專題13 定值問(wèn)題（講義）-2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解析幾何壓軸題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。

專題13 定值問(wèn)題
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題統(tǒng)稱為定值問(wèn)題．這些問(wèn)題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．
【一般策略】
①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
②引進(jìn)變量法：選擇適當(dāng)?shù)膭?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡(jiǎn)，消去變量得到定值
【常用結(jié)論】
結(jié)論1 過(guò)圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點(diǎn)A，B，則直線AB必過(guò)一定點(diǎn)（等軸雙曲線除外）．
結(jié)論2 過(guò)圓錐曲線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB必過(guò)焦點(diǎn)．
結(jié)論3 過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)P作圓錐曲線上的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，則直線AB已知且必過(guò)定點(diǎn)．
結(jié)論4 過(guò)圓錐曲線上的任意一點(diǎn)P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點(diǎn)，則kAB為定值．
結(jié)論5 設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上不同于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-b2a2
【例1】、在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓引兩條切線，設(shè)兩條切線的斜率分別為，
（i）求證：為定值；
（ii）當(dāng)兩條切線分別交橢圓于時(shí)，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）直接列出關(guān)于的方程組求解；
（2）（i）寫(xiě)出切線方程，由圓心到切線距離等于半徑可以得出與的關(guān)系，從而得出是某個(gè)一元二次方程的解，利用韋達(dá)定理可得；
（ii）設(shè)，利用及橢圓方程求得，再求得后可得．
【詳解】（1）題意，，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）（i）證明：依題意，兩條切線方程分別為，
由，化簡(jiǎn)得，
同理.
所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則.
又因?yàn)?，所以?br>所以.
（ii）證明：由（得，，設(shè)，則，即，
因?yàn)?，所以?br>得，即，
解得，
所以，
所以為定值．
【例2】、已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，面積的最大值為：
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．若，．試問(wèn)：是否為定值？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設(shè)出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．
【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，則
由橢圓的定義及的周長(zhǎng)為6，知①，
由于為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，得到軸距離最大為，
因?yàn)榈拿娣e的最大值為，
所以②，
又③，
聯(lián)立①②③，得，
所以橢圓的方程為.
（2）為定值，理由如下：
根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,

設(shè)，則，
因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線與橢圓一定有兩交點(diǎn)，
聯(lián)立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以為定值.
1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，定點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓分別交于點(diǎn)（不在直線上），若直線，與橢圓分別交于點(diǎn)，，且直線過(guò)定點(diǎn)，問(wèn)直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)直線的斜率為定值1
【分析】（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率可求出，結(jié)合關(guān)系式可求出，進(jìn)而求出橢圓的方程；
（2）可設(shè)，，，，由，得，將，代入橢圓整理得，聯(lián)立求得，同理求得，結(jié)合，化簡(jiǎn)求出，由即可求解．
【詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可知，
又橢圓的離心率為，即，所以，則，
因此橢圓的方程為；
（2）
直線的斜率為定值，定值為1，
證明：設(shè)，，，，，
，，
由，有，
因?yàn)?，在橢圓上，
所以，，因此，
整理得，
即，因此，
聯(lián)立，
解得，同理，
又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以，
將，，，代入，
有，整理得，
又，所以．
綜上，直線的斜率為定值1．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及的量比較多，關(guān)鍵是設(shè)而不求，整體代換的思想的應(yīng)用．
2、已知橢圓，離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．
【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，
點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形，
，，，故橢圓方程為．
（2）由直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，，，則△，
，，
所以，
，
，
原點(diǎn)到的距離，
為定值．
【例3】、已知雙曲線C : 的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C的右頂點(diǎn)A在圓 O :上，且.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)動(dòng)直線與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M，N，求△OMN (O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c，通過(guò)點(diǎn)在圓上易得的值，通過(guò)，求解的值，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí)，求解三角形的面積；當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，且斜率，不妨設(shè)直線，由直線與雙曲線的位置關(guān)系得，聯(lián)立方程求解M，N縱坐標(biāo)，求解面積即可．
【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c，
由點(diǎn)在圓O :上，得a=1，
由，得，
所以==3，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，雙曲線C的漸近線方程為
當(dāng)直線的斜率在存在時(shí)，直線為1，|，
得|MN||OD|1
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，顯然，則
把直線的方程與方程C:聯(lián)立得3=0
由直線與軌跡C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交可知直線與雙曲線的漸近線不平行，
所以，且，
于是得，
得，
設(shè)，
由，得，
同理得，
所以=|==
綜上，△OMN 的面積為.
【例4】、已知，M為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)若，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析；
【分析】（1）利用圓錐曲線的定義即可得曲線方程，但要注意只有雙曲線右支；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算可證為定值，之后求出定值即可．
【詳解】（1）由題可知，則的軌跡是實(shí)軸長(zhǎng)為，
焦點(diǎn)為即的雙曲線的右支，則，
所以曲線的方程為：(或).
（2）由題可知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線斜率存在且不為，則設(shè)斜率為，
所以直線的方程為：，設(shè)，，

