?1.4充分條件與必要條件


1. 命題
（1） 命題的定義
在數(shù)學中，把用語言、符號、或式子表達的，可以判斷真假的陳述語句叫做命題。
（2） 真命題，假命題
判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題
（3） 命題的一般形式
通常用“若，則”的形式來表達，其中稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論。

考點1：判斷語句是否為命題

例1：下列語句中不是命題的是（ ）
A．
B．二次函數(shù)的圖象不一定關(guān)于y軸對稱
C．
D．對任意，總有
【答案】C
【分析】
根據(jù)命題的定義進行判斷即可.
【詳解】
選項A,B,D中均為陳述句,且能夠判斷真假,故均為命題,C選項雖然是陳述句但無法判斷真假,故不是命題.
故選：C.
【點睛】
判斷一個語句是不是命題,要看它符不符合“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件.

考點2：判斷命題的真假

例2：下列命題是真命題的是（ ）．
A．空集是任何集合的真子集
B．等腰三角形是銳角三角形
C．函數(shù)是二次函數(shù)
D．若，則
【答案】D
【分析】
由真子集的定義、等腰三角形的特征，二次函數(shù)的定義以及集合的運算即可得出選項。
【詳解】
空集是任何非空集合的真子集，故選項錯誤；
等腰三角形頂角可以為鈍角，故選項錯誤；
函數(shù)，當時是一次函數(shù)，故選項錯誤；
若，則是集合，的公共元素，所以。所以答案為D
【點睛】
本題考查命題真假的判斷。

變式2-1：
如果命題“若m0，q：x>0；
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；
（4）p：兩個角不都是直角，q：兩個角不相等．
【答案】（1）p是q的必要條件，q是p的充分條件；（2）p是q的必要條件，q是p的充分條件；（3）p是q的充分條件，q是p的必要條件；（4）p是q的必要條件，q是p的充分條件．
【分析】
根據(jù)充分、必要條件的定義，逐一判斷即可.
【詳解】
解：（1）p：x2>0則x>0，或x0，故p是q的必要條件，q是p的充分條件．
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，則x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要條件，q是p的充分條件．
（3）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．
（4）p：兩個角不都是直角，這兩個角可以相等，q：兩個角不相等，則這個角一定不都是直角，故p是q的必要條件，q是p的充分條件．
【點睛】
本題考查充分、必要條件的判斷，考查分析判斷的能力，屬基礎(chǔ)題.

3. 充分性和必要性的關(guān)系

在“若，則”中，
若：，則是的充分條件，是的必要條件
若：，則是的充分條件，是的必要條件
也就是說：在“若，則”中，
條件結(jié)論，充分性成立；
結(jié)論條件，必要性成立

4. 充要條件

（1） 充要條件的定義
若有，又有，就記作，則是的充分必要條件，簡稱充要條件。
（2） 充分條件、必要條件的四種類型
若，，則是的充要條件
若，，則是的充分不必要條件
若，，則是的必要不充分條件
若，，則是的既不充分也不必要條件


例7：試用推出關(guān)系說明是的什么條件.
（1），；
（2）是非零自然數(shù)，是正整數(shù)；
（3），；
（4），；
（5）使得關(guān)于的方程有唯一實根的實數(shù)，.
【答案】（1）充分非必要；（2）充要；（3）必要非充分；（4）充分非必要；（5）必要非充分
【分析】
先確定每個小題的集合元素，再確定集合之間關(guān)系，逐一判斷即可.
【詳解】
解：（1）或，是的真子集，故是的充分非必要條件；
（2）是非零自然數(shù)與是正整數(shù)完全等價，，故是的充要條件；
（3），是的真子集，故是的必要非充分條件；
（4）或，是的真子集，故是的充分非必要條件；；
（5）對于使得關(guān)于的方程有唯一實根的實數(shù)，
時，，符合題意；
時，，符合題意；
是的真子集，故是的必要非充分條件.
【點睛】
考查四種條件的判斷，需用子集與推出關(guān)系說明兩個命題的關(guān)系；基礎(chǔ)題.

變式7-1
試用推出關(guān)系來說明命題是的什么條件．
（1）：，，：且；
（2）：平行四邊形，：四邊形的一組對邊平行．
【答案】（1）充要條件
（2）充分非必要條件
【分析】
（1）根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
（2）一組對邊平行的四邊形，可能是梯形或者平行四邊形。
【詳解】
解：（1）因為 ，則是的充要條件。
（2）一組對邊平行的四邊形，可能是梯形或者平行四邊形，所以 ，則是的充分非必要條件。
【點睛】
本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．

變式7-2
判斷下列命題中p是q的什么條件.（充分不必要條件必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件）
（1）p：數(shù)a能被6整除，q：數(shù)a能被3整除；
（2），；
（3）有兩個角相等，是正三角形；
（4）若，，；
（5），.
【答案】（1）p是q的充分不必要條件（2）P是q的充分不必要條件（3）p是q的必要不充分條件（4）p是q的充要條件（5）p是q的既不充分也不必要條件
【分析】
判斷兩個命題和是否正確，然后得結(jié)論．
【詳解】
解析（1）因為“數(shù)a能被6整除”能推出“數(shù)a能被3整除”，所以，
但“數(shù)a能被3整除”推不出“數(shù)a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要條件.
（2）因為能推出，即；但當時，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要條件.
（3）因為“有兩個角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形”能推出“有兩個角相等”，即，所以p是q的必要不充分條件.
（4）若，則，即；若，則，即，故，所以p是q的充要條件.
（5）當，時，推不出，知，又當，時，推不出，知，所以p是q的既不充分也不必要條件.
【點睛】
本題考查充分條件與必要條件的判斷，解題時必須判斷兩個命題和是否正確．



