新九年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)期講義第9講圓的計(jì)算-基礎(chǔ)班(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1 弧長(zhǎng)的計(jì)算
弧長(zhǎng)公式:半徑為R的圓中
360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：
n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：(弧是圓的一部分)
要點(diǎn)詮釋：
(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
【例題精選】
例1(2023秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上點(diǎn)，AO＝4，BC＝4，則劣弧的長(zhǎng)度為（）
A．πB．2πC．πD．π
例2 (2023?成都模擬）如圖，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，則弧AB的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．π
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?合肥二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，AC是的弦，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BC，若∠ABC＝24°，則劣弧CD的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
2．(2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則的長(zhǎng)為（）
A．πB．πC．πD．π
2扇形面積的計(jì)算
1.扇形的定義
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2.扇形面積公式
半徑為R的圓中
360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：
要點(diǎn)詮釋：
(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.
【例題精選】
例1(2023?張家港市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，則陰影部分的面積是（）
A．2πB．πC．D．
例2 (2023?鎮(zhèn)江模擬）如圖所示，菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，則陰影部分的面積為（）
A．B．C．D．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?鐵西區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠A＝45°，⊙O的半徑長(zhǎng)為6，則陰影部分的面積為（）
A．9π﹣18B．9πC．6πD．18π﹣18
3圓錐的計(jì)算
圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積，
圓錐的全面積.
要點(diǎn)詮釋：
扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開(kāi)圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
【例題精選】
例1 (2023?湖州模擬）一個(gè)圓錐的底面半徑為4．側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是（）
A．8πB．16πC．32πD．48π
例2(2023?北海模擬）如圖，一把遮陽(yáng)傘撐開(kāi)時(shí)母線的長(zhǎng)是3m，底面半徑為2m，則做這把遮陽(yáng)傘需用布料的面積是（）
A．4πm2B．2πm2C．8πm2D．6πm2
【隨堂練習(xí)】
1．(2023春?錫山區(qū)期中）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（）
A．20cm2B．20πcm2C．10cm2D．10πcm2
2．(2023?寧波模擬）將一個(gè)底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開(kāi)，所得的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為（）
A．24πcm2B．18πcm2C．15πcm2D．12πcm2
3． (2023?雙柏縣二模）一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面直徑是2，則這個(gè)圓錐的表面積為（）
A．2πB．3πC．4πD．5π
4．(2023?通州區(qū)一模）若用半徑為6，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為（）
A．1B．2C．3D．4
5．(2023?嘉祥縣一模）圓錐的側(cè)面積為8π，母線長(zhǎng)為4，則它的底面半徑為（）
A．2B．1C．3D．4
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．已知扇形的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為3，則該扇形的面積為（）
A．2πB．3πC．6πD．12π
2．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為5cm，高為cm，則這個(gè)圓錐的表面積為（）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
3．若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
4．在半徑為1的圓中，圓心角為120°所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）
A．B．C．D．
二．解答題
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別是a厘米和b厘米，圖中陰影部分是由BF、BC和弧CF圍成，求陰影部分的面積．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；
（2）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，試說(shuō)明∠A與∠CBE的關(guān)系．
7．如圖，圖中圓O的周長(zhǎng)為8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD為45度，求圖中陰影部分（即扇形AOD）的面積．（結(jié)果保留π）
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求陰影部分的面積．
第9講與圓有關(guān)的計(jì)算
1 弧長(zhǎng)的計(jì)算
弧長(zhǎng)公式:半徑為R的圓中
360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：
n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：(弧是圓的一部分)
要點(diǎn)詮釋：
(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
【例題精選】
例1(2023秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上點(diǎn)，AO＝4，BC＝4，則劣弧的長(zhǎng)度為（）
A．πB．2πC．πD．π
分析：連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠A＝60°，求得∠BOC＝2∠A＝120°，由弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AO＝4，
∴AB＝8，
∵BC＝4，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧的長(zhǎng)度＝＝，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
例2 (2023?成都模擬）如圖，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，則弧AB的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．π
分析：根據(jù)圓周角定理求出圓心角∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．
【解答】解：∵∠C＝30°，
根據(jù)圓周角定理可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝2，
∴l(xiāng)＝＝，
∴弧AB的長(zhǎng)為π．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l＝（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r）是解題關(guān)鍵，難度一般．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?合肥二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，AC是的弦，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BC，若∠ABC＝24°，則劣弧CD的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【解答】解：連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∴∠BOC＝2×66°＝132°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD＝∠A＝66°，
∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，
∵AB＝4，
∴劣弧CD的長(zhǎng)＝＝；
故選：B．
2．(2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則的長(zhǎng)為（）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵⊙O的半徑為1，
∴的長(zhǎng)＝＝＝π，
故選：C．
2扇形面積的計(jì)算
1.扇形的定義
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2.扇形面積公式
半徑為R的圓中
360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：
要點(diǎn)詮釋：
(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.