聯(lián)立，可得，
則，可得，即或，
則
，
所以為定值，定值為.
1．已知橢圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，
（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線與的斜率，再由列方程可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線方程可求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)．
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，
所以，
因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，，得，
所以橢圓方程為；
（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，
由，得，，
所以，，
所以，，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
則直線過(guò)定點(diǎn)（舍去），
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為（），
由，得，所以，
所以，
解得（舍去），或，
所以直線也過(guò)定點(diǎn)，
綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），
（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，
（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù)．
2．（2024上·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦距為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)記的上、下頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與的下支交于，兩點(diǎn)，在第四象限，直線與交于點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，．證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得，由韋達(dá)定理得，，再通過(guò)聯(lián)立直線和的方程，求得，從而得出點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)，即可證明結(jié)果；
【詳解】（1）因?yàn)椋旱膶?shí)軸長(zhǎng)為4，
所以，由焦距可知，又，
所以雙曲線方程為.
（2）由（1）可得，，，設(shè)，，
顯然直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，
因?yàn)殡p曲線的兩漸近線為，直線與雙曲線的下支交于，兩點(diǎn)，所以，
由，消得，且，
則，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立兩直線方程，得到，
，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)，
，
，
．
所以 .
（法2）聯(lián)立直線與直線的方程可得：
所以可得，即，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．
則．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第（2）的關(guān)鍵在于，由直線的方程和雙曲線方程得，從而得出，，聯(lián)立直線和的方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用，化簡(jiǎn)得到，從而解決問(wèn)題．【例5】、在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，記的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)已知及曲線上的兩點(diǎn)和，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，直線的斜率分別為，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）設(shè)圓心，由兩點(diǎn)距離公式和幾何法求弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)計(jì)算，可得，化簡(jiǎn)即可求解；
（2）設(shè)直線BD的方程、，聯(lián)立拋物線方程，消元并利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式可得，即可證明．
【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，由圓心為的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，
所以，
又圓心為的動(dòng)圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4，所以，
此時(shí)，解得，
所以曲線E是拋物線，其方程為；
（2）易知直線BD的斜率不為0，
設(shè)直線BD的方程為，即，
，消去x，得，
或，
設(shè)，則，
，
所以，
即為定值1.

【例6】、（2024上·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為5．
(1)求C的方程；
(2)已知直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)E坐標(biāo)為，證明的長(zhǎng)度為定值，并求出該定值．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析；該定值為2；
【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可得點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為，可求出C的方程；
（2）先根據(jù)條件聯(lián)立方程可求得的值，再利用求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后求出的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）根據(jù)題意利用拋物線定義可知，解得；
所以拋物線C的方程為；
（2）如下圖所示：
設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立整理可得，
設(shè)，則可得；
由于，所以可得，即，
可得，解得或（舍）；
又，所以可得直線的方程為，
聯(lián)立，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
又，所以可得
；
即的長(zhǎng)度為定值2.
1．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考一模）動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦GH的長(zhǎng)為4.
(1)若動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
(2)在曲線C的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線C的交點(diǎn)S，T滿足為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)存在點(diǎn)，定值.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用圓的性質(zhì)建立等量關(guān)系，列出方程化簡(jiǎn)即得．
（2）假定存在符合要求的點(diǎn)并設(shè)出直線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知化簡(jiǎn)計(jì)算即得．
【詳解】（1）設(shè)，依題意，，而，當(dāng)P點(diǎn)不在y軸上時(shí)，即，
由動(dòng)圓P在y軸上截得的弦GH的長(zhǎng)為4，得，
因此，整理得，
當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，顯然P點(diǎn)與原點(diǎn)O點(diǎn)重合，而也滿足，
所以曲線C的方程為.
（2）假設(shè)存在滿足題意，
設(shè)，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，
由消去x得，，，
則，，
，而，
因此，
當(dāng)時(shí)，滿足，且與無(wú)關(guān)，為定值，
所以存在點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線C的交點(diǎn)滿足為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；
②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
2．（2024上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓的方程,,，拋物線過(guò)兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線．
(1)求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；
(2)已知，設(shè)x軸上一定點(diǎn)，過(guò)T的直線交軌跡C于兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）是圓的切線，分別過(guò)作直線的垂直，垂足分別為，由，利用橢圓定義可得軌跡方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后計(jì)算，代入化簡(jiǎn)可得．
【詳解】（1）如圖，是圓的切線，分別過(guò)作直線的垂直，垂足分別為，又是中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，，
設(shè)是以為準(zhǔn)線的拋物線的焦點(diǎn)，則，，
所以，
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，
，則，因此，
所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由得，
，，
，
代入，，得
為常數(shù)．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查橢圓中定值問(wèn)題，解題方法是設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），利用交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出要證明常數(shù)的量，然后代入韋達(dá)定理的結(jié)果化簡(jiǎn)變形即可得．

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