例8：求證：關(guān)于的方程有一個根為1的充要條件是
【答案】詳見解析.
【分析】由可得，將方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，將代入方程可得知必要性成立，由此得出證明.
【詳解】充分性：，，
代入方程得，即．
關(guān)于的方程有一個根為；
必要性：方程有一個根為，滿足方程，
，即．
故關(guān)于的方程有一個根是的充要條件為．


5. 集合中的包含關(guān)系在判斷條件關(guān)系中的應(yīng)用
設(shè)命題對應(yīng)集合，命題對應(yīng)集合
若，即，是的充分條件（充分性成立）
若，即，是的必要條件（必要性成立）
若，即，，是的充分不必要條件
若，即，，是的必要不充分條件
若，即，，是的充要條件


例9設(shè)是的充分非必要條件，是的充要條件，是的必要非充分條件，則是的什么條件？
【答案】必要非充分條件
【分析】
本題條件是，結(jié)論是，關(guān)鍵是要根據(jù)題意找到與的推出關(guān)系.
【詳解】
因為是的必要非充分條件，所以，.又因為是的充要條件即，∴，.所以是的必要非充分條件.
又因為是的充分非必要條件即，，∴.假設(shè)，則，與矛盾，∴.所以是的必要非充分條件.
【點睛】
本題考查充分條件與必要條件的應(yīng)用，關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論的推出關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.


例10已知，，.若是的充分非必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【分析】
由題得解不等式即得解.
【詳解】
設(shè)集合，.
由題意知ü，∴，經(jīng)檢驗等號滿足題意.
【點睛】
本題主要考查集合的關(guān)系，考查充分不必要條件的應(yīng)用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.

變式10-1
已知，，若是的充分非必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的包含關(guān)系，然后再利用集合的包含關(guān)系列出不等式組，解不等式組即可求解.
【詳解】
設(shè)集合，.
由題意知ü，∴.
【點睛】
本題考查了由充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題.

例11已知，，若是的必要非充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或.
【分析】
設(shè)，，根據(jù)是的必要非充分條件，得到.，然后分和兩種情況討論求解.
【詳解】
設(shè)，，如圖所示.

∵是的必要非充分條件，
∴.分兩種情況討論：
①當時，，
解得；
②當時，畫數(shù)軸，得.,
，
當時，，成立，
當時，，成立.
綜上：或.
【點睛】
本題主要考查邏輯條件的應(yīng)用以及集合的基本關(guān)系，還考查了分類討論思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

變式11-1
已知，，且是的必要非充分條件.求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【分析】
根據(jù)不等式之間的關(guān)系，利用必要非充分條件的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：如圖所示，設(shè)集合，.
由題意可知，ü.分兩種情況討論：（1）時，，；
（2）時，無解.
綜上，

【點睛】
本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
變式11-2．設(shè)，，，.若是的必要非充分條件，求實數(shù)，滿足的條件.
【答案】答案不唯一，見解析
【分析】
設(shè)集合，集合.依題意可得ü，再對集合分類討論可得；
【詳解】
解：設(shè)集合，集合.
∵是的必要非充分條件，∴ü.
（1）當時，即；
（2）當時，即解得，；
（3）時，即解得，
【點睛】
本題考查利用集合的包含關(guān)系解決充分條件、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.
變式11-3．設(shè).
（1）若是的必要不充分條件，求的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍；
（3）若是方程的根，判斷是的什么條件.
【答案】（1）；（2）；（3）充要條件
【分析】
設(shè).（1）由題得，得到的取值范圍；（2）由題得，得到的取值范圍；（3）因為方程的根為3，則有,判斷得解.
【詳解】
設(shè).
（1）若是的必要不充分條件，則有，所以.
（2）若是的充分不必要條件，則有，所以.
（3）因為方程的根為3，則有，
所以是的充要條件.
【點睛】
本題主要考查充分必要條件的判斷，考查根據(jù)充分必要條件求參數(shù)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
變式11-4．已知條件p：；條件q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是什么？
【答案】
【分析】
由解得，由，可得，討論和0的關(guān)系解不等式，若p是q的充分不必要條件，則集合是式解集的真子集，故可得關(guān)于m的不等式組，解之即可得m的取值范圍．
【詳解】
由解得，
由，可得，
當時，式的解集為；
當時，式的解集為；
當時，式的解集為；
若p是q的充分不必要條件，則集合是式解集的真子集．
可得或，解得，或．
經(jīng)驗證，當或時，式的解集均為，符合題意．
故m的取值范圍是．
【點睛】
本題考查充分條件、必要條件和充要條件，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式組的合理運用.


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