①，直徑AB與組成半圓
C．如圖②，線段CD是△ABC邊AB上的高
D．如圖②，線段AE是△ABC邊AC上的高
【解答】解：A、AC不是弦，故錯誤；
B、半圓是弧，不包括弧所對的弦，故錯誤；
C、線段CD是△ABC邊AB上的高，正確；
D、線段AE不是△ABC邊AC上的高，故錯誤，
故選：C．
4．(2023春?沂源縣期中）直徑為1的圓的周長是（ ）
A．πB．πC．2πD．4π
【解答】解：圓的周長＝1×π＝π，
故選：B．
2垂徑定理
1.垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
注意：根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；
弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
【例題精選】
例1 (2023?河北一模）《九章算術》是我國古代著名數(shù)學暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直徑CD的長．”則CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
分析：連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點E為AB的中點，由AB＝10可求出AE的長，再設出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．
【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
設圓O的半徑OA的長為x，則OC＝OD＝x
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故選：C．
【點評】此題考查了垂徑定理的應用，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實際問題，做此類題時要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．
例2 (2023?番禺區(qū)模擬）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB＝8，OC＝3，則EC的長為（ ）
A．B．8C．D．
分析：根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC，根據(jù)三角形的中位線求出BE，再根據(jù)勾股定理求出EC即可．
【解答】解：連接BE，
∵AE為⊙O直徑，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD過O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故選：D．
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線等知識點，能根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC是解此題的關鍵．
【隨堂練習】
1．(2023秋?齊齊哈爾期末）如圖，在⊙O中，弦AB為8mm，圓心O到AB的距離為3mm，則⊙O的半徑等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
【解答】解：連接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5，
故選：C．
2．(2023?云南模擬）如圖，半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為（ ）
A．10 cmB．16 cmC．24 cmD．26 cm
【解答】解：如圖，過O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD＝8，OD＝13，
∴OC＝5，
又∵OB＝13，
∴Rt△BCO中，BC＝＝12，
∴AB＝2BC＝24．
故選：C．
3．(2023秋?灤南縣期末）如圖，⊙O的直徑CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，OE：OC＝1：3，則AB的長為（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【解答】解：如圖，
連接OA，
∵⊙O的直徑CD＝12cm，
∴OD＝OA＝OC＝6，
∵OE：OC＝1：3，
∴OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，
在Rt△OAE中，AE＝＝＝4，
∴AB＝2AE＝8cm．
故選：D．
4．(2023秋?蒼溪縣期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝10，水面寬AB＝16，則截面圓心O到水面的距離OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6
【解答】解：∵OC⊥AB，OC過圓心O點，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故選：D．