【例題精選】
例1(2023?張家港市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，則陰影部分的面積是（）
A．2πB．πC．D．
分析：先根據(jù)圓周角定理得到∠BOD＝60°，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算陰影部分的面積．
【解答】解：∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴陰影部分的面積＝＝π．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積計(jì)算，圓周角定理，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
例2 (2023?鎮(zhèn)江模擬）如圖所示，菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，則陰影部分的面積為（）
A．B．C．D．
分析：連接BD，AC交于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，解直角三角形得到AC＝2，BD＝2，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接BD，AC交于O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝1，BO＝AB＝，
∴AC＝2，BD＝2，
∴陰影部分的面積＝S菱形ABCD﹣S扇形ABC＝2×2﹣＝2﹣π
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，菱形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?鐵西區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠A＝45°，⊙O的半徑長(zhǎng)為6，則陰影部分的面積為（）
A．9π﹣18B．9πC．6πD．18π﹣18
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝45°，⊙O的半徑長(zhǎng)為6，
∴∠COB＝90°，OA＝OB＝6，
∴陰影部分的面積是：＝9π﹣18，
故選：A．
3圓錐的計(jì)算
圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積，
圓錐的全面積.
要點(diǎn)詮釋：
扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開(kāi)圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
【例題精選】
例1 (2023?湖州模擬）一個(gè)圓錐的底面半徑為4．側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為8的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是（）
A．8πB．16πC．32πD．48π
分析：首先求得扇形的弧長(zhǎng)，然后利用扇形的面積公式求得圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形的面積即可．
【解答】解：∵圓錐的底面半徑為4，
∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為8π，
∵側(cè)面展開(kāi)扇形的半徑為8，
∴該圓錐的側(cè)面積為lr＝×8×8π＝32π，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟記扇形的面積公式，難度不大．
例2(2023?北海模擬）如圖，一把遮陽(yáng)傘撐開(kāi)時(shí)母線的長(zhǎng)是3m，底面半徑為2m，則做這把遮陽(yáng)傘需用布料的面積是（）
A．4πm2B．2πm2C．8πm2D．6πm2
分析：由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，所以通過(guò)計(jì)算圓側(cè)的面積可得到做這把遮陽(yáng)傘需用布料的面積．
【解答】解：做這把遮陽(yáng)傘需用布料的面積＝×2π×2×3＝6π（m2）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023春?錫山區(qū)期中）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（）
A．20cm2B．20πcm2C．10cm2D．10πcm2
【解答】解：這個(gè)圓錐的側(cè)面積＝×2π×4×5＝20π（cm2）．
故選：B．
2．(2023?寧波模擬）將一個(gè)底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開(kāi)，所得的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為（）
A．24πcm2B．18πcm2C．15πcm2D．12πcm2
【解答】解：圓錐的母線長(zhǎng)＝＝5，
所以圓錐的側(cè)面積＝×2π×3×5＝15π（cm2）．
故選：C．
3． (2023?雙柏縣二模）一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面直徑是2，則這個(gè)圓錐的表面積為（）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【解答】解：這個(gè)圓錐的表面積＝π?12+×2π×1×3＝4π．
故選：C．
4．(2023?通州區(qū)一模）若用半徑為6，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)＝＝4π，
∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝4π，
∴圓錐的底面圓半徑＝＝2，
故選：B．
5．(2023?嘉祥縣一模）圓錐的側(cè)面積為8π，母線長(zhǎng)為4，則它的底面半徑為（）
A．2B．1C．3D．4
【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，
根據(jù)題意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．
故選：A．
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．已知扇形的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為3，則該扇形的面積為（）
A．2πB．3πC．6πD．12π
【解答】解：S扇形＝＝3π，
故選：B．
2．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為5cm，高為cm，則這個(gè)圓錐的表面積為（）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
【解答】解：底面周長(zhǎng)是2×5π＝10πcm，底面積是：52π＝25πcm2．
母線長(zhǎng)是：＝6（cm），
則圓錐的側(cè)面積是：×10π×6＝30π（cm2），
則圓錐的表面積為25π+30π＝55π（cm2）．
故選：C．
3．若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為（）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
【解答】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，
那么圓錐底面圓周長(zhǎng)為2πrcm，
所以側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2πrcm，
S圓錐側(cè)面積＝×2πr×6＝，
解得：r＝3，
故選：C．
4．在半徑為1的圓中，圓心角為120°所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）
A．B．C．D．
【解答】解：120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)＝＝．
故選：A．
二．解答題
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長(zhǎng)分別是a厘米和b厘米，圖中陰影部分是由BF、BC和弧CF圍成，求陰影部分的面積．
【解答】解：連接CF，
則陰影部分的面積＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；
（2）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，試說(shuō)明∠A與∠CBE的關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖，連接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S陰影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
7．如圖，圖中圓O的周長(zhǎng)為8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD為45度，求圖中陰影部分（即扇形AOD）的面積．（結(jié)果保留π）
【解答】解：設(shè)圓O的半徑為r
由題意：2?π?r＝8π，
∴r＝4，
∵S△AOB＝?OA?OB＝?AB?OC，
∴OA2＝8×4＝32，
∴S扇形OAD＝＝4π．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求陰影部分的面積．
【解答】解：連接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝（垂徑定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S陰＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圓周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝＝，即陰影部分的面積為．

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