3弦、弧、圓心角的關系
1.圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3.推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【例題精選】
例1(2023秋?柯橋區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，則∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
分析：根據(jù)圓周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和進行內(nèi)角和定理求出即可．
【解答】解：∵根據(jù)圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此題的關鍵．
例2(2023?漢陽區(qū)模擬）如圖：AB為半圓的直徑，AB＝4，C為OA中點，D為半圓上一點，連CD，E為的中點，且CD∥BE，則CD的長為（ ）
A．B．C．D．
分析：連接EO并延長與DC的延長線相交于點K，連接BD交OE于點H，由題意，可得△BHE≌△DHK，所以BE＝KD＝2x，EH＝KH，由△KCO∽△EBO，可得，所以KO＝1，KC＝x，在Rt△BHE和Rt△BHO中，有BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，即可得出x的值，進而得出CD的長．
【解答】解：如圖，連接EO并延長與DC的延長線相交于點K，連接BD交OE于點H，
∵E為弧AD中點，
∴OE⊥AD，BH＝DH，
∵BE∥CD，
∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，
∴△BHE≌△DHK（AAS），
∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，
∵BE∥CD，
∴△KCO∽△EBO，
∴，
∵AB是半圓⊙O的直徑，AB＝4，C為OA的中點，
∴，
∴KO＝1，KC＝x，
∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，
∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，
∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，
∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，
解得：x＝，
∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，
故選：B．
【點評】本題考查垂徑定理的逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形．
【隨堂練習】
1. (2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，＝2，則以下數(shù)量關系正確的是（ ）
A．AB＝ACB．AC＝2ABC．AC＜2ABD．AC＞2AB
【解答】解：如圖．連接BC．
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BC，
∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故選：C．
2．(2023秋?瑞安市期末）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，AB，AC的圓心O的兩側(cè)，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．125°D．130°
【解答】解：過A作⊙O的直徑，交⊙O于D．
在△OAB中，OA＝OB，
則∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故選：A．
3．(2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故選：B．
4．(2023秋?涪城區(qū)校級月考）下列語句，錯誤的是（ ）
A．直徑是弦
B．弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心
C．相等的圓心角所對的弧相等
D．平分弧的半徑垂直于弧所對的弦
【解答】解：A、直徑為弦，所以A選項的說法正確；
B、弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心，所以B選項的說法正確；
C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以C選項的說法錯誤；
D、平分弧的半徑垂直于弧所對的弦，所以D選項的說法正確．
故選：C．
4圓周角定理
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【例題精選】
例1(2023?龍巖二模）如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上的點，D是上的點，若∠BOC＝52°，則∠D的大小為（ ）
A．104°B．114°C．116°D．128°
分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算出∠OBC＝64°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算∠D的度數(shù)．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝（180°﹣52°）＝64°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣64°＝116°．
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
例2 (2023春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，點C是的中點，如果∠DAB＝70°，則∠ABC的度數(shù)等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
分析：連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠ABD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CBD，結(jié)合圖形計算，得到答案．
【解答】解：連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝20°，
∵四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠C＝180°﹣∠DAB＝110°，
∵點C是的中點，
∴CD＝CB，
∴∠CBD＝×（180°﹣110°）＝35°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝55°，
故選：A．
【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
【隨堂練習】
1．(2023秋?北侖區(qū)期末）已知，如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝72°，則∠OBC的度數(shù)是（ ）
A．12°B．15°C．18°D．20°
【解答】解：根據(jù)圓周角定理得∠BOC＝2∠A＝2×72°＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝（180°﹣144°）＝18°．
故選：C．
2．(2023?龍泉驛區(qū)模擬）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，已知∠O＝60°，則∠C＝（ ）
A．20°B．25°C．45°D．30°
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故選：D．
3．(2023秋?漣源市期末）如圖，AB是⊙O直徑，若∠AOC＝100°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．45°
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠D＝＝40°．
故選：B．
4．(2023?延邊州二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過B點作BH⊥AD于點H，若∠BCD＝135°，AB＝4，則BH的長度為（ ）
A．B．2C．3D．不能確定
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BCD＝135°，
∴∠A＝180°﹣145°＝45°，
∵BH⊥AD，AB＝4，
∴BH＝＝＝2，
故選：B．
5．(2023秋?橋東區(qū)期末）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝112°，點B是弧AC的中點，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．56°B．35°C．38°D．28°
【解答】解：連接OB，
∵點B是弧AC的中點，
∴∠AOB＝∠AOC＝56°，
由圓周角定理得，∠D＝∠AOB＝28°，
故選：D．

綜合練習
一．選擇題
1．如圖，AB、BC為⊙O的兩條弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
【解答】解：在優(yōu)弧上取點D，連接DA、DC，
由圓周角定理得，∠D＝∠AOC，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，∠ABC+∠D＝180°，
∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，
∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，
解得，∠ABC＝100°，
故選：B．
2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AO⊥BC，垂足為點E，若∠ADC＝130°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝130°，
∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝40°，
∵AO⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，
故選：B．
3．如圖，在圓O中，點A、B、C在圓上，∠OAB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°，
故選：B．
4．如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝50°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故選：B．
5．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如圖所示，連接OA．
⊙O的直徑CD＝10cm，
則⊙O的半徑為5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以OM＝4，
∵AB⊥CD，垂足為M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故選：A．
二．解答題
6．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，點E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；
（2）根據(jù)勾股定理得，AC＝＝＝8，
∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×8＝16．
7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝40°，
由圓周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，
8．如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度數(shù)．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為的中點，CE交AB于點H，且AH＝AC，AF平分線∠CAH．
（1）求證：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的長．
【解答】（1）證明：
∵AH＝AC，AF平分線∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，
∴∠HAF＝∠BCE，
∵E為的中點，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠EBD，
∴BE∥AF；
（2）解：連接OH、CD．
∵BC為直徑，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得 BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．

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